Simularea națională oficială — Evaluarea Națională 2014

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(2^0+2^1+2^2):(2^3-1)$ este egal cu: a) $1$ b) $7$ c) $\frac{1}{7}$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{a}{7}=\frac{5}{3}$, atunci numărul $\frac{a+7}{7}$ este egal cu: a) $\frac{5}{3}$ b) $\frac{12}{7}$ c) $\frac{8}{3}$ d) $2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Scrisă sub formă de interval, mulțimea $I=\{x\in \mathbb{R}\mid -5\le x\le 3\}$ este egală cu: a) $(-5,3)$ b) $[-5,3]$ c) $[-3,5]$ d) $[3,-5]$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=4$ cm, $AC=6$ cm și $BC=8$ cm. Dacă $M$ este mijlocul laturii $AB$ și $N$ este mijlocul laturii $AC$, atunci perimetrul triunghiului $AMN$ este egal cu: a) $18$ cm b) $6$ cm c) $12$ cm d) $9$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Măsura unghiului determinat de dreptele $A{D}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$ este egală cu:

a) $90$° b) $45$° c) $60$° d) $30$°

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este dat numărul de elevi din fiecare clasă a VIII-a dintr-o școală, la începutul unui an școlar, respectiv la sfârșitul aceluiași an școlar.

La sfârșitul anului școlar, numărul total al elevilor din clasele a VIII-a ale acestei școli este egal cu: a) $80$ b) $74$ c) $78$ d) $82$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte O prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ are ca bază triunghiul echilateral $ABC$, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor laterale ale prismei $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu: a) $2$ b) $3$ c) $4$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numărul natural $n$, cuprins între $40$ și $50$, știind că la împărțirea lui prin $6$ și prin $8$ se obține de fiecare dată restul $1$. Numărul $n$ este egal cu: a) $41$ b) $48$ c) $49$ d) $45$

Exercițiul 3 · 5 puncte Matei a cheltuit sâmbătă după-amiază două cincimi din suma pe care o avea dimineața. Duminică, după ce a mai cheltuit încă $13$ lei, Matei mai are $8$ lei din suma inițială. Suma pe care a avut-o Matei sâmbătă dimineață este egală cu: a) $20$ lei b) $30$ lei c) $40$ lei d) $35$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele $a=\sqrt{8}$ și $b=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$. Calculând $\frac{a+2}{a-2}$, se obține: a) $3+2\sqrt{2}$ b) $3-2\sqrt{2}$ c) $2\sqrt{2}-3$ d) $1$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numerele $a=\sqrt{8}$ și $b=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, unde s-a arătat că $\frac{a+2}{a-2}=b$, adică $b=3+2\sqrt{2}$. Comparând $a$ și $b$, rezultă că: a) $a>b$ b) $a<b$ c) $a=b$ d) nu se pot compara

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră $E(x)=(1+x)(1-x)+(x+2{)}^2-2(x+2)$, unde $x$ este număr real. Numărul real $a$ pentru care $E(a)=-1$ este egal cu: a) $1$ b) $0$ c) $-2$ d) $-1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unei table de joc $ABCD$, împărțită în $25$ de pătrate colorate în alb sau în negru, fiecare pătrat având latura de $2$ cm. Pe marginea tablei de joc sunt alese punctele $P$, $Q$, $M$ și $N$ astfel încât $AP=BQ=CM=DN$.

Calculați perimetrul pătratului $ABCD$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Figura alăturată este schița aceleiași table de joc $ABCD$, împărțită în $25$ de pătrate colorate în alb sau în negru, fiecare pătrat având latura de $2$ cm ($12$ dintre cele $25$ de pătrate sunt albe, ca în figură). Pe marginea tablei de joc sunt alese punctele $P$, $Q$, $M$ și $N$ astfel încât $AP=BQ=CM=DN$.

Arătați că aria tuturor pătratelor albe reprezintă $48\%$ din aria tablei de joc.

Exercițiul 3 · 5 puncte Figura alăturată este schița aceleiași table de joc $ABCD$, împărțită în $25$ de pătrate colorate în alb sau în negru, fiecare pătrat având latura de $2$ cm. Pe marginea tablei de joc sunt alese, ca în figură, punctele $P$, $Q$, $M$ și $N$ astfel încât $AP=BQ=CM=DN$.

Demonstrați că dreptele $MP$ și $NQ$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic un acoperiș în formă de piramidă patrulateră regulată $VABCD$. Înălțimea piramidei este $VO=3\sqrt{2}$ m, iar muchia laterală este $VA=6$ m.

Verificați dacă $AB=6$ m.

Exercițiul 5 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic același acoperiș în formă de piramidă patrulateră regulată $VABCD$, cu înălțimea $VO=3\sqrt{2}$ m și muchia laterală $VA=6$ m (s-a arătat că $AB=6$ m).

Determinați măsura unghiului format de planele $(VAC)$ și $(VBD)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic același acoperiș în formă de piramidă patrulateră regulată $VABCD$, cu înălțimea $VO=3\sqrt{2}$ m și muchia laterală $VA=6$ m. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BV$ și punctul $N$ este mijlocul muchiei $CV$.

Demonstrați că dreptele $DM$ și $AN$ sunt coplanare.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $(2^0+2^1+2^2):(2^3-1)=(1+2+4):(8-1)=7:7=1$.
2. c) $\frac{a+7}{7}=\frac{a}{7}+1=\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}$.
3. b) $I=\{x\in \mathbb{R}\mid -5\le x\le 3\}=[-5,3]$.
4. d) $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$, deci $MN=\frac{BC}{2}=4$ cm, $AM=\frac{AB}{2}=2$ cm, $AN=\frac{AC}{2}=3$ cm; perimetrul triunghiului $AMN=2+3+4=9$ cm.
5. a) Cu $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A^{\prime }(0,0,1)$, $B^{\prime }(1,0,1)$, $C^{\prime }(1,1,1)$, $D^{\prime }(0,1,1)$: $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0,1,1)$ și $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0,1,-1)$; produsul scalar este $0+1-1=0$, deci dreptele $A{D}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$ sunt perpendiculare, iar unghiul dintre ele este $90$°.
6. c) La sfârșitul anului școlar: $26+25+27=78$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ are baza triunghiul $ABC$ (cu $3$ laturi), deci are exact $3$ fețe laterale dreptunghiulare: $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, $CA{A}^{\prime }{C}^{\prime }$.
2. c) Din teorema împărțirii cu rest: $n=6c_1+1=8c_2+1\Rightarrow n-1$ este multiplu de $\text{c.m.m.m.c.}(6,8)=24$. Cum $40<n<50$, rezultă $n-1=48$, deci $n=49$.
3. d) Notând cu $S$ suma pe care o avea Matei sâmbătă dimineață: $S-\frac{2}{5}S-13=8\Rightarrow \frac{3}{5}S=21\Rightarrow S=35$ lei.
4. a) $a+2=2\sqrt{2}+2$, $a-2=2\sqrt{2}-2$; $\frac{a+2}{a-2}=\frac{2(\sqrt{2}+1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=\frac{(\sqrt{2}+1{)}^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{3+2\sqrt{2}}{1}=3+2\sqrt{2}$.
5. b) $a=2\sqrt{2}\approx 2,83$ și $b=3+2\sqrt{2}\approx 5,83$, deci $b=a+3>a$, adică $a<b$.
6. d) $(1+x)(1-x)=1-x^2$; $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$; $E(x)=1-x^2+x^2+4x+4-2x-4=2x+1$. Din $E(a)=-1$: $2a+1=-1\Rightarrow a=-1$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Latura pătratului $ABCD$ este formată din $5$ pătrate mici de $2$ cm, deci $AB=5\cdot 2=10$ cm (3 p). Perimetrul $P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot 10=40$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Tabla de joc are $25$ de pătrate mici, dintre care $12$ sunt albe (2 p). Raportul dintre aria pătratelor albe și aria totală este $\frac{12}{25}=\frac{48}{100}=48\%$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Din $AP=BQ=CM=DN$ și $ABCD$ pătrat rezultă $AN=BP=CQ=DM$, iar unghiurile $\angle A\equiv \angle B\equiv \angle C\equiv \angle D$ (unghiuri drepte ale pătratului) (2 p). Triunghiurile $NAP\equiv PBQ\equiv QCM\equiv MDN$ (LUL), deci $NP=PQ=QM=MN$, adică $MNPQ$ este romb; într-un romb diagonalele sunt perpendiculare, deci $MP\perp NQ$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $O$ este centrul pătratului $ABCD$, deci $OA$ este jumătate din diagonala $AC$; în triunghiul dreptunghic $VOA$: $O{A}^2=V{A}^2-V{O}^2=6^2-(3\sqrt{2}{)}^2=36-18=18$, deci $OA=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ m (2 p). Diagonala $AC=2\cdot OA=6\sqrt{2}$ m, iar cum $AC=AB\sqrt{2}$, rezultă $AB=6$ m — afirmația este adevărată (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $(VAC)\cap (VBD)=VO$; $VO\perp AC$ și $AC\subset (VAC)$, iar $VO\perp BD$ și $BD\subset (VBD)$ (înălțimea piramidei este perpendiculară pe planul bazei, deci pe orice dreaptă din bază) (3 p). Cum diagonalele pătratului $ABCD$ sunt perpendiculare ($AC\perp BD$), rezultă $m(\angle ((VAC),(VBD)))=m(\angle (AC,BD))=90$° (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $M$ mijlocul lui $BV$ și $N$ mijlocul lui $CV$, deci $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $VBC$, adică $MN\parallel BC$ (2 p). Cum $BC\parallel AD$ (laturi opuse ale pătratului $ABCD$), rezultă $MN\parallel AD$, deci punctele $A$, $D$, $N$ și $M$ sunt coplanare (două drepte paralele determină un plan); dreptele $DM$ și $AN$ sunt conținute în acest plan, deci $DM$ și $AN$ sunt coplanare (3 p).

Simulare națională oficială de matematică, susținută de absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2013-2014, publicată de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Aceasta este simularea NAȚIONALĂ OFICIALĂ la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, organizată efectiv pentru absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2013-2014, publicată de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2014, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2014, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$" — o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă; a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial (prisma dreaptă cu baza triunghi echilateral). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: calculul cu ordinea operațiilor și puteri, rapoarte și fracții, mulțimi și intervale, linia mijlocie în triunghi, unghiul dintre două drepte în cub, citirea unui tabel; prismă dreaptă (fețe laterale), împărțire cu rest, o problemă cu fracții dintr-o sumă de bani, radicali cu numere conjugate, o expresie algebrică; geometrie plană (tablă de joc — perimetru, procent din arie, perpendicularitate/romb) și geometrie în spațiu (piramidă patrulateră regulată — verificare de lungime, unghi diedru, drepte coplanare).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.