Examenul oficial de rezervă — Evaluarea Națională 2012

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $12-6:3$ este egal cu: a) $2$ b) $6$ c) $10$ d) $18$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $y$ este un număr real nenul și $\frac{3}{y}=\frac{x}{4}$, atunci produsul $x\cdot y$ este egal cu: a) $\frac{3}{4}$ b) $\frac{4}{3}$ c) $7$ d) $12$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural din intervalul $(0,6)$ este egal cu: a) $0$ b) $5$ c) $6$ d) $7$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un romb cu perimetrul de $32$ cm are lungimea unei laturi egală cu: a) $4$ cm b) $8$ cm c) $16$ cm d) $128$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $VABC$ (Figura 1). Dacă o muchie are lungimea de $5$ cm, atunci suma lungimilor tuturor muchiilor este egală cu:

Figura 1

a) $15$ cm b) $20$ cm c) $25$ cm d) $30$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția elevilor dintr-o echipă de fotbal după înălțimile lor, măsurate în centimetri.

Numărul elevilor din echipă cu înălțimea mai mică decât $160$ cm este egal cu: a) $5$ b) $6$ c) $9$ d) $11$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Cubul $ABCDEFGH$ este reprezentat în figura alăturată.

Numărul muchiilor cubului $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $6$ b) $8$ c) $12$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul $a=|\sqrt{5}-3|+\frac{4}{3-\sqrt{5}}$ este egal cu: a) $6$ b) $3-\sqrt{5}$ c) $3+\sqrt{5}$ d) $2\sqrt{5}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Numărul păsărilor dintr-o gospodărie este mai mare decât $70$, dar mai mic decât $80$. O treime din numărul păsărilor sunt găini, un sfert din numărul păsărilor sunt rațe și restul sunt gâște. Numărul gâștelor din gospodărie este egal cu: a) $18$ b) $30$ c) $24$ d) $36$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+1$. Punctul care aparține graficului funcției $f$ este: a) $(0,1)$ b) $(0,-1)$ c) $(-1,0)$ d) $(1,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+1$. Numărul real $m$ pentru care punctul $A(m,-7)$ aparține graficului funcției $f$ este egal cu: a) $-4$ b) $-3$ c) $4$ d) $3$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{(2x+1{)}^2-(2x-1{)}^2}{(x-1{)}^2-(x+1{)}^2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $-4$ b) $-2$ c) $2$ d) $4$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura 2 reprezintă ambalajul unei cutii de lapte care are forma unui paralelipiped dreptunghic $ABCDMNPQ$, în care $AM=10$ cm, $AB=6$ cm și $BC=5$ cm.

Figura 2

Calculați volumul cutiei de lapte, exprimat în litri.

Exercițiul 2 · 5 puncte Figura 2 reprezintă ambalajul unei cutii de lapte care are forma unui paralelipiped dreptunghic $ABCDMNPQ$, în care $AM=10$ cm, $AB=6$ cm și $BC=5$ cm.

Figura 2

Calculați aria, exprimată în centimetri pătrați, a suprafeței de material necesar pentru un ambalaj, știind că pierderile la îmbinări reprezintă $10\%$ din aria totală a cutiei.

Exercițiul 3 · 5 puncte Figura 2 reprezintă ambalajul unei cutii de lapte care are forma unui paralelipiped dreptunghic $ABCDMNPQ$, în care $AM=10$ cm, $AB=6$ cm și $BC=5$ cm.

Figura 2

Se introduce în cutie un pai, prin vârful $M$, până în punctul $S\in (AC)$, fără să cadă în cutie, astfel încât $AS=7,5$ cm. Arătați că lungimea paiului este mai mare de $12$ cm.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura 3 reprezintă schița unei mese formată dintr-un dreptunghi $ABCD$, cu $AB=4$ m și $BC=2$ m, și două semicercuri cu diametrele $[AD]$, respectiv $[BC]$. De-a lungul marginii mesei se lipește o bandă protectoare.

Figura 3

Determinați lungimea acestei benzi.

Exercițiul 5 · 5 puncte Figura 3 reprezintă schița unei mese formată dintr-un dreptunghi $ABCD$, cu $AB=4$ m și $BC=2$ m, și două semicercuri cu diametrele $[AD]$, respectiv $[BC]$.

Figura 3

Calculați aria suprafeței mesei.

Exercițiul 6 · 5 puncte Figura 3 reprezintă schița unei mese formată dintr-un dreptunghi $ABCD$, cu $AB=4$ m și $BC=2$ m, și două semicercuri cu diametrele $[AD]$, respectiv $[BC]$.

Figura 3

O buburuză parcurge, mergând doar pe marginea mesei, traseul $A-B-C$, iar o furnică parcurge segmentul $[AC]$ și, în continuare, segmentul $[CB]$. Arătați că lungimea traseului parcurs de buburuză este mai mare decât lungimea traseului parcurs de furnică. $(3,14<\pi <3,15)$

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $12-6:3=12-2=10$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. d) Din $\frac{3}{y}=\frac{x}{4}$ rezultă, prin amplificare încrucișată, $x\cdot y=3\cdot 4=12$.
3. b) Intervalul $(0,6)$ este deschis, deci nu conține pe $6$; cel mai mare număr natural din interval este $5$.
4. b) Latura $=\frac{P}{4}=\frac{32}{4}=8$ cm.
5. d) Un tetraedru regulat are $6$ muchii; suma lungimilor $=6\cdot 5=30$ cm.
6. a) Elevii cu înălțimea sub $160$ cm sunt cei din clasele $140-149$ și $150-159$: $2+3=5$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Cubul $ABCDEFGH$ are $12$ muchii ($4$ pe baza inferioară $ABCD$, $4$ pe baza superioară $EFGH$, $4$ verticale).
2. a) $|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}$ (deoarece $\sqrt{5}<3$). $\frac{4}{3-\sqrt{5}}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5}=3+\sqrt{5}$. Deci $a=(3-\sqrt{5})+(3+\sqrt{5})=6\in \mathbb{Z}$.
3. b) Numărul de păsări $n$ se împarte exact la $3$ și la $4$, iar $\text{c.m.m.d.c.}(3,4)=1$, deci $12\mid n$. Din $70<n<80$ rezultă $n=72$. Găinile sunt $\frac{1}{3}\cdot 72=24$, rațele sunt $\frac{1}{4}\cdot 72=18$, deci gâștele sunt $72-24-18=30$.
4. a) $f(0)=-2\cdot 0+1=1$, deci punctul $(0,1)$ aparține graficului.
5. c) $A(m,-7)\in G_f\Rightarrow f(m)=-7\Rightarrow -2m+1=-7\Rightarrow -2m=-8\Rightarrow m=4$.
6. b) $(2x+1{)}^2-(2x-1{)}^2=[(2x+1)-(2x-1)][(2x+1)+(2x-1)]=2\cdot 4x=8x$. $(x-1{)}^2-(x+1{)}^2=[(x-1)-(x+1)][(x-1)+(x+1)]=(-2)\cdot 2x=-4x$. Deci $E(x)=\frac{8x}{-4x}=-2$, pentru orice $x\ne 0$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $V=L\cdot l\cdot h=AB\cdot BC\cdot AM=6\cdot 5\cdot 10=300{\text{cm}}^3$ (3 p). $V=0,3$ litri (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Aria totală a paralelipipedului este $A_{\text{totala˘}}=2\cdot AB\cdot BC+2\cdot AB\cdot AM+2\cdot BC\cdot AM=2\cdot 30+2\cdot 60+2\cdot 50=280{\text{cm}}^2$ (2 p). Pierderile la îmbinări reprezintă $\frac{10}{100}\cdot 280=28{\text{cm}}^2$ (2 p). Aria de material necesar este $A_{\text{material}}=280+28=308{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Deoarece $AM$ este muchie verticală, perpendiculară pe planul bazei $ABCD$, iar $AS\subset (ABCD)$, rezultă $AM\perp AS$, deci triunghiul $MAS$ este dreptunghic în $A$ (2 p). $M{S}^2=M{A}^2+A{S}^2=10^2+7,5^2=100+56,25=156,25\Rightarrow MS=12,5$ cm (2 p). Cum $12,5>12$, rezultă că lungimea paiului este mai mare de $12$ cm (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Lungimea unui semicerc (de diametru $[AD]$, respectiv $[BC]$, deci de rază $R=\frac{BC}{2}=1$ m) este egală cu $\pi R=\pi$ m (2 p). Lungimea benzii protectoare este egală cu $AB+CD+2\cdot \pi R=4+4+2\pi =(8+2\pi )$ m (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $A_{ABCD}=AB\cdot BC=4\cdot 2=8{\text{m}}^2$ (2 p). Aria celor două semicercuri este egală cu aria unui cerc întreg de rază $1$ m, adică $\pi \cdot 1^2=\pi {\text{m}}^2$ (2 p). Aria suprafeței mesei este $(8+\pi ){\text{m}}^2$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Lungimea traseului parcurs de furnică este $L_f=AC+CB=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}+CB=\sqrt{16+4}+2=\sqrt{20}+2=2\sqrt{5}+2=2(1+\sqrt{5})$ m (2 p). Lungimea traseului parcurs de buburuză este $L_b=AB+\text{(arcul }BC\text{)}=4+\pi \cdot 1=(4+\pi )$ m (1 p). Cum $2\sqrt{5}=\sqrt{20}<\sqrt{25}=5<2+3,14<2+\pi$, rezultă $2\sqrt{5}+2<4+\pi$, adică $L_f<L_b$, deci lungimea traseului parcurs de buburuză este mai mare decât lungimea traseului parcurs de furnică (2 p).

Examen oficial de rezervă la Evaluarea Națională, Varianta 7, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea de rezervă a anului școlar 2011–2012, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepții: Exercițiul 1 și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile originale de desen/reprezentare grafică). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL de rezervă la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 7, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea de rezervă a anului școlar 2011–2012, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Este un document distinct de examenul principal din aceeași sesiune (Varianta 2, publicat pe acest site ca simularea 140): subiectele, figurile și baremul de mai jos provin exclusiv din proba de rezervă. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2012, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2012, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Există două excepții: Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, al cărui enunț original cerea „desenați cubul" (o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă), a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor cubului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial (cubul $ABCDEFGH$); și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea, al cărui enunț original cerea „reprezentați grafic funcția" $f$, a fost reformulat ca întrebare despre un punct al graficului, păstrând identică funcția din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: calculul cu ordinea operațiilor, rapoarte, intervale de numere naturale, perimetrul rombului, tetraedrul regulat, citirea unui tabel statistic; calcul cu radicali, divizibilitate și procente într-o problemă cu enunț practic, funcția liniară, o expresie algebrică fracționară; geometrie în spațiu (paralelipiped dreptunghic — volum, arie totală cu pierderi la îmbinări, diagonală spațială) și o figură compusă din dreptunghi și semicercuri (perimetru, arie, compararea a două trasee folosind radicali și încadrarea lui $\pi$).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.