Modelul oficial CNEE — Evaluarea Națională 2013

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $9-3:3$ este egal cu: a) $0$ b) $8$ c) $6$ d) $2$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul natural nenul $n$ pentru care $\frac{3}{n}=\frac{1}{3}$ este egal cu: a) $1$ b) $3$ c) $9$ d) $27$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{1,2,4,6,8\}$ și $B=\{2,4,6,8,9\}$. Mulțimea $A\setminus B$ este egală cu: a) $\{1\}$ b) $\{9\}$ c) $\{2,4,6,8\}$ d) $\{1,9\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Aria pătratului cu latura de $7$ cm este egală cu: a) $14{\text{cm}}^2$ b) $28{\text{cm}}^2$ c) $7{\text{cm}}^2$ d) $49{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră tetraedrul regulat $ABCD$ din figura alăturată. Suma lungimilor tuturor muchiilor sale este egală cu $54$ cm.

Lungimea unei muchii este egală cu: a) $13,5\text{cm}$ b) $9\text{cm}$ c) $18\text{cm}$ d) $6\text{cm}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentat numărul de elevi repartizați pe grupe de vârstă, membri ai corului unei școli.

Numărul elevilor din cor cu vârsta de cel puțin $12$ ani este egal cu: a) $30$ b) $40$ c) $20$ d) $21$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$, ca în figura alăturată.

Numărul muchiilor paralelipipedului dreptunghic $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $6$ b) $8$ c) $12$ d) $4$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $a=\sqrt{81}-3\sqrt{3}+\sqrt{27}$ și $b=|2-\sqrt{3}|+\frac{1}{2-\sqrt{3}}$. Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $3$ b) $6,5$ c) $36$ d) $6$

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma a două numere reale este egală cu $1,(6)$, iar diferența lor este egală cu $0,(3)$. Numărul mai mare dintre cele două numere este egal cu: a) $1$ b) $\frac{2}{3}$ c) $\frac{5}{3}$ d) $\frac{1}{3}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-6$. Graficul funcției intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(0,6)$ b) $(0,-6)$ c) $(3,0)$ d) $(6,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-6$. Numărul real $m$ pentru care punctul $A(m,m)$ aparține graficului funcției $f$ este egal cu: a) $-6$ b) $3$ c) $6$ d) $0$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(x+1+\frac{2}{x-1}\right)\cdot \frac{x^2-2x+1}{x^3-x^2+x-1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 1$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $1$ b) depinde de $x$ c) $x-1$ d) $x^2+1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte O bază de agrement are un patinoar în formă de dreptunghi $ABCD$ cu lungimea egală cu dublul lățimii și aria de $1250{\text{m}}^2$. Calculați perimetrul patinoarului.

Exercițiul 2 · 5 puncte O bază de agrement are un patinoar în formă de dreptunghi $ABCD$, cu lungimea $AB=50$ m și lățimea $BC=25$ m (valori obținute din condiția $AB$ egal cu dublul lui $BC$ și din aria patinoarului, de $1250{\text{m}}^2$). Calculați lungimea diagonalei $(AC)$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Un patinoar în formă de dreptunghi $ABCD$ are lungimea $AB=50$ m și lățimea $BC=25$ m; perimetrul patinoarului este egal cu $150$ m, iar diagonala $(AC)$ este egală cu $25\sqrt{5}$ m. Oana patinează, în linie dreaptă, din punctul $A$ până în punctul $C$ și, tot în linie dreaptă, revine în punctul $A$. Mihai patinează de-a lungul fiecărei laturi a patinoarului plecând din $A$, făcând un tur complet al acestuia și ajungând din nou în $A$. Arătați că distanța parcursă de Mihai este mai mare decât distanța parcursă de Oana.

Exercițiul 4 · 5 puncte Pe o masă sunt așezate, ca în figura alăturată, un vas $ABCDEFGH$, în formă de cub cu muchia de $12$ cm, și o cutie $BMNCPQRS$, în formă de paralelipiped dreptunghic cu $BP=9$ cm și $BM=16$ cm.

Arătați că vasul $ABCDEFGH$ și cutia $BMNCPQRS$ au același volum.

Exercițiul 5 · 5 puncte Pe o masă sunt așezate, ca în figura alăturată, un vas $ABCDEFGH$, în formă de cub cu muchia de $12$ cm, și o cutie $BMNCPQRS$, în formă de paralelipiped dreptunghic cu $BP=9$ cm și $BM=16$ cm.

O furnică parcurge traseul $D\to H\to G\to S\to Q\to N$. Calculați lungimea traseului.

Exercițiul 6 · 5 puncte Pe o masă sunt așezate, ca în figura alăturată, un vas $ABCDEFGH$, în formă de cub cu muchia de $12$ cm, și o cutie $BMNCPQRS$, în formă de paralelipiped dreptunghic cu $BP=9$ cm și $BM=16$ cm.

În vasul în formă de cub se toarnă un litru de apă. Arătați că înălțimea la care se ridică apa în vas este mai mică de $7$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $9-3:3=9-1=8$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. c) $\frac{3}{n}=\frac{1}{3}\Rightarrow n=3\cdot 3=9$.
3. a) $A\setminus B=\{1,2,4,6,8\}\setminus \{2,4,6,8,9\}=\{1\}$ (elementele din $A$ care nu sunt și în $B$).
4. d) Aria pătratului $={\text{latura}}^2=7^2=49{\text{cm}}^2$.
5. b) Tetraedrul regulat are $6$ muchii congruente; o muchie $=54:6=9$ cm.
6. a) Elevi cu vârsta de cel puțin $12$ ani: $10$ (12 ani) $+11$ (13 ani) $+9$ (14 ani) $=30$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ are $12$ muchii ($4$ pe baza de jos, $4$ pe baza de sus, $4$ verticale).
2. d) $a=\sqrt{81}-3\sqrt{3}+\sqrt{27}=9-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=9$. $b=|2-\sqrt{3}|+\frac{1}{2-\sqrt{3}}=(2-\sqrt{3})+\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$. Media geometrică $=\sqrt{ab}=\sqrt{9\cdot 4}=\sqrt{36}=6$.
3. a) Notând cele două numere cu $a$ și $b$: $a+b=1,(6)=\frac{5}{3}$ și $a-b=0,(3)=\frac{1}{3}$. Adunând relațiile: $2a=2\Rightarrow a=1$ (numărul mai mare); scăzându-le: $2b=\frac{4}{3}\Rightarrow b=\frac{2}{3}$.
4. b) $f(0)=2\cdot 0-6=-6$, deci graficul intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,-6)$.
5. c) $A(m,m)\in G_f\Rightarrow f(m)=m\Rightarrow 2m-6=m\Rightarrow m=6$.
6. a) $x+1+\frac{2}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+2}{x-1}=\frac{x^2+1}{x-1}$. $x^3-x^2+x-1=x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1)$, iar $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, deci $\frac{x^2-2x+1}{x^3-x^2+x-1}=\frac{(x-1{)}^2}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{x-1}{x^2+1}$. Atunci $E(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\cdot \frac{x-1}{x^2+1}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne 1$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Se notează $L=$ lungimea și $l=$ lățimea $\Rightarrow L=2l$ (1 p). Aria $=L\cdot l=2l^2=1250\Rightarrow l^2=625\Rightarrow l=25$ m, $L=50$ m (2 p). Perimetrul $P=2(L+l)=2(50+25)=150$ m (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}$ (3 p). $AC=\sqrt{50^2+25^2}=\sqrt{2500+625}=\sqrt{3125}=25\sqrt{5}$ m (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Lungimea traseului parcurs de Oana este egală cu $2\cdot AC=2\cdot 25\sqrt{5}=50\sqrt{5}$ m (2 p). Lungimea traseului parcurs de Mihai este egală cu perimetrul patinoarului, $150$ m (1 p). $150>50\sqrt{5}$ deoarece $150=50\cdot 3$, iar $3=\sqrt{9}>\sqrt{5}$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $V_{cub}=l^3=12^3=1728{\text{cm}}^3$ (2 p). $V_{paralelipiped}=L\cdot l\cdot h=16\cdot 9\cdot 12=1728{\text{cm}}^3$ (2 p). Finalizare: cele două volume sunt egale (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $GS=3$ cm (1 p). $SQ=20$ cm (1 p). $QN=15$ cm (1 p). Lungimea traseului este egală cu $DH+HG+GS+SQ+QN=12+12+3+20+15=62$ cm (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $1\text{l}=1000{\text{cm}}^3$ (1 p). Aria bazei cubului este $12\cdot 12=144{\text{cm}}^2$, deci $144\cdot h=1000\Rightarrow h=\frac{1000}{144}$ (3 p). $\frac{1000}{144}<7$ (deoarece $144\cdot 7=1008>1000$) (1 p).

Modelul oficial de subiect de matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare pentru anul școlar 2012–2013. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este modelul OFICIAL de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (CNEE) pentru anul școlar 2012–2013. Este modelul-tip pus la dispoziția elevilor și profesorilor pentru pregătire înaintea probei scrise reale (nu este o variantă administrată efectiv la examen, ci modelul oficial de referință). Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2013, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2013, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$", incompatibil cu formatul grilă; a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic, păstrând identic obiectul matematic din enunțul oficial (paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o ecuație simplă cu numere naturale, mulțimi, aria pătratului, tetraedrul regulat, citirea unui tabel de frecvențe; radicali și medie geometrică, un sistem obținut din suma și diferența a două numere reale, funcția liniară, o expresie algebrică rațională; geometrie plană (dreptunghi — perimetru, diagonală, compararea a două distanțe) și geometrie în spațiu (cub și paralelipiped dreptunghic — volum egal, traseul unei furnici, nivelul apei).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.