Testul oficial de pregătire nr. 13 — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Suma tuturor numerelor naturale, care sunt divizori ai numărului $20$, este egală cu: a) $8$ b) $20$ c) $21$ d) $42$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $a$ și $b$ sunt numere reale și $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$, expresia $1,5\cdot a-b$ este egală cu: a) $-0,5$ b) $0$ c) $1,5$ d) $3,5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Două turnuri au înălțimile de $120$ m, respectiv $10$ dam. Diferența pozitivă a înălțimilor celor două turnuri este egală cu: a) $119$ m b) $110$ m c) $20$ m d) $2$ m

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul rațional $1,(3)$. Aproximarea prin lipsă la sutimi a acestui număr este egală cu: a) $1,30$ b) $1,33$ c) $1,34$ d) $1,40$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=-\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)$. Patru elevi au calculat $a^{2021}$ și au scris rezultatele în tabelul următor.

Dintre cei patru elevi, cel care a scris rezultatul corect este: a) Andrei b) Valentina c) Mihai d) Rada

Exercițiul 6 · 5 puncte Un biciclist s-a deplasat cu viteza de $15$ km/h pe o distanță de $6$ km. Un pieton s-a deplasat cu viteza de $3$ km/h pe o distanță de $1$ km. Afirmația „Timpul de deplasare a biciclistului este egal cu timpul de deplasare a pietonului." este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate, în această ordine, punctele coliniare $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ și $G$, astfel încât $AB=BC=CD=DE=EF=FG=2$ cm. Distanța dintre simetricul punctului $E$ față de punctul $C$ și simetricul punctului $E$ față de punctul $F$ este egală cu:

a) $6$ cm b) $8$ cm c) $10$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată $\sphericalangle MON$, $\sphericalangle NOP$ și $\sphericalangle POM$ sunt unghiuri congruente în jurul punctului $O$, iar semidreapta $OQ$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle NOP$. Măsura complementului unghiului $\sphericalangle POQ$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată dreptunghiul $ABCD$ reprezintă schița unui parc în care $AB=40$ m și $BD=2\cdot AD$. Știind că în vârful $A$ este plantat un copac, distanța de la baza copacului la aleea $BD$ este egală cu:

a) $10$ m b) $20$ m c) $25$ m d) $30$ m

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unei grădini având forma unui romb $ABCD$ cu $AB=100$ m și $\sphericalangle ABC=60^{\circ }$. Pe suprafața delimitată de patrulaterul $MNPQ$, ale cărui vârfuri sunt mijloacele laturilor rombului dat, sunt cultivate flori, iar restul suprafeței grădinii este acoperit cu gazon. Aria suprafeței grădinii, acoperite de gazon, este egală cu:

a) $50\sqrt{3}$ m² b) $250\sqrt{3}$ m² c) $500\sqrt{3}$ m² d) $2500\sqrt{3}$ m²

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată $AB$ și $CD$ sunt două coarde perpendiculare pe diametrul $MN$ al cercului de centru $O$, acestea intersectând $MN$ în punctele $P$, respectiv $Q$, astfel încât $OP<OQ$. Patrulaterul convex cu vârfurile în punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ reprezintă:

a) un trapez dreptunghic b) un trapez isoscel c) un dreptunghi d) un pătrat

Exercițiul 6 · 5 puncte Mihai are la dispoziție $216$ cubulețe cu muchia de $10$ cm, pe care le lipește obținând un cub ale cărui fețe le vopsește. Volumul total al cubulețelor care au exact $3$ fețe vopsite este egal cu:

a) $3$ dm³ b) $4$ dm³ c) $6$ dm³ d) $8$ dm³

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Mihai și Ana rezolvă probleme din ultimul număr publicat al revistei Gazeta Matematică. Se știe că Ana a rezolvat cu două probleme mai mult decât Mihai. a) (2 p) Dacă problemele rezolvate de cei doi sunt diferite, este posibil ca numărul total de probleme rezolvate de Mihai și Ana să fie $15$? Justifică răspunsul. b) (3 p) Știind că numărul problemelor rezolvate de Mihai reprezintă $\frac{3}{4}$ din numărul problemelor rezolvate de Ana, determină numărul problemelor rezolvate de Ana.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(2x+1{)}^2+(2x-1{)}^2-4(2x^2-1)$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Calculează $E(10)$. b) (3 p) Determină cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $n\cdot E(10)\cdot E(11)\cdot ...\cdot E(100)$ este pătratul unui număr natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+2$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x$. a) (2 p) Argumentează că $P(1,1)$ este punctul de intersecție al reprezentărilor geometrice ale graficelor celor două funcții. b) (3 p) Calculează distanța de la originea $O(0,0)$ a sistemului de axe ortogonale $xOy$ la reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi $ABC$ cu $AB=6$ cm, $AC=9$ cm și $BC=12$ cm, iar $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și $N$ este un punct ce aparține segmentului $AC$, astfel încât $\sphericalangle ABC\equiv \sphericalangle ANM$.

a) (2 p) Arată că perimetrul triunghiului $AMN$ este egal cu $9$ cm. b) (3 p) Demonstrează că aria patrulaterului $BMNC$ reprezintă $\frac{8}{9}$ din aria triunghiului $ABC$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$. Punctul $M$ este mijlocul bazei mari $AB$ și $AM=AD=CD=12$ cm.

a) (2 p) Arată că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $108\sqrt{3}$ cm². b) (3 p) Demonstrează că bisectoarea unghiului $\sphericalangle BAD$ este perpendiculară pe dreapta $BC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O cutie de bomboane de forma unui tetraedru regulat $ABCD$, cu muchia de lungime $12$ cm, este reprezentată în figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $AB$, respectiv $CD$.

a) (2 p) Arată că $MN$ are lungimea mai mică decât $5\sqrt{3}$ cm. b) (3 p) Determină cosinusul unghiului dintre planele $(ABN)$ și $(ABC)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) Divizorii lui $20$ sunt $1,2,4,5,10,20$; suma lor este $1+2+4+5+10+20=42$.
2. b) Din $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$, luând $a=2$ și $b=3$: $1,5\cdot 2-3=3-3=0$.
3. c) $10\text{ dam}=100$ m; diferența pozitivă este $|120-100|=20$ m.
4. b) $1,(3)=1,\mathrm{333...}$; aproximarea prin lipsă la sutimi este $1,33$.
5. c) $a=-\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)=-\left(9-8\right)=-1$, deci $a^{2021}=(-1{)}^{2021}=-1$ — rezultatul scris de Mihai.
6. b) Timpul biciclistului: $6:15=0,4$ h ($24$ min); timpul pietonului: $1:3\approx 0,33$ h ($20$ min); cele două timpuri nu sunt egale, deci afirmația este falsă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Notând $AB=2$: $A=0$, $B=2$, $C=4$, $D=6$, $E=8$, $F=10$, $G=12$ (cm). Simetricul lui $E$ față de $C$ este $2\cdot 4-8=0$ (punctul $A$); simetricul lui $E$ față de $F$ este $2\cdot 10-8=12$ (punctul $G$); distanța dintre ele este $12-0=12$ cm.
2. a) Cele trei unghiuri congruente din jurul lui $O$ însumează $360^{\circ }$, deci fiecare este $120^{\circ }$. $OQ$ fiind bisectoarea lui $\sphericalangle NOP$, $m(\sphericalangle POQ)=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$, iar complementul său este $90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$.
3. b) Notând $AD=h$: $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2\Rightarrow (2h{)}^2=40^2+h^2\Rightarrow 3h^2=1600$. Distanța de la $A$ la $BD$ se calculează echivalând aria triunghiului $ABD$ (dreptunghic în $A$) în două moduri: $d(A,BD)=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{AB\cdot AD}{2\cdot AD}=\frac{AB}{2}=\frac{40}{2}=20$ m (rezultat independent de $h$).
4. d) Cu $\sphericalangle ABC=60^{\circ }$, diagonala $AC=100$ m (în $△ABC$, $AB=BC=100$ m și $m(\sphericalangle ABC)=60^{\circ }$, deci triunghiul este echilateral), iar diagonala $BD=100\sqrt{3}$ m; aria rombului este $\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{100\cdot 100\sqrt{3}}{2}=5000\sqrt{3}$ m². Patrulaterul $MNPQ$ (mijloacele laturilor) are aria egală cu jumătate din aria rombului, adică $2500\sqrt{3}$ m²; suprafața cu gazon este restul: $5000\sqrt{3}-2500\sqrt{3}=2500\sqrt{3}$ m².
5. b) $AB\parallel CD$ (ambele perpendiculare pe $MN$); cum $O$ este centrul cercului, punctele $A$, $B$, respectiv $C$, $D$ sunt simetrice față de diametrul $MN$, deci patrulaterul $ABDC$ este isoscel; cum $OP\ne OQ$, coardele $AB$ și $CD$ au lungimi diferite, deci patrulaterul este un trapez isoscel (nu dreptunghi sau pătrat).
6. d) $216=6^3$, deci cubul mare este format din $6\times 6\times 6$ cubulețe; cubulețele cu exact $3$ fețe vopsite sunt cele din cele $8$ colțuri ale cubului mare, indiferent de dimensiune. Volumul unui cubuleț este $10^3=1000$ cm³$=1$ dm³, deci volumul total este $8\cdot 1=8$ dm³.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Notând cu $m$ numărul problemelor rezolvate de Mihai și cu $a=m+2$ numărul problemelor rezolvate de Ana, suma este $a+m=2m+2$ (1 p). Cum $2m+2$ este întotdeauna număr par, iar $15$ este impar, nu este posibil ca suma să fie $15$ (1 p). b) (3 p) Din $m=\frac{3}{4}a$ și $a=m+2$, obținem $a=\frac{3}{4}a+2$ (1 p), deci $\frac{1}{4}a=2$ (1 p), de unde $a=8$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=(4x^2+4x+1)+(4x^2-4x+1)-4(2x^2-1)=8x^2+2-8x^2+4=6$, pentru orice număr real $x$ (1 p). Deci $E(10)=6$ (1 p). b) (3 p) $E(10)=E(11)=...=E(100)=6$, iar de la $10$ la $100$ sunt $91$ de termeni, deci $n\cdot E(10)\cdot E(11)\cdot ...\cdot E(100)=n\cdot 6^{91}=n\cdot 6\cdot {\left(6^{45}\right)}^2$ (1 p). Cum ${\left(6^{45}\right)}^2$ este deja pătrat perfect, produsul este pătrat perfect exact atunci când $6n$ este pătrat perfect (1 p). Cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $6n$ este pătrat perfect este $n=6$ (atunci $6n=36=6^2$) (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(1)=-1+2=1$ (1 p). $g(1)=1$; cum $f(1)=g(1)=1$, rezultă că $P(1,1)$ aparține ambelor grafice, deci este punctul lor de intersecție (1 p). b) (3 p) Graficul lui $f$ intersectează axele în $A(2,0)$ și $B(0,2)$ (1 p). Triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $O$, cu $OA=OB=2$, deci $AB=2\sqrt{2}$ (1 p). Distanța de la $O$ la $AB$ se obține echivalând aria triunghiului $OAB$ în două moduri: $d(O,AB)=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{2\cdot 2}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $\sphericalangle A$ este comun triunghiurilor $AMN$ și $ACB$, iar $\sphericalangle ANM\equiv \sphericalangle ABC$ (dat), deci $△AMN\sim △ACB$, cu $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{MN}{CB}$ (1 p). Cum $AM=\frac{AB}{2}=3$ cm, raportul de asemănare este $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, deci perimetrul $△AMN=\frac{1}{3}\cdot P_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot (6+9+12)=\frac{27}{3}=9$ cm (1 p). b) (3 p) Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare: $\frac{A_{AMN}}{A_{ABC}}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$ (2 p). Atunci $A_{BMNC}=A_{ABC}-A_{AMN}=A_{ABC}-\frac{1}{9}{A}_{ABC}=\frac{8}{9}{A}_{ABC}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Din $AM=AD=12$ și $AB=2\cdot AM=24$, iar $AMCD$ este paralelogram (deoarece $CD\parallel AM$ și $CD=AM=12$), rezultă că $△AMD$, $△DMC$ și $△MCB$ sunt triunghiuri echilaterale congruente, de latură $12$ cm (1 p). Înălțimea trapezului este înălțimea unui astfel de triunghi echilateral, $h=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm, deci $A_{ABCD}=\frac{(AB+CD)}{2}\cdot h=\frac{24+12}{2}\cdot 6\sqrt{3}=18\cdot 6\sqrt{3}=108\sqrt{3}$ cm² (1 p). b) (3 p) $AMCD$ este romb (paralelogram cu $AM=AD=12$ cm), deci diagonala $AC$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle BAD$ (1 p). Din $△AMD$ echilateral, $m(\sphericalangle BAD)=60^{\circ }$, iar $AC$ fiind bisectoarea sa, $m(\sphericalangle CAB)=30^{\circ }$; cum $△MCB$ este echilateral, $m(\sphericalangle ABC)=60^{\circ }$ (unghi de bază al trapezului isoscel) (1 p). În triunghiul $ABC$, $m(\sphericalangle ACB)=180^{\circ }-30^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }$, deci $AC\perp BC$, adică bisectoarea unghiului $\sphericalangle BAD$ este perpendiculară pe dreapta $BC$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $△ABD$ și $△ABC$ sunt echilaterale de latură $12$ cm (fețe ale tetraedrului regulat), iar $M$ este mijlocul lui $AB$, deci $DM=CM=6\sqrt{3}$ cm (înălțimi ale acestor fețe echilaterale) (1 p). Triunghiul $DMC$ este isoscel; cu $DC=12$ cm, înălțimea din $M$ pe $DC$ trece prin $N$ (mijlocul lui $DC$), deci $MN=\sqrt{D{M}^2-D{N}^2}=\sqrt{108-36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ cm. Cum ${\left(6\sqrt{2}\right)}^2=72<75={\left(5\sqrt{3}\right)}^2$, rezultă $MN<5\sqrt{3}$ cm (1 p). b) (3 p) $NM\perp AB$ (din triunghiul isoscel $ANB$, cu $AN=BN$) și $CM\perp AB$ (mediană în triunghiul echilateral $ACB$), deci unghiul dintre planele $(ABN)$ și $(ABC)$ este congruent cu unghiul $\sphericalangle NMC$ (1 p). Calculând $CM=6\sqrt{3}$ cm, $MN=6\sqrt{2}$ cm și $CN=6$ cm (jumătate din $CD=12$), se verifică $C{N}^2+M{N}^2=36+72=108=C{M}^2$, deci triunghiul $CMN$ este dreptunghic în $N$ (1 p). Atunci $\cos (\sphericalangle NMC)=\frac{MN}{MC}=\frac{6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$, deci cosinusul unghiului dintre planele $(ABN)$ și $(ABC)$ este $\frac{\sqrt{6}}{3}$ (1 p).

Test oficial de pregătire nr. 13 pentru Evaluarea Națională, absolvenți ai clasei a VIII-a, anul școlar 2020-2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este testul oficial de pregătire nr. 13 pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2020-2021, ca parte a seriei de teste de antrenament puse la dispoziția absolvenților clasei a VIII-a înaintea examenului național. Este o sursă publică, oficială, nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: suma divizorilor unui număr natural, rapoarte de numere reale, unități de măsură pentru lungime, aproximarea prin lipsă a unei fracții zecimale periodice, calcul cu radicali și puteri cu exponent mare, relația viteză-distanță-timp; geometrie plană (puncte coliniare cu simetricul unui punct față de alte două puncte, unghiuri congruente în jurul unui punct cu bisectoare și complementul unui unghi, dreptunghi cu distanța de la un vârf la diagonală, romb cu unghi de $60^{\circ }$ și patrulaterul mijloacelor laturilor, cerc cu coarde perpendiculare pe diametru) și geometrie în spațiu (cub secționat în cubulețe congruente, cu fețe vopsite); algebră (problemă cu diferența și raportul a două numere naturale, expresie constantă și produs care este pătrat perfect), funcția liniară (intersecția a două grafice, distanța de la origine la reprezentarea geometrică a unui grafic), triunghi cu unghiuri congruente și paralelă (perimetru și raport de arii), trapez isoscel (arie și bisectoarea unui unghi perpendiculară pe o latură), tetraedru regulat (distanța dintre mijloacele a două muchii opuse și cosinusul unghiului dintre două plane).

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: un triunghi cu un unghi comun și un alt unghi congruent cu unul dintr-un al doilea triunghi este asemenea acestuia (cazul U.U.); coardele perpendiculare pe același diametru al unui cerc dau naștere unui patrulater care este trapez isoscel; distanța de la un punct la o dreaptă se poate calcula echivalând aria unui triunghi dreptunghic în două moduri.