Simulare Evaluarea Națională nr. 12

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(24+4\cdot 6):8$ este: a) $21$ b) $6$ c) $36$ d) $9$

Exercițiul 2 · 5 puncte Rezultatul calculului $\sqrt{100}+\sqrt{4}$ este: a) $14$ b) $\sqrt{104}$ c) $12$ d) $50$

Exercițiul 3 · 5 puncte $30\%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $45$ b) $120$ c) $50$ d) $15$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,3,4,5\}$ și $B=\{4,5,6,7\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{2,3,6,7\}$ b) $\{4,5,6\}$ c) $\{2,3,4,5,6,7\}$ d) $\{4,5\}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{36}$ și $b=10$ este: a) $16$ b) $8$ c) $4$ d) $6$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=4-\sqrt{17}$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $8$ cm c) $3$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $14$ cm b) $10$ cm c) $\sqrt{48}$ cm d) $100$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $BC=9$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $21$ cm b) $108$ cm c) $15$ cm d) $\sqrt{63}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $40^{\circ }$ b) $80^{\circ }$ c) $20^{\circ }$ d) $160^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu dimensiunile $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $A{A}^{\prime }=5$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $148{\text{cm}}^3$ b) $120{\text{cm}}^3$ c) $60{\text{cm}}^3$ d) $15{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Pentru fondul unei excursii, elevii unei clase au strâns o sumă de bani. Cu $35\%$ din fond au plătit transportul, cu $40\%$ din suma rămasă au plătit cazarea, iar ultimii $234$ de lei au fost folosiți pentru biletele de intrare la muzeu. a) (2 p) Arată că pentru cazare s-a cheltuit mai puțin decât pentru transport. b) (3 p) Determină suma totală strânsă pentru fondul excursiei.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2-5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Costul, în lei, al unei curse cu taxiul pe o distanță de $x$ km este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+6$ (o taxă de pornire de $6$ lei și $3$ lei pentru fiecare kilometru parcurs). a) (2 p) Calculează costul unei curse de $8$ km și distanța parcursă de un client care a plătit $21$ de lei. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$, cu diagonalele $AC=16$ cm și $BD=12$ cm. a) (2 p) Calculează aria rombului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea laturii și perimetrul rombului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O bară de metal are forma unei prisme triunghiulare regulate $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu latura bazei $AB=6$ cm și înălțimea (muchia laterală) $A{A}^{\prime }=10$ cm. a) (2 p) Calculează aria bazei și perimetrul bazei prismei. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul prismei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi. Se acordă zece puncte din oficiu. Total: 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(24+4\cdot 6):8=(24+24):8=48:8=6$.
2. c) $\sqrt{100}+\sqrt{4}=10+2=12$.
3. a) $30\%\cdot 150=\frac{30}{100}\cdot 150=45$.
4. d) Elementele comune sunt $4$ și $5$, deci $A\cap B=\{4,5\}$.
5. b) $a=\sqrt{36}=6$; media $=\frac{6+10}{2}=8$.
6. a) $\sqrt{17}>\sqrt{16}=4$, deci $a=4-\sqrt{17}<0$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) $AC=AB+BC=6+10=16$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=8$ cm; $MB=AM-AB=8-6=2$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. b) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm.
4. c) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm.
5. a) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. b) $V=AB\cdot BC\cdot A{A}^{\prime }=6\cdot 4\cdot 5=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ suma totală (fondul excursiei). a) (2 p) Transportul: $35\%$ din $S$. Suma rămasă după transport: $65\%$ din $S$, iar cazarea reprezintă $40\%\cdot 65\%\cdot S=26\%$ din $S$ (1 p). Cum $26\%<35\%$, pentru cazare s-a cheltuit mai puțin decât pentru transport (1 p). b) (3 p) După transport și cazare s-a cheltuit $35\%+26\%=61\%$ din $S$, deci a rămas $39\%\cdot S$ (1 p). Acest rest este suma pentru bilete: $39\%\cdot S=234$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{234}{0,39}=600$ lei (1 p). (Verificare: transport $210$ lei, cazare $156$ lei, bilete $234$ lei; $210+156+234=600$.)

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2-5x=x(x-5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=5$, rămân $x\in \{-5,-1,1\}$ (1 p) (verificare: $E(-5)=0$, $E(-1)=-4$, $E(1)=6$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) Costul unei curse de $8$ km: $f(8)=3\cdot 8+6=30$ lei (1 p). Pentru un cost de $21$ lei: $3x+6=21\Rightarrow 3x=15\Rightarrow x=5$ km (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 3x+6=0\Rightarrow x=-2$, deci $A(-2,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=6$, deci $B(0,6)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu $OA=2$ și $OB=6$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 6}{2}=6$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Diagonalele rombului sunt perpendiculare, deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{16\cdot 12}{2}=96{\text{cm}}^2$ (2 p). b) (3 p) Diagonalele se înjumătățesc: $\frac{AC}{2}=8$ cm și $\frac{BD}{2}=6$ cm (1 p). Latura (Pitagora în triunghiul format de semidiagonale): $\ell =\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ cm (1 p). Perimetrul: $P=4\cdot \ell =4\cdot 10=40$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=5$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{5}{13},\cos B=\frac{12}{13},\mathrm{tg}B=\frac{5}{12}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+5+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Baza este un triunghi echilateral cu latura $\ell =6$ cm. a) (2 p) Aria bazei: $A_b=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Perimetrul bazei: $P_b=3\cdot 6=18$ cm (1 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{\ell }=P_b\cdot A{A}^{\prime }=18\cdot 10=180{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria totală: $A_t=A_{\ell }+2\cdot A_b=180+2\cdot 9\sqrt{3}=180+18\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=A_b\cdot A{A}^{\prime }=9\sqrt{3}\cdot 10=90\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi. Se acordă zece puncte din oficiu. Total: 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.