Examenul oficial de rezervă — Evaluarea Națională 2014, Varianta 6

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $4-2\cdot 2$ este egal cu: a) $0$ b) $4$ c) $-4$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{a}{6}=\frac{2}{3}$, atunci numărul $a$ este egal cu: a) $12$ b) $9$ c) $4$ d) $8$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural care aparține intervalului $[-3,3]$ este egal cu: a) $-3$ b) $3$ c) $2$ d) $4$

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are perimetrul de $24$ cm. Latura $AB$ are lungimea egală cu: a) $24$ cm b) $12$ cm c) $8$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ care are latura de $5$ cm. Volumul cubului $ABCDEFGH$ este egal cu:

a) $125{\text{cm}}^3$ b) $150{\text{cm}}^3$ c) $25{\text{cm}}^3$ d) $75{\text{cm}}^3$

Exercițiul 6 · 5 puncte Elevii claselor a VIII-a dintr-o școală au donat cărți pentru bibliotecă. În diagrama de mai jos este prezentată repartiția elevilor după numărul de cărți donate bibliotecii de către fiecare elev.

Numărul elevilor care au donat câte $5$ cărți este egal cu: a) $50$ b) $30$ c) $40$ d) $10$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte O piramidă patrulateră regulată are vârful $S$ și baza $ABCD$, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor laterale ale piramidei $SABCD$ este egal cu: a) $3$ b) $4$ c) $5$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numărul real $a$ pentru care $a\sqrt{3}=\sqrt{27}$. Numărul $a$ este egal cu: a) $9$ b) $27$ c) $3\sqrt{3}$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cele $428$ de scaune dintr-o sală de spectacole sunt așezate în $20$ de rânduri, fiecare rând având $21$ sau $22$ de scaune. Numărul de rânduri din sală care au câte $22$ de scaune este egal cu: a) $12$ b) $8$ c) $10$ d) $6$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+1$. Valoarea $f(1)$ este egală cu: a) $-2$ b) $1$ c) $0$ d) $2$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+1$. Notăm cu $M$ și $N$ punctele de intersecție ale graficului funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$, ale sistemului de coordonate $xOy$. Măsura unghiului $OMN$ este egală cu: a) $30°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $45°$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x-2}{x^2-4}\cdot \frac{5x+10}{x-3}+1\right)\cdot \frac{x-3}{x+2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$, $x\ne 2$ și $x\ne 3$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $1$ b) depinde de $x$ c) $x-3$ d) $0$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unui teren în formă de dreptunghi $ABCD$, cu dimensiunile $AB=30$ m și $BC=10$ m. Doi frați împart terenul printr-un gard $MN$, unde $M\in (AB)$ și $N\in (CD)$ astfel încât $MB=ND=10$ m.

Calculați perimetrul dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră terenul în formă de dreptunghi $ABCD$, cu dimensiunile $AB=30$ m și $BC=10$ m. Doi frați împart terenul printr-un gard $MN$, unde $M\in (AB)$ și $N\in (CD)$ astfel încât $MB=ND=10$ m, ca în figura alăturată.

Arătați că $MN$ împarte terenul în două suprafețe cu ariile egale.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou terenul în formă de dreptunghi $ABCD$, cu $AB=30$ m și $BC=10$ m, împărțit prin gardul $MN$ (unde $M\in (AB)$, $N\in (CD)$, $MB=ND=10$ m), ca în figura alăturată.

Pentru construcția gardului $MN$ sunt folosiți $9$ stâlpi. Doi dintre cei $9$ stâlpi sunt situați în punctele $M$ și, respectiv, $N$. Știind că stâlpii sunt așezați la distanțe egale, arătați că distanța dintre doi stâlpi consecutivi este mai mare decât $1,75$ m.

Exercițiul 4 · 5 puncte Acoperișul unei clădiri, reprezentat schematic în figura alăturată, are forma unei prisme drepte $ABCDEF$ cu $AD=10$ m, $AB=6$ m și cu bazele triunghiuri echilaterale.

Arătați că distanța de la $C$ la $AB$ este egală cu $3\sqrt{3}$ m.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou acoperișul unei clădiri, în formă de prismă dreaptă $ABCDEF$ cu $AD=10$ m, $AB=6$ m și cu bazele triunghiuri echilaterale, ca în figura alăturată.

Știind că distanța de la $C$ la $AB$ este egală cu $3\sqrt{3}$ m, calculați volumul prismei $ABCDEF$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou acoperișul unei clădiri, în formă de prismă dreaptă $ABCDEF$ cu $AD=10$ m, $AB=6$ m și cu bazele triunghiuri echilaterale, ca în figura alăturată.

Suprafețele $ADFC$ și $BEFC$ au fost acoperite cu tablă. Aria suprafeței de tablă care a fost cumpărată reprezintă $110\%$ din aria suprafeței care a fost acoperită cu tablă. Determinați câți metri pătrați de tablă s-au cumpărat.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $4-2\cdot 2=4-4=0$ (întâi înmulțirea, apoi scăderea).
2. c) $\frac{a}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow a=6\cdot \frac{2}{3}=4$.
3. b) Intervalul $[-3,3]$ conține numerele naturale $0,1,2,3$; cel mai mare este $3$.
4. d) Perimetrul pătratului $=4\cdot \text{latura}\Rightarrow \text{latura}=24:4=6$ cm.
5. a) Volumul cubului $={\text{latura}}^3=5^3=125{\text{cm}}^3$.
6. c) Din diagramă: elevii care au donat câte $5$ cărți sunt $40$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Piramida patrulateră $SABCD$ are baza $ABCD$ (patrulater) și $4$ fețe laterale triunghiulare: $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$.
2. d) $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$, deci $a\sqrt{3}=3\sqrt{3}\Rightarrow a=3$.
3. b) Notând cu $x$ numărul rândurilor cu $22$ de scaune, celelalte $20-x$ rânduri au $21$ de scaune. $22x+21(20-x)=428\Rightarrow 22x+420-21x=428\Rightarrow x=8$.
4. c) $f(1)=-1+1=0$.
5. d) $f(x)=0\Rightarrow -x+1=0\Rightarrow x=1$, deci $M(1,0)$ și $OM=1$. $f(0)=1$, deci $N(0,1)$ și $ON=1$. Triunghiul $OMN$ are unghi drept în $O$ (pe axe) și $OM=ON=1$, deci este dreptunghic isoscel: $m(\sphericalangle OMN)=45°$.
6. a) $\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}$, iar $5x+10=5(x+2)$, deci $\frac{x-2}{x^2-4}\cdot \frac{5x+10}{x-3}=\frac{1}{x+2}\cdot \frac{5(x+2)}{x-3}=\frac{5}{x-3}$. Atunci $\frac{5}{x-3}+1=\frac{5+x-3}{x-3}=\frac{x+2}{x-3}$, iar $E(x)=\frac{x+2}{x-3}\cdot \frac{x-3}{x+2}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$, $x\ne 2$ și $x\ne 3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $P_{ABCD}=2\cdot (AB+BC)=2\cdot (30+10)$ (2 p) $=80$ m (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $AM=AB-MB=30-10=20$ m; $CD=AB=30$ m (laturi opuse), deci $CN=CD-ND=30-10=20$ m (1 p). ${\mathcal{A}}_{AMND}=\frac{(AM+DN)\cdot AD}{2}=\frac{(20+10)\cdot 10}{2}=150{\text{m}}^2$ (2 p). ${\mathcal{A}}_{CNMB}=\frac{(CN+BM)\cdot BC}{2}=\frac{(20+10)\cdot 10}{2}=150{\text{m}}^2={\mathcal{A}}_{AMND}$, deci $MN$ împarte terenul în două suprafețe egale (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Din triunghiul dreptunghic cu catetele $AM-DN=20-10=10$ m și $AD=10$ m rezultă $MN=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$ m (2 p). Sunt $9$ stâlpi așezați la distanțe egale, deci $8$ intervale; distanța dintre doi stâlpi consecutivi este $10\sqrt{2}:8$ (1 p). $10\sqrt{2}:8>1,75\iff 10\sqrt{2}>14\iff 200>196$, adevărat (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Distanța de la $C$ la $AB$ este egală cu înălțimea triunghiului echilateral $ABC$ (2 p). $d(C,AB)=\sqrt{A{C}^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ m (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot d(C,AB)}{2}=\frac{6\cdot 3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}{\text{m}}^2$ (2 p). $V_{\text{prisma˘}}={\mathcal{A}}_{ABC}\cdot AD=9\sqrt{3}\cdot 10=90\sqrt{3}{\text{m}}^3$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Suprafețele $ADFC$ și $BEFC$ sunt dreptunghiuri congruente cu laturile $AC=6$ m și $AD=10$ m, deci aria acoperită cu tablă este $2\cdot (AC\cdot AD)=2\cdot 60=120{\text{m}}^2$ (2 p). S-au cumpărat $\frac{110}{100}\cdot 120=132{\text{m}}^2$ de tablă (3 p).

Examen oficial de rezervă la Evaluarea Națională, Varianta 6, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea de rezervă a anului școlar 2013–2014, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală, și renumerotarea subpunctelor a)/b) ale itemului 4 original ca itemi grilă separați). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL de rezervă la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 6, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea de rezervă a anului școlar 2013–2014, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Este un document diferit de examenul din sesiunea principală a aceluiași an (deja disponibil pe site ca simulare separată). Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2014, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2014, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, care în original era o sarcină de construcție grafică incompatibilă cu formatul grilă („desenați piramida patrulateră regulată"); a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial (piramida patrulateră regulată de vârf $S$ și bază $ABCD$). De asemenea, în documentul original Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea avea două subpuncte a) și b), fiecare notat cu 5 puncte; pentru a respecta structura de 6 exerciții grilă a formatului actual, cele două subpuncte au devenit Exercițiul 4 și Exercițiul 5 ale testului de față, iar expresia algebrică (exercițiul 5 din documentul original) a devenit Exercițiul 6 — conținutul rămâne 100% autentic, s-a schimbat doar numerotarea. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: ordinea operațiilor, proporții, intervale și numere naturale, perimetrul pătratului, volumul cubului, citirea unei diagrame de bare; piramida patrulateră regulată, radicali, o ecuație cu rânduri de scaune, funcția liniară (intersecții cu axele și un unghi), o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană (dreptunghi — împărțirea unui teren în suprafețe egale, distanța dintre stâlpii unui gard) și geometrie în spațiu (prismă dreaptă cu baze triunghiuri echilaterale — distanță, volum și arie, cu un calcul de procente).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.