Examenul oficial de rezervă — Evaluarea Națională 2015

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10:5-2$ este egal cu: a) $4$ b) $2$ c) $0$ d) $-8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{9}=\frac{5}{3}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $15$ b) $45$ c) $27$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr natural de două cifre este egal cu: a) $0$ b) $1$ c) $9$ d) $10$

Exercițiul 4 · 5 puncte Trapezul $ABCD$ are bazele $AB=6$ cm și $CD=4$ cm. Linia mijlocie a trapezului $ABCD$ are lungimea de: a) $10$ cm b) $5$ cm c) $2$ cm d) $1$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu raza bazei $AO=3$ cm și generatoarea $VA=5$ cm. Înălțimea $VO$ a acestui con este egală cu:

a) $2$ cm b) $8$ cm c) $4$ cm d) $5$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile măsurate la o stație meteorologică, la aceeași oră, în fiecare zi a unei săptămâni din luna aprilie.

Cea mai mare temperatură măsurată în acea săptămână a fost egală cu: a) $18°C$ b) $19°C$ c) $17°C$ d) $15°C$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$ este reprezentat în figura alăturată.

Numărul muchiilor paralelipipedului dreptunghic $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $6$ b) $24$ c) $8$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $x=8-2\cdot 3$ și $y=2^3$. Media geometrică a numerelor $x$ și $y$ este egală cu: a) $4$ b) $16$ c) $8$ d) $2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Într-o clasă cu $30$ de elevi, numărul băieților reprezintă $40\%$ din numărul elevilor clasei. Numărul fetelor din această clasă este egal cu: a) $12$ b) $20$ c) $18$ d) $15$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$. Valoarea $f(3)$ este egală cu: a) $6$ b) $0$ c) $-3$ d) $3$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul de coordonate: a) $(0,-3)$ b) $(-3,0)$ c) $(3,0)$ d) $(0,3)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră $E(n)={\left(3n+7\right)}^2-2\left(3n+7\right)+1$, unde $n$ este număr natural. Forma restrânsă (după reducere) a expresiei $E(n)$ este egală cu: a) $(3n+7{)}^2$ b) $9(n+1{)}^2$ c) $3(n+2{)}^2$ d) $9(n+2{)}^2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unui aranjament floral dintr-un parc. Vârfurile dreptunghiului $ABCD$ sunt situate pe cercul de centru $O$ și rază $OA=5$ m, iar $AB=8$ m. Pe suprafața hașurată sunt plantate flori, iar suprafața nehașurată din interiorul cercului este acoperită cu gazon.

Arătați că lungimea cercului de centru $O$ și rază $OA$ este egală cu $10\pi$ m.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou schița aranjamentului floral dintr-un parc, cu vârfurile dreptunghiului $ABCD$ situate pe cercul de centru $O$ și rază $OA=5$ m, iar $AB=8$ m, ca în figura alăturată. Pe suprafața hașurată sunt plantate flori, iar suprafața nehașurată din interiorul cercului este acoperită cu gazon.

Calculați perimetrul dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou schița aranjamentului floral dintr-un parc, cu vârfurile dreptunghiului $ABCD$ situate pe cercul de centru $O$ și rază $OA=5$ m, iar $AB=8$ m, ca în figura alăturată. Pe suprafața hașurată sunt plantate flori, iar suprafața nehașurată din interiorul cercului este acoperită cu gazon.

Arătați că suprafața acoperită cu gazon are aria mai mică decât $30,75{\text{m}}^2$. Se consideră cunoscut faptul că $3,14<\pi <3,15$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă o piramidă triunghiulară regulată $VABC$ cu înălțimea $VO$, $BC=12$ cm și $VM=6$ cm, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$.

Arătați că aria triunghiului $VBC$ este egală cu $36{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida triunghiulară regulată $VABC$ cu înălțimea $VO$, $BC=12$ cm și $VM=6$ cm, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, ca în figura alăturată.

Calculați volumul piramidei $VABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida triunghiulară regulată $VABC$ cu înălțimea $VO$, $BC=12$ cm și $VM=6$ cm, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreptele $VA$ și $VM$ sunt perpendiculare.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $10:5-2=2-2=0$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. a) Din $\frac{x}{9}=\frac{5}{3}$, prin înmulțire încrucișată: $3x=9\cdot 5=45$, deci $x=15$.
3. d) Cel mai mic număr natural de două cifre este $10$ (numerele de o cifră sunt $0,1,\dots ,9$).
4. b) Linia mijlocie a trapezului $=\frac{AB+CD}{2}=\frac{6+4}{2}=5$ cm.
5. c) În triunghiul dreptunghic $AOV$: $VO=\sqrt{V{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ cm.
6. b) Din tabel, cea mai mare temperatură este $19°C$, înregistrată sâmbătă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ are $6$ fețe, $8$ vârfuri și $12$ muchii.
2. a) $x=8-2\cdot 3=8-6=2$ și $y=2^3=8$, deci media geometrică $=\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$.
3. c) Numărul fetelor reprezintă $100\%-40\%=60\%$ din numărul elevilor clasei, deci $\frac{60\cdot 30}{100}=18$.
4. b) $f(3)=3-3=0$.
5. c) Graficul intersectează axa $Ox$ acolo unde $f(x)=0$: $x-3=0\Rightarrow x=3$, deci punctul este $(3,0)$.
6. d) Notând $u=3n+7$: $E(n)=u^2-2u+1=(u-1{)}^2=(3n+7-1{)}^2=(3n+6{)}^2={\left(3(n+2)\right)}^2=9(n+2{)}^2$, care este pătrat perfect divizibil cu $9$, pentru orice număr natural $n$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Lungimea cercului de centru $O$ și rază $OA$ este $L=2\pi \cdot OA$ (2 p) $=2\pi \cdot 5=10\pi$ m (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ (unghi înscris în cerc ce subîntinde diametrul $AC$, conform teoremei lui Thales), deci $AC=2\cdot OA=10$ m. Din teorema lui Pitagora: $B{C}^2=A{C}^2-A{B}^2=10^2-8^2=100-64=36\Rightarrow BC=6$ m (3 p). Perimetrul $P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(8+6)=28$ m (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ (unghi înscris în cerc ce subîntinde diametrul $AC=2\cdot OA=10$ m, conform teoremei lui Thales), deci $B{C}^2=A{C}^2-A{B}^2=10^2-8^2=100-64=36\Rightarrow BC=6$ m. Aria dreptunghiului ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC=8\cdot 6=48{\text{m}}^2$. Aria discului ${\mathcal{A}}_{disc}=\pi \cdot O{A}^2=25\pi {\text{m}}^2$. Aria gazonului ${\mathcal{A}}_{gazon}={\mathcal{A}}_{disc}-{\mathcal{A}}_{ABCD}=25\pi -48$ (2 p). Din $\pi <3,15$ rezultă $25\pi <25\cdot 3,15=78,75$, deci ${\mathcal{A}}_{gazon}<78,75-48=30,75$, adică ${\mathcal{A}}_{gazon}<30,75{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Aria triunghiului $VBC=\frac{BC\cdot VM}{2}$ (2 p) $=\frac{12\cdot 6}{2}=36{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $M$ este mijlocul laturii $BC$ a triunghiului echilateral $ABC$ (latura $12$ cm), deci $AM$ este mediană: $AM=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm. Cum $O$ este centrul de greutate al triunghiului echilateral $ABC$, $O$ împarte mediana $AM$ în raportul $2:1$, deci $OM=\frac{AM}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ cm. În triunghiul dreptunghic $VOM$ (dreptunghic în $O$, căci $VO$ este înălțimea piramidei, perpendiculară pe planul bazei): $VO=\sqrt{V{M}^2-O{M}^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm (2 p). Aria bazei ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{B{C}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$. Volumul piramidei $V_{VABC}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}\cdot VO}{3}=\frac{36\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{3}=24\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=24\sqrt{18}=24\cdot 3\sqrt{2}=72\sqrt{2}{\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $VM$ este mediană în triunghiul $VBC$ și $VM=6=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}$, deci triunghiul $VBC$ este dreptunghic în $V$ (o mediană egală cu jumătate din latura opusă arată că unghiul din vârful respectiv este drept) (2 p). $VABC$ este piramidă triunghiulară regulată, deci $VA=VB=VC$, iar prin simetria piramidei relația $VB\perp VC$ găsită mai sus se transpune identic și pentru celelalte perechi de muchii laterale, adică $VA\perp VB$ și $VA\perp VC$; cum $\{V\}=VB\cap VC$, obținem $VA\perp (VBC)$. Deoarece $VM\subset (VBC)$, rezultă $VA\perp VM$ (3 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 3, sesiunea de rezervă a anului școlar 2014–2015, publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 5 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen/construcție grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL de REZERVĂ la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 3, destinat absolvenților clasei a VIII-a care au susținut proba în sesiunea de rezervă a anului școlar 2014–2015, publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial. Acest test este un document diferit de examenul principal din aceeași sesiune de examene — conține alte subiecte, alte date numerice și alte figuri.

Notă de transparență privind formatul: în 2015, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2015, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, care în original erau sarcini de construcție grafică, incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1 cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$" și Exercițiul 5 (partea b a exercițiului cu funcția) cerea „reprezentați grafic funcția"; ambele au fost reformulate ca întrebări cu răspuns unic, păstrând identic obiectul matematic din enunțul oficial (paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$, respectiv funcția $f(x)=x-3$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; cele două probleme cu subpuncte a), b), c) au fost transformate în 6 exerciții independente, fiecare reluând integral enunțul și figura, pentru a putea fi rezolvate separat.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o proporție, cel mai mic număr natural de două cifre, linia mijlocie a trapezului, un con circular drept (generatoare, înălțime), citirea unui tabel de temperaturi; paralelipipedul dreptunghic (numărul muchiilor), media geometrică, o problemă cu procente (elevii unei clase), funcția liniară $f(x)=x-3$, o expresie algebrică ce este pătrat perfect divizibil cu $9$; geometrie plană (un dreptunghi înscris într-un cerc — lungimea cercului, perimetru, aria suprafeței cu gazon) și geometrie în spațiu (o piramidă triunghiulară regulată — aria unei fețe, volum, perpendicularitatea a două drepte).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.