Modelul oficial CNEE — Evaluarea Națională 2015

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10+100:2$ este egal cu: a) $55$ b) $60$ c) $210$ d) $50$

Exercițiul 2 · 5 puncte Patru pixuri de același fel costă $20$ de lei. Opt astfel de pixuri costă: a) $20$ lei b) $160$ lei c) $80$ lei d) $40$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $A=\{2,3,4,5\}$ și $B=\{0,1,2\}$, atunci mulțimea $A\cap B$ este egală cu: a) $\{2\}$ b) $\{0,1,2,3,4,5\}$ c) $\{0,1\}$ d) $\{3,4,5\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are latura de $5$ cm. Aria pătratului $ABCD$ este egală cu: a) $10{\text{cm}}^2$ b) $20{\text{cm}}^2$ c) $25{\text{cm}}^2$ d) $100{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o sferă cu raza de $3$ cm. Volumul sferei este egal cu:

a) $27\pi {\text{cm}}^3$ b) $36\pi {\text{cm}}^3$ c) $12\pi {\text{cm}}^3$ d) $288\pi {\text{cm}}^3$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția elevilor claselor a VIII-a dintr-o școală, în funcție de notele obținute la teza de matematică pe semestrul I:

Numărul elevilor care au obținut nota $9$ este egal cu: a) $20$ b) $30$ c) $35$ d) $5$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor paralelipipedului dreptunghic $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $8$ b) $12$ c) $6$ d) $4$

Exercițiul 2 · 5 puncte Calculați media aritmetică a numerelor reale $x=2(4-\sqrt{7})$ și $y=2\sqrt{7}$. Media aritmetică este egală cu: a) $2\sqrt{7}$ b) $4-\sqrt{7}$ c) $8$ d) $4$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un autoturism a parcurs un traseu în două zile. În prima zi autoturismul a parcurs $30\%$ din lungimea traseului, iar în a doua zi autoturismul a parcurs restul de $350$ km. Lungimea întregului traseu este egală cu: a) $500$ km b) $350$ km c) $150$ km d) $700$ km

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+3$, unde $a$ este un număr real. Determinați numărul real $a$, știind că $f(-3)=0$. Numărul $a$ este egal cu: a) $-1$ b) $1$ c) $3$ d) $0$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+3$, unde $a$ este un număr real. Pentru $a=1$ (adică $f(x)=x+3$), se consideră $A$ și $B$ punctele de intersecție ale graficului funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$, ale sistemului de coordonate $xOy$ (pentru a arăta că triunghiul $OAB$ este isoscel). Lungimile $OA$ și $OB$ sunt egale cu: a) $OA=3$, $OB=1$ b) $OA=1$, $OB=3$ c) $OA=3$, $OB=3$ d) $OA=6$, $OB=3$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{(x+1{)}^2-4}{x}:\frac{x^2-x}{x^2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 1$. Determinați numărul real $m$, $m\ne 0$ și $m\ne 1$, știind că $E(m)=5$. Numărul $m$ este egal cu: a) $5$ b) $8$ c) $-2$ d) $2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unui patinoar în formă de dreptunghi $ABCD$, cu lungimea $AD=30\sqrt{3}$ m și lățimea $AB=30$ m. Un patinator pornește din punctul $M$ situat pe latura $AB$ astfel încât $BM=10$ m și patinează paralel cu diagonalele dreptunghiului, atingând latura $BC$ în $N$, latura $CD$ în $P$, latura $DA$ în $Q$ și se întoarce în punctul $M$.

Calculați aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou patinoarul în formă de dreptunghi $ABCD$, cu lungimea $AD=30\sqrt{3}$ m și lățimea $AB=30$ m, ca în figura alăturată. Patinatorul pornește din punctul $M$ situat pe latura $AB$ astfel încât $BM=10$ m și patinează paralel cu diagonalele dreptunghiului, atingând latura $BC$ în $N$, latura $CD$ în $P$, latura $DA$ în $Q$ și se întoarce în punctul $M$.

Arătați că $m(\angle NMQ)=60°$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou patinoarul în formă de dreptunghi $ABCD$, cu lungimea $AD=30\sqrt{3}$ m și lățimea $AB=30$ m, ca în figura alăturată. Patinatorul pornește din punctul $M$ situat pe latura $AB$ astfel încât $BM=10$ m și patinează paralel cu diagonalele dreptunghiului, atingând latura $BC$ în $N$, latura $CD$ în $P$, latura $DA$ în $Q$ și se întoarce în punctul $M$.

Arătați că distanța parcursă de patinator pe traseul $M\to N\to P\to Q\to M$ este egală cu $120$ m.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă un con circular drept cu înălțimea $VO$, $VO=12$ cm. Segmentul $AB$ este diametru al bazei conului și $VA=15$ cm.

Arătați că volumul conului circular drept este egal cu $324\pi {\text{cm}}^3$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou conul circular drept cu înălțimea $VO$, $VO=12$ cm, unde segmentul $AB$ este diametru al bazei conului și $VA=15$ cm, ca în figura alăturată.

Calculați valoarea sinusului unghiului format de generatoarea conului cu planul bazei.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou conul circular drept cu înălțimea $VO$, $VO=12$ cm, unde segmentul $AB$ este diametru al bazei conului și $VA=15$ cm, ca în figura alăturată. Conul se secționează cu un plan paralel cu planul bazei astfel încât aria secțiunii formate este egală cu $9\pi {\text{cm}}^2$.

Determinați distanța de la punctul $V$ la planul de secțiune.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) Se efectuează întâi împărțirea: $100:2=50$, apoi adunarea: $10+50=60$.
2. d) Un pix costă $20:4=5$ lei, deci $8$ pixuri costă $8\cdot 5=40$ lei.
3. a) $A\cap B$ conține elementele comune celor două mulțimi: doar $2$ apare și în $A=\{2,3,4,5\}$, și în $B=\{0,1,2\}$.
4. c) Aria pătratului $={\text{latura}}^2=5^2=25{\text{cm}}^2$.
5. b) Volumul sferei $=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 27=36\pi {\text{cm}}^3$.
6. a) Din tabel: la nota $9$ corespund $20$ de elevi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$ are $6$ fețe: $ABCD$, $EFGH$ (bazele) și $ABFE$, $BCGF$, $CDHG$, $DAEH$ (fețele laterale).
2. d) $x=2(4-\sqrt{7})=8-2\sqrt{7}$ și $y=2\sqrt{7}$, deci media aritmetică este $\frac{x+y}{2}=\frac{8-2\sqrt{7}+2\sqrt{7}}{2}=\frac{8}{2}=4$.
3. a) A doua zi s-au parcurs $350$ km, adică $100\%-30\%=70\%$ din traseu. Deci lungimea întregului traseu este $350:0,7=500$ km.
4. b) Din $f(-3)=0$ rezultă $-3a+3=0\iff 3a=3\iff a=1$.
5. c) Pentru $a=1$, $f(x)=x+3$. Graficul intersectează $Ox$ în $A(-3,0)$, deci $OA=3$, și intersectează $Oy$ în $B(0,3)$, deci $OB=3$. Cum $OA=OB=3$, triunghiul $OAB$ este isoscel.
6. d) $\frac{(x+1{)}^2-4}{x}=\frac{x^2+2x-3}{x}=\frac{(x+3)(x-1)}{x}$ și $\frac{x^2-x}{x^2}=\frac{x(x-1)}{x^2}=\frac{x-1}{x}$. Deci $E(x)=\frac{(x+3)(x-1)}{x}\cdot \frac{x}{x-1}=x+3$. Din $E(m)=5$ rezultă $m+3=5\iff m=2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Aria dreptunghiului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AD\cdot AB=30\sqrt{3}\cdot 30$ (3 p) $=900\sqrt{3}{\text{m}}^2$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Fie $\{O\}=AC\cap BD$. Cum $MN\parallel AC$ și $MQ\parallel BD$, rezultă $m(\angle NMQ)=m(\angle COD)$ (2 p). Diagonalele au lungimea $AC=BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{900+2700}=\sqrt{3600}=60$ m, deci $OC=OD=\frac{AC}{2}=30$ m $=CD$ (latură opusă lui $AB$), de unde triunghiul $OCD$ este echilateral și $m(\angle NMQ)=60°$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Din asemănarea triunghiurilor $BMN\sim BAC$ (deoarece $MN\parallel AC$), $\frac{MN}{AC}=\frac{BM}{AB}=\frac{10}{30}$, deci $MN=60\cdot \frac{10}{30}=20$ m (1 p). Din asemănarea triunghiurilor $AMQ\sim ABD$ (deoarece $MQ\parallel BD$), $\frac{MQ}{BD}=\frac{AM}{AB}=\frac{20}{30}$ (unde $AM=AB-BM=20$), deci $MQ=60\cdot \frac{20}{30}=40$ m (2 p). Cum $MNPQ$ este paralelogram ($NP=MQ=40$ m, $PQ=MN=20$ m), distanța totală este $MN+NP+PQ+QM=2(MN+MQ)=2\cdot 60=120$ m (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul $VOA$ este dreptunghic în $O$, deci $OA=\sqrt{V{A}^2-V{O}^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$ cm, iar aria bazei este ${\mathcal{A}}_{bazei}=\pi \cdot O{A}^2=81\pi {\text{cm}}^2$ (3 p). Volumul conului este $V=\frac{{\mathcal{A}}_{bazei}\cdot VO}{3}=\frac{81\pi \cdot 12}{3}=324\pi {\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Cum $VO\perp$ planul bazei, unghiul format de generatoarea $VA$ cu planul bazei este $m(\angle VAO)$ (2 p). În triunghiul dreptunghic $VOA$, $\sin (\angle VAO)=\frac{VO}{VA}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Raza secțiunii $r$ verifică $\pi r^2=9\pi$, deci $r=3$ cm (2 p). Conul mic (de la $V$ la planul secțiunii) este asemenea cu conul mare, deci $\frac{V{O}^{\prime }}{VO}=\frac{r}{OA}=\frac{3}{9}$, de unde $V{O}^{\prime }=12\cdot \frac{3}{9}=4$ cm (3 p).

Model oficial de Evaluare Națională, anul școlar 2014–2015, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este Modelul OFICIAL de subiect pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (CNEE) pentru anul școlar 2014–2015. Este un model oficial de pregătire (nu o probă susținută efectiv de elevi la o dată fixă), distribuit de minister absolvenților claselor a VIII-a înaintea examenului real, cu scopul de a-i familiariza cu formatul și dificultatea probei. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în modelul din 2014–2015, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2014–2015, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea: Exercițiul 1 cerea în original „desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$", o sarcină de construcție grafică incompatibilă cu formatul grilă; a fost reformulată ca întrebare cu răspuns unic, păstrând identic obiectul matematic din enunțul oficial (paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: ordinea operațiilor, preț unitar (proporționalitate), intersecția a două mulțimi, aria pătratului, volumul sferei, citirea unui tabel de frecvențe; paralelipiped dreptunghic, medie aritmetică cu radicali, o problemă cu procente (traseul unui autoturism), funcția liniară $f(x)=ax+3$ și un triunghi isoscel, o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană (dreptunghi cu diagonale — un patinoar, arie și unghi de $60°$) și geometrie în spațiu (con circular drept — volum, sinusul unghiului dintre generatoare și bază, secțiune paralelă cu baza).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.