Testul oficial de pregătire nr. 6 — Evaluarea Națională 2022

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $8-6:2$ este egal cu: a) $-5$ b) $-1$ c) $1$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul natural care reprezintă $10\%$ din $1000$ este egal cu: a) $1$ b) $10$ c) $100$ d) $990$

Exercițiul 3 · 5 puncte Soluția ecuației $4-x=6$ este: a) $-10$ b) $-2$ c) $2$ d) $24$

Exercițiul 4 · 5 puncte Din setul de numere $3,(21)$; $32,1$; $3,21$; $3,2(1)$ cel mai mic număr este: a) $3,21$ b) $3,(21)$ c) $3,2(1)$ d) $32,1$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi Dan, Mihai, Ana și Miruna, calculează media geometrică a numerelor reale $a=6-2\sqrt{5}$ și $b=6+2\sqrt{5}$ și au obținut rezultatele înregistrate în tabelul de mai jos.

Conform informațiilor din tabel, dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este: a) Dan b) Mihai c) Ana d) Miruna

Exercițiul 6 · 5 puncte Răspunsurile primite în urma unui sondaj de opinie privind folosirea unui produs de curățenie în gospodărie sunt înregistrate în diagrama alăturată. Numărul persoanelor care au răspuns la acest chestionar este egal cu:

a) $100$ b) $150$ c) $400$ d) $500$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat unghiul propriu $AOB$ și punctele $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$ și $S$. Punctele care se află în interiorul unghiului $AOB$ sunt:

a) $N$, $S$ și $P$ b) $M$, $R$ și $Q$ c) $S$, $P$ și $Q$ d) $A$, $N$ și $B$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare $\angle AOB$ și $\angle BOC$, iar $\angle AOB=2\cdot \angle BOC$. Semidreapta $OD$ este opusă semidreptei $OB$. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $180^{\circ }$ b) $120^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $30^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ care are perimetrul egal cu $48\text{ cm}$. Punctul $M$ aparține segmentului $BC$, astfel încât perimetrul triunghiului $ABM$ este egal cu $24\text{ cm}$ și perimetrul triunghiului $ACM$ este egal cu $36\text{ cm}$. Lungimea segmentului $AM$ este egală cu:

a) $3$ cm b) $6$ cm c) $12$ cm d) $24$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$. Dreptele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. Măsura unghiului $DOC$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată, pe cercul de centru $O$, sunt reprezentate punctele $A$, $B$ și $C$. Unghiurile $AOB$, $BOC$ și $AOC$ sunt congruente. Măsura arcului mic $AB$ este egală cu:

a) $60^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $120^{\circ }$ d) $180^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=2$ cm și $B{B}^{\prime }=4$ cm. Aria laterală a prismei $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egală cu:

a) $8{\text{ cm}}^2$ b) $18{\text{ cm}}^2$ c) $24{\text{ cm}}^2$ d) $32{\text{ cm}}^2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Laura cheltuiește o sumă de bani în trei zile. În prima zi cheltuiește $\frac{1}{2}$ din sumă, în a doua zi cheltuiește $\frac{1}{3}$ din suma rămasă, iar în a treia zi cheltuiește restul de $100$ de lei. a) (2 p) Verifică dacă Laura cheltuiește în prima zi mai mult decât cheltuiește în a doua zi. Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină ce sumă a cheltuit Laura în cele trei zile.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=3(x-2)\cdot (x+2)-(x-3{)}^2-9(x-1)+3$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(x)=(x-3)(2x+3)$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Determină numărul natural $n$ pentru care $E(n)$ este număr prim.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-6$.

a) (2 p) Calculează $f(2)\cdot f(3)$. b) (3 p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctul $M(m,0)$ și punctele $A$ și $B$ care sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$. Află valorile numărului $m$ pentru care aria triunghiului $ABM$ este egală cu $6$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $\angle BAC=90^{\circ }$, $\angle ABC=60^{\circ }$ și $AB=6\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, iar punctul $P$ este mijlocul segmentului $AM$.

a) (2 p) Arată că $AM=6\text{ cm}$. b) (3 p) Determină distanța de la punctul $P$ la dreapta $BC$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=8\text{ cm}$, $AD=6\text{ cm}$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Punctul $E$ este mijlocul segmentului $OD$, iar punctul $F$ este mijlocul segmentului $CO$.

a) (2 p) Determină lungimea segmentului $EF$. b) (3 p) Determină aria trapezului $DEFC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12\text{ cm}$.

a) (2 p) Determină măsura unghiului $\angle A{B}^{\prime }C$. b) (3 p) Determină distanța de la punctul $B$ la planul $(A{B}^{\prime }C)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) Împărțirea se efectuează înaintea scăderii: $8-6:2=8-3=5$.
2. c) $10\%$ din $1000$ este $\frac{10}{100}\cdot 1000=100$.
3. b) $4-x=6\Rightarrow x=4-6=-2$.
4. a) $3,(21)=3,2121\dots$, $3,2(1)=3,2111\dots$, $3,21=3,21$, $32,1=32,1$; cel mai mic este $3,21$.
5. a) $a\cdot b=(6-2\sqrt{5})(6+2\sqrt{5})=36-20=16$, deci media geometrică este $\sqrt{16}=4$, valoarea obținută de Dan.
6. d) Numărul total de persoane este $100+150+120+130=500$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Punctele $S$, $P$ și $Q$ se află între cele două laturi ale unghiului $AOB$; $M$ este exterior (deasupra laturii $OA$), iar $R$ este exterior (sub latura $OB$).
2. b) $\angle AOB+\angle BOC=180^{\circ }$ (adiacente suplementare) și $\angle AOB=2\cdot \angle BOC$, deci $\angle BOC=60^{\circ }$ și $\angle AOB=120^{\circ }$. Cum $OD$ este opusă lui $OB$, $\angle COD=180^{\circ }-\angle BOC=120^{\circ }$.
3. b) Din $AB+BM+AM=24$ și $AC+CM+AM=36$, prin adunare: $AB+AC+(BM+CM)+2AM=60$, adică $48+2AM=60$, deci $AM=6$ cm.
4. d) Diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare, deci $\angle DOC=90^{\circ }$.
5. c) Cele trei unghiuri congruente din jurul lui $O$ însumează $360^{\circ }$, deci fiecare este $120^{\circ }$; măsura arcului mic $AB$ este egală cu măsura unghiului la centru $\angle AOB=120^{\circ }$.
6. c) Aria laterală a prismei este $3\cdot AB\cdot B{B}^{\prime }=3\cdot 2\cdot 4=24{\text{ cm}}^2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Notăm cu $x$ suma cheltuită de Laura. În prima zi cheltuiește $\frac{1}{2}x$, iar în a doua zi cheltuiește $\frac{1}{3}$ din suma rămasă $\left(\frac{1}{2}x\right)$, adică $\frac{1}{6}x$. Deoarece $\frac{1}{2}>\frac{1}{6}$, deducem că Laura a cheltuit mai mult în prima zi. b) (3 p) În a treia zi rămâne $x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}x=\frac{1}{3}x$, care este egal cu $100$ lei: $\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x+100=x\Rightarrow 100=x-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x\Rightarrow x=300$ lei.

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=3(x^2-4)-(x^2-6x+9)-9x+9+3=3x^2-12-x^2+6x-9-9x+9+3=2x^2-3x-9$, pentru orice număr real $x$. Cum $(x-3)(2x+3)=2x^2+3x-6x-9=2x^2-3x-9$, rezultă $E(x)=(x-3)(2x+3)$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Cum $E(n)$ este număr prim, iar factorul $2n+3\ge 3$ pentru orice $n$ natural, singura posibilitate ca produsul $(n-3)(2n+3)$ să fie un număr prim (pozitiv) este $n-3=1$, deci $n=4$, de unde $E(4)=1\cdot 11=11$, număr prim. (Cazul $2n+3=1$ conduce la $n=-1$, care nu este număr natural, deci nu convine.)

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(2)=3\cdot 2-6=0$, deci $f(2)\cdot f(3)=0\cdot f(3)=0$. b) (3 p) $A(2,0)$ și $B(0,-6)$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$. Cum $A$ și $M(m,0)$ sunt pe axa $Ox$, iar $B$ este la distanța $6$ de axa $Ox$, ${\mathcal{A}}_{ABM}=\frac{AM\cdot OB}{2}=\frac{AM\cdot 6}{2}=3\cdot AM=6\Rightarrow AM=2$. Din $AM=|m-2|=2$ obținem $m=4$ sau $m=0$.

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $\angle ABC=60^{\circ }$, deci $\angle ACB=30^{\circ }$, de unde $BC=\frac{AB}{\cos 60^{\circ }}=2\cdot AB=12\text{ cm}$. Cum $AM$ este mediană corespunzătoare ipotenuzei, $AM=\frac{BC}{2}=6\text{ cm}$. b) (3 p) Din $AM=MB=6\text{ cm}$ și $\angle ABM=\angle ABC=60^{\circ }$, triunghiul $ABM$ este echilateral, deci $\angle AMB=60^{\circ }$. Cum $P$ este mijlocul lui $AM$, $PM=3\text{ cm}$. Fie $Q$ piciorul perpendicularei din $P$ pe $BC$; în triunghiul dreptunghic $PMQ$ (dreptunghic în $Q$), $\angle PMQ=60^{\circ }$, deci $QM=PM\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{3}{2}\text{ cm}$, iar distanța de la $P$ la $BC$ este $PQ=\sqrt{P{M}^2-Q{M}^2}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\text{ cm}$.

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $EF$ este linie mijlocie în triunghiul $COD$ (unește mijloacele laturilor $OD$ și $OC$), deci $EF=\frac{CD}{2}=\frac{AB}{2}=4\text{ cm}$. b) (3 p) Diagonalele dreptunghiului sunt egale și se înjumătățesc, deci $OD=OC=\frac{BD}{2}$, unde $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{64+36}=10\text{ cm}$, adică $OD=OC=5\text{ cm}$. Aria triunghiului $ODC$ este un sfert din aria dreptunghiului: ${\mathcal{A}}_{ODC}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{4}=\frac{8\cdot 6}{4}=12{\text{ cm}}^2$. Cum triunghiul $OEF$ este asemenea cu triunghiul $ODC$ în raportul $\frac{1}{2}$ (E, F mijloacele laturilor $OD$, $OC$), ${\mathcal{A}}_{OEF}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot {\mathcal{A}}_{ODC}=3{\text{ cm}}^2$. Aria trapezului $DEFC$ este ${\mathcal{A}}_{DEFC}={\mathcal{A}}_{ODC}-{\mathcal{A}}_{OEF}=12-3=9{\text{ cm}}^2$.

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $A{B}^{\prime }$, $B^{\prime }C$ și $AC$ sunt diagonale ale unor fețe ale cubului, deci $A{B}^{\prime }=B^{\prime }C=AC=12\sqrt{2}\text{ cm}$. Triunghiul $A{B}^{\prime }C$ este echilateral, deci $\angle A{B}^{\prime }C=60^{\circ }$. b) (3 p) Muchiile $BA$, $BC$ și $B{B}^{\prime }$ sunt mutual perpendiculare, fiecare de lungime $12$ cm, iar $A$, $C$, $B^{\prime }$ sunt exact vârfurile triunghiului echilateral $A{B}^{\prime }C$. Pentru un vârf din care pornesc trei muchii perpendiculare două câte două, de lungime $a$, distanța de la acel vârf la planul determinat de celelalte trei capete este $\frac{a}{\sqrt{3}}$. Astfel, distanța de la $B$ la planul $(A{B}^{\prime }C)$ este $\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\text{ cm}$.

Testul 6 din seria de teste oficiale de pregătire pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2021-2022, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul 6 din seria de teste oficiale de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicată de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru anul școlar 2021-2022. Este o sursă publică, oficială, nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: ordinea operațiilor, procente, ecuații simple, ordonarea numerelor zecimale periodice, medie geometrică cu radicali, citirea unei diagrame circulare; geometrie plană (unghi propriu și puncte interioare, unghiuri adiacente suplementare, triunghi cu perimetre parțiale, pătrat cu diagonalele, cerc cu unghiuri congruente la centru) și geometrie în spațiu (prismă triunghiulară dreaptă cu arie laterală); algebră (expresie cu paranteze, factorizare și număr prim), funcția liniară cu arie de triunghi, triunghi dreptunghic $30°$-$60°$-$90°$ cu linie mijlocie, dreptunghi cu linie mijlocie în triunghi și arie de trapez, cub cu unghiul dintre diagonalele de față și distanța de la un vârf la un plan.

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: mediana corespunzătoare ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză; diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare; unghiurile la centrul cercului subîntind arce de măsură egală cu măsura unghiului; segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi este linie mijlocie, paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din ea.