Modelul oficial CNPEE — Evaluarea Națională 2012

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10-10:5$ este egal cu: a) $12$ b) $8$ c) $0$ d) $2$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numerele întregi din intervalul $[-5,4]$ sunt în număr de: a) $10$ b) $9$ c) $8$ d) $11$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cincizeci de kilograme de castraveți costă $200$ lei. Cinci kilograme de castraveți de aceeași calitate costă: a) $4$ lei b) $40$ lei c) $20$ lei d) $100$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Un trapez cu înălțimea de $8$ cm și linia mijlocie de $10$ cm are aria egală cu: a) $18{\text{cm}}^2$ b) $160{\text{cm}}^2$ c) $40{\text{cm}}^2$ d) $80{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Dacă aria totală a cubului este egală cu $600{\text{cm}}^2$, atunci muchia cubului este de:

a) $10$ cm b) $20$ cm c) $50$ cm d) $100$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte Numărul elevilor dintr-un lot de atletism și vârstele lor sunt reprezentate în tabelul de mai jos.

Numărul elevilor din lot este egal cu: a) $20$ b) $18$ c) $40$ d) $4$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă o prismă dreaptă $ABCMNP$, cu baza $ABC$ triunghi echilateral și muchiile laterale $AM$, $BN$, $CP$.

Numărul fețelor laterale ale prismei $ABCMNP$ este egal cu: a) $3$ b) $6$ c) $2$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Calculați $5a-11b+21c$, știind că $2a+b-3c=15$ și $a-4b+8c=25$, unde $a,b,c\in \mathbb{R}$. Rezultatul este egal cu: a) $40$ b) $90$ c) $65$ d) $115$

Exercițiul 3 · 5 puncte Maria a citit în $5$ zile o carte care are $230$ de pagini. În fiecare zi, începând cu a doua, Maria a citit cu trei pagini mai mult decât în ziua precedentă. Ziua în care numărul total de pagini citite în ziua respectivă este un număr prim este: a) prima zi b) a patra zi c) a doua zi d) a treia zi

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=-3x+5$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul: a) $(0,-3)$ b) $(-3,0)$ c) $(0,3)$ d) $(3,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Pentru funcțiile $f$ și $g$ de la itemul anterior, aria triunghiului determinat de reprezentările grafice ale celor două funcții și axa $Oy$ este egală cu: a) $8$ b) $16$ c) $4$ d) $10$

Exercițiul 6 · 5 puncte Calculați $x^2+\frac{1}{x^2}$, știind că $x+\frac{1}{x}=3$, unde $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Rezultatul este egal cu: a) $9$ b) $7$ c) $11$ d) $5$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Laboratorul unei cofetării prepară bomboane în formă de piramidă triunghiulară regulată $VABC$, cu vârful $V$ și baza $ABC$, având muchia laterală $VA=VB=VC=2$ cm și muchia bazei $AB=BC=CA=3$ cm. Notați cu $O$ centrul bazei $ABC$. Arătați că înălțimea piramidei, $VO$, este egală cu $1$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte O piramidă triunghiulară regulată $VABC$ are vârful $V$, baza $ABC$ (triunghi echilateral), muchia laterală $VA=VB=VC=2$ cm, muchia bazei $AB=BC=CA=3$ cm și înălțimea $VO=1$ cm (unde $O$ este centrul bazei). Calculați volumul unei bomboane.

Exercițiul 3 · 5 puncte Laboratorul unei cofetării prepară bomboane în formă de piramidă triunghiulară regulată $VABC$, cu vârful $V$, baza $ABC$, muchia laterală $VA=VB=VC=2$ cm, muchia bazei $AB=BC=CA=3$ cm și înălțimea $VO=1$ cm (unde $O$ este centrul bazei). Fiecare bomboană este acoperită în totalitate cu staniol. Arătați că aria suprafeței minime de staniol necesar împachetării a $100$ de bomboane este mai mare decât $960{\text{cm}}^2$ (se neglijează pierderile la suprapuneri).

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unei grădini dreptunghiulare $MNPQ$ și a aleilor din interiorul ei. Se știe că $MN=100$ m, $NP=60$ m, $RS=TU=VX=ZY=4$ m, $MV=XN=PR=SQ$ și $QT=UM=YN=PZ$.

Segmentele $RS$, $TU$, $VX$ și $ZY$ reprezintă porți de acces în grădină. Se împrejmuiește grădina cu gard, nu și în dreptul porților. Calculați lungimea gardului exterior care înconjoară grădina.

Exercițiul 5 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unei grădini dreptunghiulare $MNPQ$ și a aleilor din interiorul ei. Se știe că $MN=100$ m, $NP=60$ m, $RS=TU=VX=ZY=4$ m, $MV=XN=PR=SQ$ și $QT=UM=YN=PZ$.

Calculați aria suprafeței ocupate de alei.

Exercițiul 6 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unei grădini dreptunghiulare $MNPQ$ și a aleilor din interiorul ei. Se știe că $MN=100$ m, $NP=60$ m, $RS=TU=VX=ZY=4$ m, $MV=XN=PR=SQ$ și $QT=UM=YN=PZ$.

În interiorul fiecărei parcele dreptunghiulare formate (dintre alei) se amenajează câte un strat cu flori, în formă de cerc. Calculați aria maximă a unui astfel de strat.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $10-10:5=10-2=8$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. a) Numerele întregi din $[-5,4]$ sunt $-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$, în total $10$.
3. c) Prețul unui kilogram este $200:50=4$ lei; $5$ kg costă $4\cdot 5=20$ lei.
4. d) Aria trapezului $=$ linia mijlocie $\cdot$ înălțimea $=10\cdot 8=80{\text{cm}}^2$.
5. a) Aria totală a cubului este $6\cdot {\ell }^2=600\Rightarrow {\ell }^2=100\Rightarrow \ell =10$ cm.
6. a) Numărul elevilor din lot este $9+4+5+2=20$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) O prismă triunghiulară are $3$ fețe laterale (dreptunghiurile $ABNM$, $BCPN$, $CAMP$), pe lângă cele $2$ baze $ABC$ și $MNP$.
2. b) $5a-11b+21c=2a+b-3c+3(a-4b+8c)=15+3\cdot 25=15+75=90$.
3. c) Notăm cu $x$ numărul de pagini citite în prima zi: $x+(x+3)+(x+6)+(x+9)+(x+12)=230\Rightarrow 5x+30=230\Rightarrow x=40$, deci paginile citite pe zile sunt $40,43,46,49,52$. În a doua zi s-au citit $43$ de pagini, iar $43$ este un număr prim.
4. d) $f(x)=x-3=0\Rightarrow x=3$, deci $G_f\cap Ox=(3,0)$.
5. a) $G_f\cap Oy=A(0,-3)$, $G_g\cap Oy=B(0,5)$, $G_f\cap G_g=E(2,-1)$; $AB=3+5=8$; aria triunghiului $AEB$ este $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot x_E=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 2=8$.
6. b) ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=9\Rightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}=9\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=7$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm piramida $VABC$ și cu $O$ centrul bazei $ABC\Rightarrow OA=\sqrt{3}$ cm (2 p). Triunghiul $VOA$ este dreptunghic în $O$: $VO=\sqrt{V{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{4-3}=1$ cm (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Aria bazei este $A_b=\frac{9}{4}\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (3 p). Volumul este $V=\frac{1}{3}\cdot A_b\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{4}\sqrt{3}\cdot 1=\frac{3\sqrt{3}}{4}{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $M$ este mijlocul laturii $[AB]$, atunci $VM=\sqrt{V{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{4-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$ cm (1 p). Aria laterală este $A_{lat}=3\cdot \frac{1}{2}\cdot AB\cdot VM=\frac{9}{4}\sqrt{7}{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria totală este $A_t=A_{lat}+A_b=\frac{9(\sqrt{3}+\sqrt{7})}{4}{\text{cm}}^2$ (1 p). Cum $\sqrt{3}+\sqrt{7}>4,3$ (1 p), pentru $100$ de bomboane rezultă $100\cdot A_t=225(\sqrt{3}+\sqrt{7})>225\cdot 4,3=967,5>960{\text{cm}}^2$, deci aria suprafeței minime este mai mare decât $960{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul grădinii este $2\cdot (100+60)=320$ m (2 p). Lungimea gardului este $320-4\cdot 4=304$ m (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Se formează patru parcele dreptunghiulare, fiecare având lungimea $(100-4):2=48$ m și lățimea $(60-4):2=28$ m (2 p). Aria unei parcele este $48\cdot 28=1344{\text{m}}^2$ (1 p). Aria grădinii este $100\cdot 60=6000{\text{m}}^2$ (1 p). Aria aleilor este $6000-4\cdot 1344=624{\text{m}}^2$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Raza maximă a cercului înscris într-o parcelă este $28:2=14$ m (2 p). Aria maximă a stratului circular este $A_c=\pi \cdot 14^2=196\pi {\text{m}}^2$ (3 p).

Model oficial de subiect pentru Evaluarea Națională, anul școlar 2011–2012, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepții: Exercițiul 1 și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este modelul OFICIAL de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, pentru anul școlar 2011–2012. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2012 (Model), formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2012, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea: enunțurile originale cereau sarcini de desen („desenați, pe foaia de examen, prisma", respectiv „reprezentați grafic funcția $f$") — incompatibile cu formatul grilă — motiv pentru care au fost reformulate ca întrebări cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric, respectiv funcția, din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: ordinea operațiilor, intervale de numere întregi, proporționalitate (regulă de trei simplă), aria trapezului, aria totală a cubului, medie dintr-un tabel de frecvențe; recunoașterea elementelor unei prisme triunghiulare, sisteme de relații liniare, șiruri aritmetice și numere prime, funcția de gradul I (intersecția cu axele, aria unui triunghi), calcul cu expresii algebrice (pătrate); geometrie în spațiu (piramidă triunghiulară regulată — înălțime, volum, arie laterală și totală) și o problemă de geometrie plană cu o grădină dreptunghiulară (perimetru, arie, cerc înscris).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.