Simulare Evaluarea Națională nr. 16

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(45-3\cdot 5):6$ este: a) $5$ b) $7$ c) $30$ d) $35$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{12}{x}=\frac{3}{2}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $18$ b) $6$ c) $8$ d) $4$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimea $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -2\le x<3\}$. Numărul de elemente ale mulțimii $A$ este: a) $6$ b) $4$ c) $3$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte $20\%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $20$ b) $30$ c) $15$ d) $45$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $\sqrt{25}$, $8$ și $11$ este: a) $12$ b) $6$ c) $8$ d) $24$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{17}-4$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=3$ cm și $BC=7$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $5$ cm b) $1$ cm c) $4$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$ cu latura $BC=10$ cm. Lungimea înălțimii $AD$ (unde $D$ este mijlocul laturii $BC$) este egală cu:

a) $3\sqrt{3}$ cm b) $10\sqrt{3}$ cm c) $5\sqrt{3}$ cm d) $5$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=24$ cm și $BC=7$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $31$ cm b) $25$ cm c) $17$ cm d) $168$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $60^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $60^{\circ }$ b) $30^{\circ }$ c) $15^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu dimensiunile $AB=6$ cm, $BC=5$ cm și $AE=4$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $74{\text{cm}}^3$ b) $15{\text{cm}}^3$ c) $148{\text{cm}}^3$ d) $120{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un magazin are un stoc de mere. În prima zi vinde $25\%$ din stoc, în a doua zi vinde $40\%$ din ce a rămas, iar în a treia zi vinde ultimele $135$ kg. a) (2 p) Arată că în a doua zi magazinul a vândut mai multe mere decât în prima zi. b) (3 p) Determină stocul inițial de mere.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-16}{x^2+4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne -4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x-4}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Factura lunară la apă a unei familii este dată de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+12$, unde $x$ reprezintă numărul de metri cubi (${\text{m}}^3$) de apă consumați, iar $f(x)$ este suma de plată, în lei ($12$ lei abonament fix plus $4$ lei pentru fiecare ${\text{m}}^3$ consumat). a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(6)$ și precizează ce reprezintă $f(0)$ în contextul problemei. b) (3 p) Reprezintă grafic funcția $f$ (pe axele din figură) și determină câți ${\text{m}}^3$ de apă a consumat familia dacă a plătit $48$ lei.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=5$ cm și $AC=12$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=8$ cm. a) (2 p) Calculează aria totală și volumul cubului. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei unei fețe (de exemplu $AC$) și lungimea diagonalei cubului $AG$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $(45-3\cdot 5):6=(45-15):6=30:6=5$.
2. c) $\frac{12}{x}=\frac{3}{2}\Rightarrow 3x=2\cdot 12=24\Rightarrow x=8$.
3. d) $A=\{-2,-1,0,1,2\}$ are $5$ elemente.
4. b) $20\%\cdot 150=\frac{20}{100}\cdot 150=30$.
5. c) $\sqrt{25}=5$; media $=\frac{5+8+11}{3}=\frac{24}{3}=8$.
6. c) $4=\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}=5$, deci $0<\sqrt{17}-4<1$, adică $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) $AC=AB+BC=3+7=10$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=5$ cm; $MB=AM-AB=5-3=2$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. c) Într-un triunghi echilateral cu latura $\ell$, înălțimea este $\frac{\ell \sqrt{3}}{2}$; deci $AD=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ cm.
4. b) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25$ cm.
5. b) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 60^{\circ }=30^{\circ }$.
6. d) $V=AB\cdot BC\cdot AE=6\cdot 5\cdot 4=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ stocul inițial (în kg). a) (2 p) Ziua întâi: se vinde $25\%$ din $S$. Ziua a doua: $40\%$ din restul de $75\%\cdot S$, adică $40\%\cdot 75\%\cdot S=30\%$ din $S$ (1 p). Cum $30\%>25\%$, în a doua zi s-au vândut mai multe mere decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-a vândut $25\%+30\%=55\%$ din $S$, deci a rămas $45\%\cdot S$ (1 p). Acest rest a fost vândut a treia zi: $45\%\cdot S=135$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{135}{0,45}=300$ kg (1 p). (verificare: ziua 1 $=75$ kg, ziua 2 $=90$ kg, ziua 3 $=135$ kg; total $300$ kg.)

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-16=(x-4)(x+4)$ și $x^2+4x=x(x+4)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)}=\frac{x-4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x-4}{x}=1-\frac{4}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 4$, deci $x\in \{-4,-2,-1,1,2,4\}$ (1 p). Din domeniu se exclud $x=0$ și $x=-4$, rămân $x\in \{-2,-1,1,2,4\}$ (1 p) (verificare: $E(-2)=3$, $E(-1)=5$, $E(1)=-3$, $E(2)=-1$, $E(4)=0$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=4\cdot 0+12=12$ (1 p); $f(6)=4\cdot 6+12=24+12=36$. $f(0)=12$ lei reprezintă abonamentul fix (suma plătită pentru un consum de $0{\text{m}}^3$) (1 p). b) (3 p) Graficul este o dreaptă care taie axa $Oy$ în punctul $(0,12)$ și este crescătoare (1 p). Suma plătită de $48$ lei: $f(x)=48\Rightarrow 4x+12=48$ (1 p) $\Rightarrow 4x=36\Rightarrow x=9{\text{m}}^3$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=12$, cateta alăturată $AB=5$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{12}{13},\cos B=\frac{5}{13},\mathrm{tg}B=\frac{12}{5}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=5+12+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria totală: $A_t=6\cdot {\ell }^2=6\cdot 8^2=6\cdot 64=384{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V={\ell }^3=8^3=512{\text{cm}}^3$ (1 p). b) (3 p) Diagonala unei fețe (triunghi dreptunghic isoscel cu catetele $AB=BC=8$): $AC=\sqrt{8^2+8^2}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$ cm (1 p). Diagonala cubului: în triunghiul $ACG$ dreptunghic în $C$, cu $CG=8$: $AG=\sqrt{A{C}^2+C{G}^2}=\sqrt{(8\sqrt{2}{)}^2+8^2}=\sqrt{128+64}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}$ cm (2 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.