Testul oficial de pregătire nr. 3 — Evaluarea Națională 2022

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $5\cdot (3+2\cdot 4)$ este egal cu: a) $23$ b) $40$ c) $55$ d) $100$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $10\%$ din $300$ este egal cu: a) $3$ b) $9$ c) $27$ d) $30$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic multiplu comun al numerelor $20$ și $24$ este egal cu: a) $4$ b) $60$ c) $120$ d) $480$

Exercițiul 4 · 5 puncte Cel mai mare număr din mulțimea $A=\left\{\frac{33}{10},\frac{5}{2},\frac{3}{5},3\right\}$ este: a) $\frac{33}{10}$ b) $3$ c) $\frac{5}{2}$ d) $\frac{3}{5}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $4\sqrt{3}$, $5\sqrt{3}$ și $-3\sqrt{3}$ este egală cu: a) $2\sqrt{3}$ b) $3\sqrt{3}$ c) $4\sqrt{3}$ d) $6\sqrt{6}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Suma dintre vârsta Anei și vârsta lui Matei este de $15$ ani. Afirmația „Peste $3$ ani suma vârstelor Anei și a lui Matei va fi egală cu $18$ ani.” este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt puncte coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=BC=CD$. Valoarea raportului $\frac{BD}{AC}$ este egală cu:

a) $0,25$ b) $0,5$ c) $0,75$ d) $1$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat unghiul $AOB$ cu măsura de $120^{\circ }$. Semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$. Semidreapta $OC$ este situată în interiorul unghiului $AOD$, astfel încât măsura unghiului $AOD$ este de două ori mai mare decât măsura unghiului $AOC$. Măsura unghiului $COB$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $AB=AC$ și $BC=6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și $AM=4$ cm. Perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu:

a) $10$ cm b) $12$ cm c) $16$ cm d) $18$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu aria de $24{\text{ cm}}^2$. Punctul $P$ aparține laturii $CD$, astfel încât $DP=3\cdot PC$. Aria triunghiului $PBC$ este egală cu:

a) $12{\text{ cm}}^2$ b) $8{\text{ cm}}^2$ c) $6{\text{ cm}}^2$ d) $3{\text{ cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte Lungimea unui cerc este egală cu $24\pi$ cm. Diametrul cercului este egal cu: a) $24$ cm b) $18$ cm c) $12$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $VABC$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $AC$, respectiv $BC$. Măsura unghiului dreptelor $MN$ și $VA$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Pentru a viziona un spectacol de teatru împreună cu familia, Ana cumpără trei bilete pentru adulți și șase bilete pentru copii, plătind în total suma de $420$ de lei. Prețul unui bilet pentru copii reprezintă $50\%$ din prețul unui bilet pentru adulți. a) (2 p) Este posibil ca prețul unui bilet pentru copii să fie $25$ de lei? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină prețul biletului pentru un adult.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(x+2{)}^2-(x-2{)}^2$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(x)=8x$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Demonstrează că numărul natural $A=E(n^2)+E(n)$ este multiplu al lui $16$, pentru orice număr natural $n$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-4$. a) (2 p) Reprezintă grafic funcția $f$ în sistemul de axe ortogonale $xOy$. b) (3 p) Determină mulțimea soluțiilor inecuației $1-f(a)\le f(4)$, unde $a$ este număr real.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=12$ cm. Punctul $S$ este mijlocul segmentului $BC$, punctul $D$ este simetricul punctului $B$ față de $AC$, iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $DS$ și $AC$.

a) (2 p) Arată că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $36$ cm. b) (3 p) Determină lungimea segmentului $DQ$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=20$ cm și $AD=15$ cm. Dreptele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$, iar punctele $E$ și $F$ se află pe latura $CD$, astfel încât $DE=FC=5$ cm.

a) (2 p) Arată că sinusul unghiului $ABD$ este egal cu $\frac{3}{5}$. b) (3 p) Calculează lungimea segmentului $OI$, unde $I$ este punctul de intersecție a dreptelor $BE$ și $AF$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu lungimea diagonalei $A{C}^{\prime }$ de $6\sqrt{3}$ cm.

a) (2 p) Arată că aria laterală a cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egală cu $144{\text{ cm}}^2$. b) (3 p) Determină măsura unghiului dreptelor $B^{\prime }C$ și $OB$, unde $\{O\}=A{D}^{\prime }\cap A^{\prime }D$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) Ordinea operațiilor: $5\cdot (3+2\cdot 4)=5\cdot (3+8)=5\cdot 11=55$.
2. d) $10\%$ din $300$ este $\frac{10}{100}\cdot 300=30$.
3. c) $20=2^2\cdot 5$, $24=2^3\cdot 3$, deci $\text{c.m.m.m.c.}(20,24)=2^3\cdot 3\cdot 5=120$.
4. a) $\frac{33}{10}=3,3$, $\frac{5}{2}=2,5$, $\frac{3}{5}=0,6$, iar $3<3,3$, deci cel mai mare este $\frac{33}{10}$.
5. a) Media aritmetică este $\frac{4\sqrt{3}+5\sqrt{3}+(-3\sqrt{3})}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.
6. b) Peste $3$ ani, suma vârstelor crește cu $6$ ani (câte $3$ ani pentru fiecare dintre cele două persoane), deci suma va fi $15+6=21$ ani, nu $18$ ani; afirmația este falsă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Notând $AB=BC=CD=x$, obținem $AC=2x$ și $BD=2x$, deci $\frac{BD}{AC}=1$.
2. c) $OD$ fiind bisectoarea unghiului $AOB$, $m(\angle AOD)=m(\angle DOB)=60^{\circ }$. Cum $m(\angle AOD)=2\cdot m(\angle AOC)$, rezultă $m(\angle AOC)=30^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=60^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$, iar $m(\angle COB)=m(\angle COD)+m(\angle DOB)=30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$.
3. c) $M$ fiind mijlocul lui $BC$, în triunghiul isoscel $ABC$ mediana $AM$ este și înălțime, deci triunghiul $ABM$ este dreptunghic în $M$, cu $BM=3$ cm și $AM=4$ cm; $AB=\sqrt{A{M}^2+B{M}^2}=\sqrt{16+9}=5$ cm; perimetrul este $AB+AC+BC=5+5+6=16$ cm.
4. d) Din $DP=3\cdot PC$ și $DP+PC=DC$, rezultă $PC=\frac{DC}{4}$; aria triunghiului $PBC$ este $\frac{1}{8}$ din aria dreptunghiului (calcul direct în coordonate), deci ${\mathcal{A}}_{PBC}=\frac{24}{8}=3{\text{ cm}}^2$.
5. a) Din $C=\pi d$, rezultă $d=\frac{C}{\pi }=\frac{24\pi }{\pi }=24$ cm.
6. c) $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$, deci $MN\parallel AB$; cum tetraedrul este regulat, triunghiul $VAB$ este echilateral, deci $m(\angle VAB)=60^{\circ }$, iar unghiul dreptelor $MN$ și $VA$ este egal cu unghiul dintre $AB$ și $VA$, adică $60^{\circ }$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dacă prețul unui bilet pentru copii este $25$ de lei, atunci prețul unui bilet pentru adulți este $50$ de lei (1 p). Dar $3\cdot 50+6\cdot 25=300$ de lei, iar cum $300\ne 420$, obținem că nu este posibil ca prețul unui bilet pentru copii să fie $25$ de lei (1 p). b) (3 p) Notăm cu $x$ prețul unui bilet pentru adulți, deci prețul unui bilet pentru copii este $\frac{x}{2}$ (1 p). Din $3x+6\cdot \frac{x}{2}=420$ obținem $6x=420$ (1 p), deci $x=70$ de lei, prețul biletului pentru un adult (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=(x+2{)}^2-(x-2{)}^2=(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)$ (1 p) $=8x$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) $A=E(n^2)+E(n)=8n^2+8n=8n(n+1)$, pentru orice număr natural $n$ (1 p). Cum $n$ și $n+1$ sunt două numere naturale consecutive, unul dintre ele este par, deci produsul $n(n+1)$ este întotdeauna par (1 p), adică $n(n+1)=2k$, cu $k$ număr natural; obținem $A=8\cdot 2k=16k$, deci $A$ este multiplu al lui $16$, pentru orice număr natural $n$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) Determinarea a două puncte care aparțin graficului funcției $f$: $f(0)=-4$, deci $A(0,-4)$, și $f(4)=0$, deci $B(4,0)$ (1 p). Reprezentarea punctelor și trasarea graficului funcției $f$ (dreapta $AB$) (1 p). b) (3 p) $f(4)=4-4=0$, iar $1-f(a)=1-(a-4)=5-a$ (1 p). Inecuația devine $5-a\le 0$ (1 p), deci $a\ge 5$, adică mulțimea soluțiilor este $[5,+\infty )$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Perimetrul unui triunghi echilateral este $P_{ABC}=3\cdot AB$ (1 p) $=3\cdot 12=36$ cm (1 p). b) (3 p) $AS$ este mediană în triunghiul echilateral $ABC$, deci $AS$ este și înălțime, iar $AS=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm (1 p). Cum $D$ este simetricul lui $B$ față de $AC$, patrulaterul $ABCD$ este paralelogram (cu $AD=AB=12$ cm), iar $AS\perp AD$, deci în triunghiul dreptunghic $ASD$: $SD=\sqrt{A{S}^2+A{D}^2}=\sqrt{108+144}=6\sqrt{7}$ cm (1 p). Din asemănarea triunghiurilor $QSC$ și $QDA$ (cu raportul $\frac{SC}{AD}=\frac{1}{2}$), rezultă $\frac{QS}{QD}=\frac{1}{2}$, deci $QD=\frac{2}{3}\cdot SD=\frac{2}{3}\cdot 6\sqrt{7}=4\sqrt{7}$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul $ABD$, dreptunghic în $A$, $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{400+225}=25$ cm (1 p). $\sin (\angle ABD)=\frac{AD}{BD}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$ (1 p). b) (3 p) $DF=EC=DC-FC=DC-DE=20-5=15$ cm, deci triunghiurile $ADF$ și $BCE$ sunt dreptunghice isoscele (1 p). Segmentul $EF=DC-DE-FC=20-5-5=10$ cm; cum triunghiul $EIF$ este dreptunghic isoscel (cu unghiurile de la $E$ și $F$ egale cu $45^{\circ }$), iar $S$ este mijlocul lui $EF$, obținem $IS=\frac{EF}{2}=5$ cm, cu $O$, $I$ și $S$ puncte coliniare (1 p). $OS$ este linie mijlocie în triunghiul $DBC$, deci $OS=\frac{BC}{2}=7,5$ cm; din $OS=OI+IS$, obținem $OI=7,5-5=2,5$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Diagonala cubului este $A{C}^{\prime }=a\sqrt{3}$, unde $a$ este muchia; din $a\sqrt{3}=6\sqrt{3}$, obținem $a=6$ cm (1 p). Aria laterală a cubului este $4a^2=4\cdot 36=144{\text{ cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Patrulaterul $A^{\prime }{B}^{\prime }CD$ este paralelogram (căci $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel DC$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }=DC$), deci $C{B}^{\prime }\parallel D{A}^{\prime }$ (1 p). Cum $O\in D{A}^{\prime }$, unghiul dreptelor $B^{\prime }C$ și $OB$ este egal cu unghiul dreptelor $D{A}^{\prime }$ și $OB$, adică $m(\angle BOD)$ (1 p). Deoarece $O$ este centrul feței $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ și $AO\perp D{A}^{\prime }$ (diagonalele pătratului $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ sunt perpendiculare), iar $AB$ este perpendiculară pe planul $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$, segmentul $AO$ este proiecția lui $BO$ pe acest plan; cum $AO\perp OD$, din teorema celor trei perpendiculare obținem $OB\perp OD$, deci măsura unghiului dreptelor $B^{\prime }C$ și $OB$ este egală cu $90^{\circ }$ (1 p).

Test oficial de pregătire nr. 3 pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2021–2022, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 3 din seria de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2021–2022. Este o sursă publică, oficială (documentele de pregătire publicate de CNPEE), nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: ordinea operațiilor cu paranteze, procente, cel mai mic multiplu comun, compararea numerelor reale, media aritmetică a radicalilor, raționament cu vârste; geometrie plană (puncte coliniare cu rapoarte de segmente, unghi și bisectoare, triunghi isoscel cu mediană, dreptunghi cu arie de triunghi, lungimea cercului) și geometrie în spațiu (tetraedru regulat cu unghiul a două drepte); algebră (expresii cu pătrate perfecte, multiplu al lui 16), funcția liniară cu inecuație, geometrie plană cu simetrie și triunghiuri asemenea, trigonometrie în triunghiul dreptunghic cu linie mijlocie, geometrie în spațiu cu cub (arie laterală și unghiul a două drepte).

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: unghiurile opuse la vârf sunt egale; bisectoarea unui unghi îl împarte în două unghiuri congruente; într-un triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și înălțime; lungimea cercului este $C=2\pi R=\pi d$.