Sesiunea specială oficială — Evaluarea Națională 2013

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $2\cdot 3+8$ este egal cu: a) $14$ b) $22$ c) $13$ d) $16$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{a}{8}=\frac{3}{2}$, atunci numărul $a$ este egal cu: a) $6$ b) $12$ c) $24$ d) $4$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr natural care aparține intervalului $\left[3,5\right)$ este numărul: a) $5$ b) $4$ c) $3$ d) $2$

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul unui dreptunghi cu lungimea de $7$ cm și lățimea de $4$ cm este egal cu: a) $11\text{cm}$ b) $28\text{cm}$ c) $14\text{cm}$ d) $22\text{cm}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$. Aria pătratului $ABCD$ este egală cu $9{\text{cm}}^2$.

Aria totală a cubului este egală cu: a) $36{\text{cm}}^2$ b) $45{\text{cm}}^2$ c) $54{\text{cm}}^2$ d) $81{\text{cm}}^2$

Exercițiul 6 · 5 puncte Elevii claselor a VIII-a dintr-o școală au fost chestionați cu privire la opțiunile lor pentru clasa a IX-a. Rezultatele chestionarului sunt reprezentate în diagrama de mai jos.

Numărul elevilor care au optat pentru profilul real este egal cu: a) $12$ b) $16$ c) $20$ d) $32$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un tetraedru regulat $ABCD$ are toate cele patru fețe triunghiuri echilaterale congruente, ca în figura alăturată.

Numărul muchiilor tetraedrului $ABCD$ este egal cu: a) $4$ b) $6$ c) $8$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Calculați media aritmetică a numerelor $a$ și $b$, știind că $a=\frac{1}{3}+\frac{12}{5}$ și $b=\frac{2}{3}+\frac{3}{5}$. Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $4$ b) $1$ c) $2$ d) $2,5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Prețul inițial al unui produs este $1000$ de lei. După o ieftinire cu $10\%$ din prețul inițial, prețul produsului este egal cu: a) $1100$ lei b) $990$ lei c) $100$ lei d) $900$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$. Valoarea $f(0)+f(2)$ este egală cu: a) $-2$ b) $0$ c) $2$ d) $-4$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$. Pentru a reprezenta grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$, se determină punctele de intersecție ale graficului cu cele două axe, ca în figura alăturată.

Aceste puncte sunt: a) $(0,2)$ și $(2,0)$ b) $(0,-2)$ și $(2,0)$ c) $(0,-2)$ și $(-2,0)$ d) $(0,2)$ și $(-2,0)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+1}{2x}-\frac{x-1}{3x}\right)\cdot \frac{6x}{x+5}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -5$ și $x\ne 0$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $1$ b) depinde de $x$ c) $x+5$ d) $\frac{1}{x}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura de mai jos este schița unei ferme piscicole în formă de pătrat care are în interior un iaz reprezentat prin cercul de centru $O$, unde $O$ este intersecția diagonalelor pătratului $ABCD$. Cercul are raza de $25$ m, iar pătratul $ABCD$ are latura de $100$ m.

Calculați perimetrul pătratului $ABCD$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Figura de mai jos este schița unei ferme piscicole în formă de pătrat care are în interior un iaz reprezentat prin cercul de centru $O$, unde $O$ este intersecția diagonalelor pătratului $ABCD$. Cercul are raza de $25$ m, iar pătratul $ABCD$ are latura de $100$ m.

Arătați că aria suprafeței de teren hașurată în schiță este egală cu $625\left(16-\pi \right){\text{m}}^2$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Figura de mai jos este schița unei ferme piscicole în formă de pătrat care are în interior un iaz reprezentat prin cercul de centru $O$, unde $O$ este intersecția diagonalelor pătratului $ABCD$. Cercul are raza de $25$ m, iar pătratul $ABCD$ are latura de $100$ m.

De cinci ori pe zi se verifică starea iazului. Pentru aceasta, un angajat intră în fermă prin poarta de acces situată în punctul $M$, mijlocul segmentului $CD$, ajunge la iaz în punctul $N$, ocolește iazul și, după ce ajunge din nou în punctul $N$, se întoarce în punctul $M$. Știind că punctele $M$, $N$ și $O$ sunt coliniare, arătați că, într-o zi, angajatul parcurge mai mult de un kilometru. Se consideră cunoscut faptul că $3,14<\pi <3,15$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura de mai jos este reprezentat schematic un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$ cu lungimea $AB=60\text{cm}$, lățimea $BC=24\text{cm}$ și înălțimea $AE=40\text{cm}$.

Calculați aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura de mai jos este reprezentat schematic un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$ cu lungimea $AB=60\text{cm}$, lățimea $BC=24\text{cm}$ și înălțimea $AE=40\text{cm}$.

Arătați că volumul paralelipipedului $ABCDEFGH$ este egal cu $57600{\text{cm}}^3$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura de mai jos este reprezentat schematic un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$ cu lungimea $AB=60\text{cm}$, lățimea $BC=24\text{cm}$ și înălțimea $AE=40\text{cm}$.

Determinați câți litri de apă sunt în acvariu dacă nivelul apei este de $30$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $2\cdot 3+8=6+8=14$ (întâi înmulțirea, apoi adunarea).
2. b) $\frac{a}{8}=\frac{3}{2}\Rightarrow a=8\cdot \frac{3}{2}=12$.
3. c) Intervalul $\left[3,5\right)$ conține $3$ (inclus, capăt stâng închis) dar nu conține $5$ (capăt drept deschis), deci cel mai mic număr natural din interval este $3$.
4. d) Perimetrul $=2\cdot (7+4)=2\cdot 11=22$ cm.
5. c) Aria pătratului $ABCD$ (o față a cubului) este $9{\text{cm}}^2$, deci aria totală a cubului este $6\cdot 9=54{\text{cm}}^2$.
6. d) Din diagramă, numărul elevilor care au optat pentru profilul real este $32$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Un tetraedru regulat $ABCD$ are $4$ vârfuri; fiecare pereche de vârfuri este unită printr-o muchie, deci numărul muchiilor este $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ (muchiile $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$).
2. c) $a=\frac{1}{3}+\frac{12}{5}=\frac{5}{15}+\frac{36}{15}=\frac{41}{15}$ și $b=\frac{2}{3}+\frac{3}{5}=\frac{10}{15}+\frac{9}{15}=\frac{19}{15}$. Media aritmetică $=\frac{a+b}{2}=\frac{\frac{41}{15}+\frac{19}{15}}{2}=\frac{\frac{60}{15}}{2}=\frac{4}{2}=2$.
3. d) $10\%$ din prețul inițial este $\frac{10}{100}\cdot 1000=100$ de lei. Prețul produsului după ieftinire este $1000-100=900$ de lei.
4. a) $f(0)=0-2=-2$ și $f(2)=2-2=0$, deci $f(0)+f(2)=-2+0=-2$.
5. b) $f(0)=0-2=-2\Rightarrow$ punctul $(0,-2)$; $f(x)=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow$ punctul $(2,0)$.
6. a) $\frac{x+1}{2x}-\frac{x-1}{3x}=\frac{3(x+1)}{6x}-\frac{2(x-1)}{6x}=\frac{3x+3-2x+2}{6x}=\frac{x+5}{6x}$. Deci $E(x)=\frac{x+5}{6x}\cdot \frac{6x}{x+5}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -5$ și $x\ne 0$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Perimetrul pătratului $ABCD$ este ${\mathcal{P}}_{ABCD}=4\cdot AB$ (2 p). ${\mathcal{P}}_{ABCD}=4\cdot 100=400$ m (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Aria pătratului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=100^2=10000{\text{m}}^2$ (2 p). Aria iazului (cerc de rază $25$ m) este ${\mathcal{A}}_{iaz}=\pi \cdot 25^2=625\pi {\text{m}}^2$ (2 p). Aria hașurată este ${\mathcal{A}}_{ABCD}-{\mathcal{A}}_{iaz}=10000-625\pi =625\cdot 16-625\pi =625\left(16-\pi \right){\text{m}}^2$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $O$ fiind centrul pătratului, distanța de la $O$ la mijlocul unei laturi este $\frac{100}{2}=50$ m; cum $M$, $N$, $O$ sunt coliniare și $N$ este pe cerc, $MN=50-25=25$ m (1 p). Un traseu (dus M→N, ocolirea iazului, întors N→M) are lungimea $2\cdot MN+2\pi \cdot 25=50+50\pi =50\left(1+\pi \right)$ m, deci drumul parcurs zilnic (de $5$ ori) este $5\cdot 50\left(1+\pi \right)=250\left(1+\pi \right)$ m (2 p). Cum $3,14<\pi$, rezultă $250\left(1+\pi \right)>250\cdot 4,14=1035>1000$ m $=1$ km, deci drumul parcurs într-o zi este mai mare decât $1$ kilometru (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Aria dreptunghiului $ABCD=AB\cdot BC=60\cdot 24$ (3 p) $=1440{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Volumul paralelipipedului $ABCDEFGH=AB\cdot BC\cdot AE=60\cdot 24\cdot 40$ (2 p) $=57600{\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Fie $M\in (AE)$ cu $AM=30$ cm (nivelul apei); volumul de apă este ${\mathcal{V}}_{ap\breve{a}}={\mathcal{A}}_{ABCD}\cdot AM=1440\cdot 30=43200{\text{cm}}^3$ (3 p). Cum $1000{\text{cm}}^3=1$ litru, rezultă $43200{\text{cm}}^3=43,2{\text{dm}}^3=43,2$ litri (2 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 6, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea specială a anului școlar 2012–2013, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Itemii 1 și 5 de la Subiectul al II-lea, reformulați din sarcinile de desen/construcție grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 6, susținut efectiv de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea specială din anul școlar 2012–2013, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2013, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2013, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Excepție fac doi exerciții ale Subiectului al II-lea, care cereau sarcini de desen (incompatibile cu formatul grilă) și au fost reformulați ca întrebări cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric, respectiv funcția, din enunțul oficial: Exercițiul 1 (desenul tetraedrului regulat $ABCD$, reformulat ca întrebare despre numărul muchiilor) și Exercițiul 5 (reprezentarea grafică a funcției $f(x)=x-2$, reformulată ca întrebare despre punctele de intersecție cu axele, necesare pentru trasarea graficului). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: calcul cu ordinea operațiilor, o proporție, cel mai mic număr natural dintr-un interval, perimetrul dreptunghiului, aria totală a cubului, citirea unei diagrame circulare; tetraedru regulat, medie aritmetică cu fracții, procente (ieftinirea unui preț), funcția de gradul I (valori și grafic), o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană și în spațiu la Subiectul al III-lea — o fermă piscicolă în formă de pătrat cu un iaz circular în interior (perimetru, arie hașurată, inegalitate cu $\pi$) și un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic (arie, volum, litri de apă).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.