Sesiunea specială oficială — Evaluarea Națională 2017

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $3\cdot 10-10$ este egal cu: a) $20$ b) $0$ c) $-20$ d) $300$

Exercițiul 2 · 5 puncte Patru kilograme de mere costă $12$ lei. Două kilograme de mere, de același fel, costă: a) $3$ lei b) $6$ lei c) $24$ lei d) $8$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural care aparține intervalului $[8,15)$ este egal cu: a) $15$ b) $8$ c) $14$ d) $13$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un cerc are raza de $4,5$ cm. Lungimea acestui cerc este egală cu: a) $4,5\pi \text{cm}$ b) $20,25\pi \text{cm}$ c) $18\pi \text{cm}$ d) $9\pi \text{cm}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$ cu $AB=2$ cm. Lungimea diagonalei $BH$ a cubului $ABCDEFGH$ este egală cu:

a) $2\sqrt{3}$ cm b) $2\sqrt{2}$ cm c) $2$ cm d) $4$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate distanțele parcurse de cinci alergători, în timpul unui antrenament de o oră:

Distanța parcursă de Cosmin este mai mare decât distanța parcursă de Bogdan cu: a) $6$ km b) $2$ km c) $4$ km d) $22$ km

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$. Numărul fețelor prismei drepte $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu: a) $6$ b) $9$ c) $5$ d) $3$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $a=\sqrt{64}$ și $b=\frac{6}{\sqrt{2}}+2-\sqrt{18}$. Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $8$ b) $2$ c) $10$ d) $5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un biciclist a parcurs un traseu în două zile. În prima zi biciclistul a parcurs două treimi din lungimea traseului, iar a doua zi a parcurs restul de $15$ km. Lungimea traseului parcurs de biciclist în cele două zile este egală cu: a) $45$ km b) $30$ km c) $50$ km d) $60$ km

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+4$. Un punct care aparține graficului funcției $f$ este: a) $(1,5)$ b) $(1,6)$ c) $(2,6)$ d) $(0,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+4$. Lungimea segmentului determinat de punctele de intersecție a graficului funcției $f$ cu axele sistemului de coordonate $xOy$ este egală cu: a) $6$ b) $4$ c) $2\sqrt{5}$ d) $2\sqrt{6}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-x}{x-1}-\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right):\frac{4}{x^2-1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -1$ și $x\ne 1$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $1$ b) $x$ c) depinde de $x$ d) $0$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AD=12$ cm și $AC=20$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$, iar punctul $N$ se află pe latura $CD$ astfel încât $DN=4$ cm.

Arătați că $AB=16$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AD=12$ cm și $AC=20$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$, iar punctul $N$ se află pe latura $CD$ astfel încât $DN=4$ cm; s-a arătat mai sus că $AB=16$ cm.

Arătați că raportul dintre aria triunghiului $DMN$ și aria triunghiului $ABM$ este egal cu $\frac{1}{4}$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AD=12$ cm, $AC=20$ cm și $AB=16$ cm (arătat mai sus), ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$, iar punctul $N$ se află pe latura $CD$ astfel încât $DN=4$ cm.

Determinați distanța de la punctul $M$ la dreapta $BN$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=AB=12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ și $\{O\}=AC\cap BD$.

Arătați că aria pătratului $ABCD$ este egală cu $144{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=AB=12$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$, $\{O\}=AC\cap BD$, iar aria pătratului $ABCD$ este $144{\text{cm}}^2$ (arătat mai sus).

Arătați că volumul piramidei $VABCD$ este egal cu $288\sqrt{2}{\text{cm}}^3$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=AB=12$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ și $\{O\}=AC\cap BD$.

Calculați măsura unghiului determinat de dreptele $OM$ și $AB$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $3\cdot 10-10=30-10=20$ (întâi înmulțirea, apoi scăderea).
2. b) Patru kilograme costă $12$ lei, deci un kilogram costă $12:4=3$ lei; două kilograme costă $2\cdot 3=6$ lei.
3. c) Intervalul $[8,15)$ conține toate numerele reale de la $8$ (inclusiv) până la $15$ (exclusiv, capătul $15$ nu aparține intervalului); cel mai mare număr natural din interval este $14$.
4. d) Lungimea cercului este $C=2\pi r=2\pi \cdot 4,5=9\pi$ cm.
5. a) Diagonala cubului cu muchia $a=2$ cm este $d=a\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ cm.
6. b) Din tabel: Cosmin a parcurs $12$ km, Bogdan $10$ km; diferența este $12-10=2$ km.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) O prismă dreaptă cu baza triunghi are $2$ fețe triunghiulare (bazele) și $3$ fețe dreptunghiulare (fețele laterale), deci în total $2+3=5$ fețe.
2. d) $a=\sqrt{64}=8$; $b=\frac{6}{\sqrt{2}}+2-\sqrt{18}=3\sqrt{2}+2-3\sqrt{2}=2$; media aritmetică este $\frac{a+b}{2}=\frac{8+2}{2}=5$.
3. a) Fie $x$ lungimea traseului. În prima zi biciclistul parcurge $\frac{2}{3}x$, iar a doua zi restul de $15$ km, deci $\frac{2}{3}x+15=x$, de unde $15=x-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$, deci $x=45$ km.
4. b) $f(1)=2\cdot 1+4=6$, deci punctul $(1,6)$ aparține graficului funcției $f$.
5. c) Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în $A(-2,0)$ (din $2x+4=0$), deci $OA=2$, și axa $Oy$ în $B(0,4)$, deci $OB=4$. Cum triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
6. d) $\frac{x^2-x}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}=x$. $\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2-(x-1{)}^2}{x^2-1}=\frac{4x}{x^2-1}$; împărțind la $\frac{4}{x^2-1}$ obținem $\frac{4x}{x^2-1}\cdot \frac{x^2-1}{4}=x$. Deci $E(x)=x-x=0$, pentru orice $x$ real, $x\ne -1$ și $x\ne 1$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Cum $ABCD$ este dreptunghi, $BC=AD=12$ cm (laturi opuse), iar triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ (unghi al dreptunghiului), cu ipotenuza $AC$. Din teorema lui Pitagora: $A{B}^2=A{C}^2-B{C}^2=20^2-12^2=400-144=256$ (2 p), deci $AB=\sqrt{256}=16$ cm (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{DMN}=\frac{DM\cdot DN}{2}$, ${\mathcal{A}}_{ABM}=\frac{AB\cdot AM}{2}$ (2 p). Cum $M$ este mijlocul lui $AD$, $DM=AM=\frac{AD}{2}=6$ cm; deci $\frac{{\mathcal{A}}_{DMN}}{{\mathcal{A}}_{ABM}}=\frac{DM\cdot DN}{AB\cdot AM}=\frac{DN}{AB}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=16\cdot 12=192{\text{cm}}^2$; $CN=CD-DN=16-4=12$ cm (deoarece $CD=AB=16$ cm); ${\mathcal{A}}_{ABM}=\frac{16\cdot 6}{2}=48{\text{cm}}^2$, ${\mathcal{A}}_{DMN}=\frac{6\cdot 4}{2}=12{\text{cm}}^2$, ${\mathcal{A}}_{BCN}=\frac{BC\cdot CN}{2}=\frac{12\cdot 12}{2}=72{\text{cm}}^2$; deci ${\mathcal{A}}_{BNM}={\mathcal{A}}_{ABCD}-{\mathcal{A}}_{ABM}-{\mathcal{A}}_{BCN}-{\mathcal{A}}_{DMN}=192-48-72-12=60{\text{cm}}^2$ (2 p). Cum $BN=\sqrt{B{C}^2+C{N}^2}=\sqrt{12^2+12^2}=\sqrt{288}=12\sqrt{2}$ cm și ${\mathcal{A}}_{BNM}=\frac{BN\cdot d(M,BN)}{2}$, obținem $d(M,BN)=\frac{2\cdot 60}{12\sqrt{2}}=\frac{120}{12\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$ cm (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2$ (2 p) $=12^2=144{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $O$ este centrul pătratului $ABCD$, deci $AO=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$ cm. Triunghiul $VOA$ este dreptunghic în $O$ ($VO$ este înălțimea piramidei), deci $V{O}^2=V{A}^2-A{O}^2=12^2-(6\sqrt{2}{)}^2=144-72=72$, adică $VO=6\sqrt{2}$ cm (2 p). Volumul piramidei este $V_{VABCD}=\frac{1}{3}\cdot {\mathcal{A}}_{ABCD}\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 144\cdot 6\sqrt{2}=288\sqrt{2}{\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $M$ este mijlocul lui $VA$, iar $O$ este mijlocul lui $AC$ (diagonalele pătratului se înjumătățesc), deci $OM$ este linie mijlocie în triunghiul $ACV$, de unde $OM\parallel CV$. Cum $AB\parallel CD$ (laturi opuse ale pătratului $ABCD$), obținem $m(\angle (OM,AB))=m(\angle (CV,CD))=m(\angle DCV)$ (2 p). Triunghiul $VDC$ are $VD=VC=VA=12$ cm (muchii laterale ale piramidei regulate, toate egale) și $DC=12$ cm (latură a pătratului), deci este echilateral, de unde $m(\angle DCV)=60°$ (3 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, sesiunea specială, Varianta 4, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2016–2017, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală, și partea întâi a itemului original 4, reformulată din sarcina de reprezentare grafică). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 4, susținut efectiv de absolvenții clasei a VIII-a la sesiunea specială din anul școlar 2016–2017, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2017, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvări complete (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2017, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două sarcini incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$" — o sarcină de construcție grafică — a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic (numărul fețelor prismei), păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. La fel, sarcina originală „reprezentați grafic funcția $f$" (partea a) a exercițiului 4 din original) a fost reformulată ca întrebare cu răspuns unic despre un punct de pe grafic, păstrând identică funcția $f(x)=2x+4$ din enunțul oficial. De asemenea, diagrama cu bare a distanțelor parcurse de cei cinci alergători (Exercițiul 6 de la Subiectul I) este redată aici ca tabel, cu exact aceleași valori numerice ca în documentul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o proporție (preț proporțional), un interval semideschis de numere naturale, lungimea cercului, diagonala cubului, citirea unei diagrame cu distanțe parcurse; numărul fețelor unei prisme drepte cu baza triunghi echilateral, media aritmetică a doi radicali, o problemă cu fracții (un traseu parcurs în două zile), funcția liniară $f(x)=2x+4$ (punct pe grafic și lungimea segmentului dintre intersecțiile cu axele), o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană (dreptunghi — arătarea unei laturi prin teorema lui Pitagora, raportul ariilor a două triunghiuri, distanța de la un punct la o dreaptă) și geometrie în spațiu (piramidă patrulateră regulată — aria bazei, volumul, unghiul dintre două drepte).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.