Sesiunea specială oficială — Evaluarea Națională 2014

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Numărul de $4$ ori mai mare decât $7$ este egal cu: a) $35$ b) $28$ c) $11$ d) $3$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{10}=\frac{9}{5}$, atunci $x$ este egal cu: a) $9$ b) $50$ c) $18$ d) $2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr natural de două cifre este egal cu: a) $0$ b) $99$ c) $1$ d) $10$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dreptunghiul $ABCD$ are lungimea de $6$ cm și lățimea de $5$ cm. Aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu: a) $30{\text{cm}}^2$ b) $11{\text{cm}}^2$ c) $22{\text{cm}}^2$ d) $1{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$ în care $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $BF=5$ cm.

Volumul paralelipipedului $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $24{\text{cm}}^3$ b) $120{\text{cm}}^3$ c) $30{\text{cm}}^3$ d) $15{\text{cm}}^3$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este reprezentată o dependență funcțională.

Numărul real $m$ este egal cu: a) $2$ b) $0$ c) $1$ d) $3$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, reprezentat schematic în figura alăturată.

Numărul fețelor cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu: a) $8$ b) $6$ c) $12$ d) $4$

Exercițiul 2 · 5 puncte Valoarea expresiei $\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{3}$ este egală cu: a) $-1$ b) $2\sqrt{3}-1$ c) $1$ d) $\sqrt{3}-1$

Exercițiul 3 · 5 puncte Andrei și Cristina i-au cumpărat împreună un cadou fratelui lor. Andrei a contribuit cu $60\%$ din prețul cadoului, iar Cristina cu restul de $80$ de lei. Prețul cadoului este egal cu: a) $48$ lei b) $480$ lei c) $133,3$ lei d) $200$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1$. Valoarea $f(1)$ este egală cu: a) $0$ b) $1$ c) $-1$ d) $2$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1$. Pentru a reprezenta grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$, se determină punctele în care graficul intersectează axele de coordonate. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(1,0)$ b) $(0,1)$ c) $(-1,0)$ d) $(0,-1)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{(x+2{)}^2}{x^2+4}-1\right):\frac{x}{x^2+4}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $4$ b) depinde de $x$ c) $x$ d) $x+4$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o grădină în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=8$ m și $AD=4$ m. Mijloacele laturilor dreptunghiului sunt vârfurile patrulaterului $MNPQ$. Suprafața reprezentată hașurat este plantată cu flori, iar restul suprafeței grădinii $ABCD$ este acoperită cu gazon.

Calculați perimetrul grădinii $ABCD$.

Exercițiul 2 · 5 puncte O grădină are forma unui dreptunghi $ABCD$ cu $AB=8$ m și $AD=4$ m, ca în figura alăturată. Mijloacele laturilor dreptunghiului sunt vârfurile patrulaterului $MNPQ$. Suprafața reprezentată hașurat este plantată cu flori, iar restul suprafeței grădinii $ABCD$ este acoperită cu gazon.

Arătați că aria suprafeței plantate cu flori este egală cu aria suprafeței acoperite cu gazon.

Exercițiul 3 · 5 puncte O grădină are forma unui dreptunghi $ABCD$ cu $AB=8$ m și $AD=4$ m, ca în figura alăturată. Mijloacele laturilor dreptunghiului sunt vârfurile patrulaterului $MNPQ$. Suprafața reprezentată hașurat este plantată cu flori, iar restul suprafeței grădinii $ABCD$ este acoperită cu gazon.

Pe fiecare metru pătrat al suprafeței reprezentate hașurat s-au plantat câte $25$ de flori. Determinați suma cheltuită pentru cumpărarea florilor plantate în grădină, știind că o floare costă $2,5$ lei.

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintr-o bucată de lemn se sculptează o piramidă patrulateră regulată $VABCD$, reprezentată schematic în figura alăturată. Piramida are înălțimea de $4$ dm, iar baza $ABCD$ are latura $AB=6$ dm.

Calculați aria bazei piramidei $VABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Dintr-o bucată de lemn se sculptează o piramidă patrulateră regulată $VABCD$, reprezentată schematic în figura alăturată. Piramida are înălțimea de $4$ dm, iar baza $ABCD$ are latura $AB=6$ dm.

Fețele laterale ale piramidei se vopsesc. Arătați că aria suprafeței vopsite este egală cu $60{\text{dm}}^2$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Dintr-o bucată de lemn se sculptează o piramidă patrulateră regulată $VABCD$, reprezentată schematic în figura alăturată. Piramida are înălțimea de $4$ dm, iar baza $ABCD$ are latura $AB=6$ dm.

Bucata de lemn din care s-a sculptat piramida $VABCD$ avea forma unei prisme drepte cu baza $ABCD$ și înălțimea de $4$ dm. Determinați cât la sută din volumul lemnului îndepărtat pentru obținerea piramidei este reprezentat de volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) Numărul de $4$ ori mai mare decât $7$ este $4\cdot 7=28$.
2. c) $\frac{x}{10}=\frac{9}{5}\Rightarrow x=\frac{10\cdot 9}{5}=18$.
3. d) Cel mai mic număr natural de două cifre este $10$.
4. a) Aria dreptunghiului $=6\cdot 5=30{\text{cm}}^2$.
5. b) Volumul paralelipipedului $=AB\cdot BC\cdot BF=6\cdot 4\cdot 5=120{\text{cm}}^3$.
6. a) Din tabel, pentru $x=0$: $y=x+2=0+2=2$, deci $m=2$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $6$ fețe (pătrate congruente): $ABCD$, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ și cele $4$ fețe laterale.
2. c) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\sqrt{3}+1$. Atunci $\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{3}=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1$.
3. d) Cristina a contribuit cu $100\%-60\%=40\%$ din preț, adică $80$ lei. Prețul cadoului este $\frac{80\cdot 100}{40}=200$ lei.
4. a) $f(1)=1-1=0$.
5. d) $f(0)=0-1=-1$, deci graficul intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,-1)$.
6. a) $\frac{(x+2{)}^2}{x^2+4}-1=\frac{(x+2{)}^2-(x^2+4)}{x^2+4}=\frac{x^2+4x+4-x^2-4}{x^2+4}=\frac{4x}{x^2+4}$. Atunci $E(x)=\frac{4x}{x^2+4}:\frac{x}{x^2+4}=\frac{4x}{x^2+4}\cdot \frac{x^2+4}{x}=4$, pentru orice număr real $x$, $x\ne 0$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Perimetrul $P_{ABCD}=2\cdot (AB+AD)=2\cdot (8+4)$ (3 p). $P_{ABCD}=24$ m (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $MN=PQ=\frac{AC}{2}$ și $NP=MQ=\frac{BD}{2}$ (segmente de mijloc în triunghiurile determinate de diagonale); cum $AC=BD$ (diagonalele dreptunghiului sunt congruente) $\Rightarrow MNPQ$ este romb (2 p). Diagonalele rombului $MNPQ$ sunt $MP=AD=4$ m și $NQ=AB=8$ m, deci $A_{hașurat\breve{a}}=A_{MNPQ}=\frac{MP\cdot NQ}{2}=\frac{4\cdot 8}{2}=16{\text{m}}^2$, adică jumătate din $A_{ABCD}=8\cdot 4=32{\text{m}}^2$; rezultă $A_{hașurat\breve{a}}=A_{gazon}=16{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Suprafața hașurată este rombul $MNPQ$ cu diagonalele $MP=AD=4$ m și $NQ=AB=8$ m, deci $A_{hașurat\breve{a}}=\frac{MP\cdot NQ}{2}=\frac{4\cdot 8}{2}=16{\text{m}}^2$ (2 p). Numărul florilor este $16\cdot 25=400$, iar suma cheltuită pentru cumpărarea lor este $400\cdot 2,5=1000$ de lei (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Baza $ABCD$ este pătrat cu latura $AB=6$ dm, deci $A_{ABCD}=A{B}^2$ (2 p). $A_{ABCD}=6^2=36{\text{dm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale, coborâtă din $V$) este $a_p=\sqrt{h^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ dm (2 p). Aria suprafeței vopsite (aria laterală) este $A_{lateral\breve{a}}=\frac{P_{bazei}\cdot a_p}{2}=\frac{4\cdot 6\cdot 5}{2}=60{\text{dm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Volumul prismei este $V_{prism\breve{a}}=A_{ABCD}\cdot h=36\cdot 4=144{\text{dm}}^3$, iar volumul piramidei este $V_{piramid\breve{a}}=\frac{1}{3}\cdot A_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 144=48{\text{dm}}^3$, deci $V_{prism\breve{a}}=3\cdot V_{piramid\breve{a}}$, de unde volumul lemnului îndepărtat este $V_{lemn\hat{ı}ndep\breve{a}rtat}=V_{prism\breve{a}}-V_{piramid\breve{a}}=2\cdot V_{piramid\breve{a}}=96{\text{dm}}^3$ (3 p). Procentul cerut este $\frac{p}{100}=\frac{V_{piramid\breve{a}}}{V_{lemn\hat{ı}ndep\breve{a}rtat}}=\frac{V_{piramid\breve{a}}}{2\cdot V_{piramid\breve{a}}}=\frac{1}{2}\Rightarrow p=50$, deci volumul piramidei reprezintă $50\%$ din volumul lemnului îndepărtat (2 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 9, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea specială a anului școlar 2013–2014, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 5 de la Subiectul al II-lea, reformulați din sarcinile de desen originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 9, susținut efectiv de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea specială a anului școlar 2013–2014, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2014, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2014, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Excepție fac doi exerciții ale Subiectului al II-lea, care cereau sarcini de desen (incompatibile cu formatul grilă) și au fost reformulați ca întrebări cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric, respectiv funcția, din enunțul oficial: Exercițiul 1 (desenul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, reformulat ca întrebare despre numărul fețelor cubului) și Exercițiul 5 (reprezentarea grafică a funcției $f(x)=x-1$, reformulată ca întrebare despre punctul în care graficul intersectează axa $Oy$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: înmulțire simplă, o proporție, cel mai mic număr natural de două cifre, aria dreptunghiului, volumul paralelipipedului dreptunghic, o dependență funcțională tabelară; cubul și fețele lui, raționalizarea unei expresii cu radicali, o problemă cu procente (prețul unui cadou), funcția de gradul I (valoare și grafic), o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană (dreptunghi cu patrulaterul de mijloace ale laturilor — perimetru, arii echivalente, cost de material) și geometrie în spațiu (piramidă patrulateră regulată — arie bază, arie laterală, procent din volumul unei prisme).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.