Modelul oficial CNPEE — Evaluarea Națională 2010

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $64:8+8$ este egal cu: a) $4$ b) $16$ c) $9$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Fie mulțimile $A=\{-2,1,2,4\}$ și $B=\{0,4\}$. Mulțimea $A\cap B$ este egală cu: a) $\{4\}$ b) $\varnothing$ c) $\{0\}$ d) $\{-2,0,1,2,4\}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Într-o urnă sunt $11$ bile negre și $18$ bile albe. Se extrage o bilă. Probabilitatea ca bila extrasă să fie neagră este egală cu: a) $\frac{18}{29}$ b) $\frac{11}{18}$ c) $\frac{29}{11}$ d) $\frac{11}{29}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Diametrul unui cerc este de $4$ m. Lungimea razei cercului este egală cu: a) $4$ m b) $2$ m c) $8$ m d) $1$ m

Exercițiul 5 · 5 puncte Aria totală a unui cub este egală cu $150{\text{dm}}^2$. Muchia acestui cub este de: a) $25$ dm b) $15$ dm c) $5$ dm d) $6$ dm

Exercițiul 6 · 5 puncte Toți elevii unei clase au susținut teza la matematică. Rezultatele obținute sunt reprezentate în graficul de mai jos. Conform graficului, clasa are un număr de:

a) $30$ elevi b) $18$ elevi c) $7$ elevi d) $25$ elevi

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte O piramidă patrulateră regulată are vârful $S$ și baza $ABCD$, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor laterale ale piramidei $SABCD$ este egal cu: a) $3$ b) $4$ c) $5$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Într-o bibliotecă, pe un raft se află $24$ de cărți, iar pe alt raft se află de două ori mai multe cărți. Câte cărți se află, în total, pe cele două rafturi? a) $48$ b) $60$ c) $96$ d) $72$

Exercițiul 3 · 5 puncte Într-o pungă sunt bomboane. Dacă bomboanele se împart în mod egal unui grup de $4$ copii, atunci rămân în pungă $3$ bomboane. Dacă bomboanele se împart în mod egal unui grup de $7$ copii, atunci rămân în pungă $6$ bomboane. Verificați dacă în pungă pot fi $55$ de bomboane. a) Da, deoarece $55:4$ dă rest $3$ și $55:7$ dă rest $6$ b) Nu, deoarece $55:4$ nu dă rest $3$ c) Nu, deoarece $55:7$ nu dă rest $6$ d) Nu se poate preciza

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră din nou punga de bomboane de la itemul anterior (rămân $3$ bomboane la împărțirea la $4$ copii și $6$ bomboane la împărțirea la $7$ copii). Care poate fi cel mai mic număr de bomboane din pungă, înainte ca acestea să fie împărțite copiilor? a) $13$ b) $20$ c) $27$ d) $55$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-5$. Se verifică dacă punctele $P(0;5)$ și $Q(5;0)$ aparțin graficului funcției $f$. Rezultă că: a) Ambele puncte $P$ și $Q$ aparțin graficului b) Doar punctul $Q$ aparține graficului c) Doar punctul $P$ aparține graficului d) Niciun punct nu aparține graficului

Exercițiul 6 · 5 puncte Arătând că $(x+2{)}^3-x-2=(x+1)(x+2)(x+3)$, pentru orice $x$ număr real, forma factorizată corectă a expresiei $(x+2{)}^3-x-2$ este: a) $(x+1)(x+2{)}^2$ b) $(x-1)(x+2)(x+3)$ c) $(x+2)(x+3)(x+4)$ d) $(x+1)(x+2)(x+3)$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt ilustrate schematic pardoseala unui salon $AMGD$ și pardoseala unei camere de zi $MBCG$. $AB=6$ m, $BC=5$ m, $CD=10$ m, $M$ este un punct situat pe segmentul $(AB)$, $AM=x$ ($x$ este o distanță exprimată în metri; $0<x<6$).

Exprimați, în funcție de $x$, aria pardoselii camerei de zi $MBCG$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou pardoseala salonului $AMGD$ și pardoseala camerei de zi $MBCG$ de la itemul 1, cu $AB=6$ m, $BC=5$ m, $CD=10$ m, $M$ pe segmentul $(AB)$, $AM=x$ ($0<x<6$).

Arătați că aria pardoselii salonului $AMGD$ este egală cu $5(x+2){\text{m}}^2$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou pardoseala salonului $AMGD$ și pardoseala camerei de zi $MBCG$ de la itemul 1, cu $AB=6$ m, $BC=5$ m, $CD=10$ m, $M$ pe segmentul $(AB)$, $AM=x$ ($0<x<6$).

Pentru ce valoare reală a lui $x$ aria pardoselii salonului $AMGD$ este egală cu aria pardoselii camerei de zi $MBCG$?

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră din nou salonul $AMGD$ de la itemul 1, cu $AB=6$ m, $BC=5$ m, $CD=10$ m.

Se consideră $AM=2$ m. O persoană cumpără gresie pentru salonul $AMGD$. Un metru pătrat de gresie costă $80$ de lei. Pentru fiecare metru pătrat de gresie se acordă o reducere de $5\%$ oricărei persoane care cumpără mai mult de $10{\text{m}}^2$. Toată gresia cumpărată pentru salon are suprafața mai mare cu un metru pătrat decât suprafața salonului. Cât a costat în total gresia pentru salonul $AMGD$?

Exercițiul 5 · 5 puncte Figura de mai jos reprezintă schematic o fântână săpată în piatră. $SABCD$ este o piramidă patrulateră regulată, de înălțime $SO=9$ dm, în care este săpată o piramidă patrulateră regulată $TABCD$ corespunzătoare unui bazin plin cu apă. $ST=3$ dm, iar baza $ABCD$ este un pătrat de latură $AB=6$ dm.

Calculați aria totală a piramidei $SABCD$, în care este săpată fântâna.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou fântâna de la itemul 5: $SABCD$ este o piramidă patrulateră regulată, de înălțime $SO=9$ dm, în care este săpată piramida patrulateră regulată $TABCD$ corespunzătoare bazinului plin cu apă, $ST=3$ dm, iar baza $ABCD$ este un pătrat de latură $AB=6$ dm.

Verificați dacă în bazinul $TABCD$ pot intra $70$ de litri de apă.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $64:8+8=8+8=16$ (întâi împărțirea, apoi adunarea).
2. a) $A\cap B=\{4\}$ — elementul comun celor două mulțimi.
3. d) $P=\frac{11}{29}$ ($11$ bile negre din totalul de $11+18=29$ bile).
4. b) Raza este jumătate din diametru: $4:2=2$ m.
5. c) Aria totală $=6{\ell }^2=150\Rightarrow {\ell }^2=25\Rightarrow \ell =5$ dm.
6. a) Suma frecvențelor din grafic: $3+4+5+7+6+3+2=30$ elevi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) O piramidă patrulateră are $4$ fețe laterale (câte una pentru fiecare latură a bazei $ABCD$), plus baza.
2. d) Raftul al doilea are $24\cdot 2=48$ cărți; în total $48+24=72$ cărți.
3. a) $55:4=13$ rest $3$ și $55:7=7$ rest $6$ — ambele resturi coincid cu cele din enunț, deci pot fi $55$ de bomboane.
4. c) Cel mai mic număr care dă rest $3$ la împărțirea cu $4$ și rest $6$ la împărțirea cu $7$ este $x=27$ ($13$ și $20$ verifică doar restul la $7$; $55$ verifică ambele resturi, dar nu este cel mai mic).
5. b) $f(0)=-5\ne 5$, deci $P(0;5)\notin G_f$; $f(5)=0$, deci $Q(5;0)\in G_f$ — doar $Q$ aparține graficului.
6. d) $(x+2{)}^3-x-2=(x+2)\left[(x+2{)}^2-1\right]=(x+2)(x+1)(x+3)=(x+1)(x+2)(x+3)$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $MB=6-x$ (2 p). $A_{MBCG}=MB\cdot BC$ (1 p). $A_{MBCG}=5(6-x){\text{m}}^2$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $DG=4+x$ (2 p). $A_{AMGD}=\frac{(DG+AM)\cdot MG}{2}$ (1 p). $A_{AMGD}=\frac{(4+x+x)\cdot 5}{2}=5(x+2){\text{m}}^2$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $5(6-x)=5(x+2)$ (2 p). Finalizare: $x=2$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $A_{AMGD}=5\cdot 4=20{\text{m}}^2$ (1 p). $20{\text{m}}^2>10{\text{m}}^2$, deci se acordă reducere; pentru $1{\text{m}}^2$ de gresie se plătește $80-80\cdot 5\%=76$ lei (2 p). Toată gresia costă $76\cdot 21=1596$ lei (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $A_{ABCD}=36{\text{dm}}^2$ (1 p). Calculul apotemei piramidei: $SM=3\sqrt{10}$ dm, unde $M$ este mijlocul unei muchii a bazei (2 p). $A_{lateral\breve{a}}=36\sqrt{10}{\text{dm}}^2$ (1 p). $A_{total\breve{a}}=36(\sqrt{10}+1){\text{dm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $OT=SO-ST=6$ dm (1 p). $V_{TABCD}=72{\text{dm}}^3$ (dacă elevul nu calculează volumul, dar scrie corect formula lui, se acordă 1 p) (2 p). Finalizare: $72>70$, deci în bazin pot intra $70$ litri de apă (2 p).

Modelul oficial de subiect pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației, Cercetării și Inovării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare în Învățământul Preuniversitar, pentru anul școlar 2009–2010. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală, cu păstrarea identică a obiectului geometric — piramida patrulateră regulată $SABCD$). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este modelul OFICIAL de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației, Cercetării și Inovării, prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare în Învățământul Preuniversitar, ca material de pregătire pentru absolvenții clasei a VIII-a înaintea examenului din anul școlar 2009–2010. Spre deosebire de o variantă efectiv susținută în examen, acesta este modelul-tip distribuit oficial pentru exersare — dar structura, punctajul și baremul sunt cele reale, oficiale. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2010, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2010, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Singura excepție este Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea: enunțul original cerea „desenați piramida" (o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă), motiv pentru care a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial (piramida patrulateră regulată de vârf $S$ și bază $ABCD$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: ordinea operațiilor, mulțimi, probabilitate, cerc (rază-diametru), aria totală a cubului, citirea unui grafic cu bare; piramidă patrulateră regulată (fețe), procente și ecuații, funcție liniară, calcul algebric (descompunere în factori); geometrie plană (trapez dreptunghic și dreptunghi — arii, ecuație, procente) și geometrie în spațiu (piramidă patrulateră regulată — arie totală, volum).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.