Modelul oficial CNEE — Evaluarea Națională 2018

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $16-16:4$ este egal cu: a) $0$ b) $12$ c) $4$ d) $-48$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{10}=\frac{20}{100}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $2$ b) $200$ c) $20$ d) $0,2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Numărul natural din intervalul $\left(0,2\right)$ este egal cu: a) $0$ b) $3$ c) $1$ d) $2$

Exercițiul 4 · 5 puncte Rombul $ABCD$ are diagonalele $AC=16$ cm și $BD=12$ cm. Lungimea laturii $AB$ a acestui romb este egală cu: a) $20$ cm b) $14$ cm c) $8$ cm d) $10$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte Secțiunea axială a cilindrului circular drept reprezentat în figura alăturată este un pătrat cu latura de $6$ cm.

Volumul acestui cilindru este egal cu: a) $216\pi {\text{cm}}^3$ b) $54\pi {\text{cm}}^3$ c) $108\pi {\text{cm}}^3$ d) $27\pi {\text{cm}}^3$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția elevilor unei clase a VIII-a, în funcție de notele obținute la teza la matematică, în semestrul al II-lea:

Conform tabelului, numărul elevilor care au obținut la teză cel puțin nota $9$ este mai mare decât numărul elevilor care au obținut la teză cel mult nota $4$ cu: a) $8$ b) $5$ c) $3$ d) $11$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră o piramidă patrulateră regulată de vârf $V$ și bază $ABCD$, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor piramidei patrulatere regulate $VABCD$ este egal cu: a) $4$ b) $8$ c) $5$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $x=\left(\sqrt{2}+\frac{5}{\sqrt{2}}\right)\cdot \sqrt{2}-\left(\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot \sqrt{3}$ și $y=\left(\frac{3}{2\sqrt{5}}+\frac{2}{3\sqrt{5}}\right):\frac{1}{\sqrt{180}}$. Suma $x+y$ este egală cu: a) $16$ b) $9$ c) $25$ d) $13$

Exercițiul 3 · 5 puncte Perimetrul unui dreptunghi este egal cu $220$ cm. Dacă am mări lățimea dreptunghiului cu $10$ cm și am micșora lungimea dreptunghiului cu $20$ cm, am obține un dreptunghi cu aria egală cu aria dreptunghiului inițial. Lungimea dreptunghiului inițial este egală cu: a) $30$ cm b) $110$ cm c) $90$ cm d) $80$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+1$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(0,3)$ b) $(0,1)$ c) $(1,0)$ d) $(0,-1)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+1$. Notăm cu $M$ punctul de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$ și cu $N$ punctul de intersecție a graficului cu axa $Oy$. Tangenta unghiului $\angle MNO$ determinat de graficul funcției $f$ cu axa $Oy$ a sistemului de coordonate $xOy$ ($O$ fiind originea) este egală cu: a) $3$ b) $1$ c) $\frac{1}{3}$ d) $-\frac{1}{3}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x}{x+2}-\frac{3}{2-x}-\frac{6x}{x^2-4}\right):\frac{(x-2{)}^2-1}{x^2+x-2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$, $x\ne 1$, $x\ne 2$ și $x\ne 3$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $-1$ b) depinde de $x$ c) $\frac{x-3}{x+2}$ d) $1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB>BC$ și $AC=4$ dm, iar punctul $O$ este intersecția diagonalelor dreptunghiului. Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele segmentelor $AO$, respectiv $CO$, și punctul $L$ aparține laturii $AB$, astfel încât $LE=LF$.

Arătați că $OE=1$ dm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB>BC$ și $AC=4$ dm, ca în figura alăturată. Punctul $O$ este intersecția diagonalelor dreptunghiului, punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele segmentelor $AO$, respectiv $CO$, iar punctul $L$ aparține laturii $AB$, astfel încât $LE=LF$.

Demonstrați că triunghiurile $AOL$ și $ABC$ sunt asemenea.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB>BC$ și $AC=4$ dm, ca în figura alăturată. Punctul $O$ este intersecția diagonalelor dreptunghiului, punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele segmentelor $AO$, respectiv $CO$, iar punctul $L$ aparține laturii $AB$, astfel încât $LE=LF$.

Arătați că, dacă triunghiul $LEF$ este echilateral, atunci $AB=\frac{8\sqrt{7}}{7}$ dm.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $ABCD$ cu $AB=10$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $CD$, respectiv $BC$.

Arătați că suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului $ABCD$ este egală cu $60$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou tetraedrul regulat $ABCD$ cu $AB=10$ cm, ca în figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $CD$, respectiv $BC$.

Arătați că aria totală a tetraedrului $ABCD$ este egală cu $\sqrt{3}$ dm².

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou tetraedrul regulat $ABCD$ cu $AB=10$ cm, ca în figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $CD$, respectiv $BC$.

Demonstrați că dreapta $PQ$ este paralelă cu planul $(ABD)$, unde punctele $P$ și $Q$ sunt situate pe segmentele $AM$, respectiv $DN$, astfel încât $\frac{AP}{AM}=\frac{DQ}{DN}=\frac{1}{3}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) Ordinea operațiilor: întâi împărțirea, apoi scăderea: $16-16:4=16-4=12$.
2. a) Din $\frac{x}{10}=\frac{20}{100}$, prin înmulțire încrucișată: $100x=10\cdot 20=200$, deci $x=2$.
3. c) Intervalul deschis $\left(0,2\right)$ conține numerele reale strict cuprinse între $0$ și $2$ (fără capete); singurul număr natural din acest interval este $1$.
4. d) Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc: jumătățile sunt $8$ cm și $6$ cm. Cu teorema lui Pitagora, $AB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm.
5. b) Secțiunea axială pătrată cu latura $6$ cm dă diametrul bazei $=6$ cm, deci raza $r=3$ cm, iar înălțimea cilindrului $h=6$ cm. Volumul este $V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 9\cdot 6=54\pi {\text{cm}}^3$.
6. b) Din tabel: elevi cu nota cel puțin $9$ (notele $9$ și $10$): $5+3=8$. Elevi cu nota cel mult $4$ (notele $1,2,3,4$): $0+0+1+2=3$. Diferența: $8-3=5$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are baza $ABCD$ (o față) și $4$ fețe laterale triunghiulare ($VAB$, $VBC$, $VCD$, $VDA$), deci în total $1+4=5$ fețe.
2. a) $x=\left(\sqrt{2}+\frac{5}{\sqrt{2}}\right)\cdot \sqrt{2}-\left(\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot \sqrt{3}=\left(2+5\right)-\left(3+1\right)=7-4=3$. $y=\left(\frac{3}{2\sqrt{5}}+\frac{2}{3\sqrt{5}}\right):\frac{1}{\sqrt{180}}=\frac{9+4}{6\sqrt{5}}\cdot \sqrt{180}=\frac{13}{6\sqrt{5}}\cdot 6\sqrt{5}=13$ (căci $\sqrt{180}=6\sqrt{5}$). Deci $x+y=3+13=16=4^2$, iar suma cerută este $16$.
3. d) Fie $L$ lungimea și $l$ lățimea dreptunghiului: $2(L+l)=220\Rightarrow L+l=110$. Din condiția ariilor egale: $L\cdot l=(L-20)(l+10)=Ll+10L-20l-200\Rightarrow 10L-20l=200\Rightarrow L-2l=20$. Din $L+l=110$ și $L-2l=20$ rezultă $3l=90\Rightarrow l=30$, deci $L=80$ cm.
4. b) Graficul intersectează axa $Oy$ acolo unde $x=0$: $f(0)=3\cdot 0+1=1$, deci punctul este $(0,1)$.
5. c) $M$, intersecția cu $Ox$: $3x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{3}$, deci $OM=\frac{1}{3}$. $N=(0,1)$, deci $ON=1$. Triunghiul $OMN$ este dreptunghic în $O$ (axele sunt perpendiculare), iar unghiul $\angle MNO$ are $\text{tg}(\angle MNO)=\frac{OM}{ON}=\frac{1/3}{1}=\frac{1}{3}$.
6. d) $\frac{x}{x+2}-\frac{3}{2-x}-\frac{6x}{x^2-4}=\frac{x}{x+2}+\frac{3}{x-2}-\frac{6x}{(x-2)(x+2)}=\frac{x(x-2)+3(x+2)-6x}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2-5x+6}{(x-2)(x+2)}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-3}{x+2}$. Apoi $\frac{(x-2{)}^2-1}{x^2+x-2}=\frac{(x-3)(x-1)}{(x+2)(x-1)}=\frac{x-3}{x+2}$. Deci $E(x)=\frac{x-3}{x+2}:\frac{x-3}{x+2}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$, $x\ne 1$, $x\ne 2$ și $x\ne 3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Punctul $O$ este mijlocul segmentului $AC$ (diagonalele dreptunghiului se înjumătățesc reciproc), deci $AO=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2$ dm (3 p). Punctul $E$ este mijlocul segmentului $AO$, deci $OE=\frac{AO}{2}=\frac{2}{2}=1$ dm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Cum $LE=LF$ (dat), triunghiul $LEF$ este isoscel, iar $O$ este mijlocul segmentului $EF$ (căci $OE=OF=1$ dm, prin construcție simetrică pe diagonala $AC$), deci mediana $LO$ este și înălțime: $LO\perp EF$, adică $LO\perp AC$ (2 p). Triunghiurile $AOL$ (dreptunghic în $O$, căci $LO\perp AC$ și $O\in AC$) și $ABC$ (dreptunghic în $B$, unghi al dreptunghiului) au unghiul $\angle OAL\equiv \angle BAC$ (același unghi, deoarece $O\in AC$ și $L\in AB$), deci $△AOL\sim △ABC$ (cazul U.U.) (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $E$, $F$ sunt mijloacele lui $AO$, respectiv $CO$, iar $AO=CO=2$ dm, deci $OE=OF=1$ dm, de unde $EF=OE+OF=2$ dm. Triunghiul $LEF$ este echilateral, deci $LE=LF=EF=2$ dm, iar înălțimea $LO$ (care trece prin mijlocul $O$ al bazei $EF$) este $LO=\frac{EF\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ dm (2 p). În triunghiul dreptunghic $AOL$ (drept în $O$): $AL=\sqrt{A{O}^2+O{L}^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$ dm (1 p). Din asemănarea $△AOL\sim △ABC$ (arătată mai sus, cu corespondența $A\leftrightarrow A$, $O\leftrightarrow B$, $L\leftrightarrow C$): $\frac{AO}{AB}=\frac{AL}{AC}\Rightarrow AB=\frac{AO\cdot AC}{AL}=\frac{2\cdot 4}{\sqrt{7}}=\frac{8}{\sqrt{7}}=\frac{8\sqrt{7}}{7}$ dm (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Tetraedrul regulat $ABCD$ are toate cele $4$ fețe triunghiuri echilaterale congruente, deci toate cele $6$ muchii ($AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$) sunt egale cu $AB=10$ cm, iar suma lungimilor tuturor muchiilor este $6\cdot AB$ (3 p). Calcul: $6\cdot 10=60$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Aria totală a tetraedrului regulat $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{total\breve{a}}=4\cdot {\mathcal{A}}_{△ABC}$, unde $△ABC$ este echilateral cu latura $AB=10$ cm (2 p). Aria unui triunghi echilateral de latură $a$ este $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, deci ${\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}=\frac{100\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}$ cm², iar ${\mathcal{A}}_{total\breve{a}}=4\cdot 25\sqrt{3}=100\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (3 p). Cum $1{\text{dm}}^2=100{\text{cm}}^2$, rezultă ${\mathcal{A}}_{total\breve{a}}=100\sqrt{3}:100=\sqrt{3}{\text{dm}}^2$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Fie $O$ centrul de greutate al triunghiului $BCD$ (aflat pe mediana $DN$, cu $DO=\frac{2}{3}DN$, deci $DQ=\frac{1}{3}DN=\frac{1}{2}DO$), adică $Q$ este mijlocul segmentului $DO$ (1 p). Fie $T$ mijlocul segmentului $OB$; în triunghiul $ODB$, $Q$ este mijlocul lui $OD$ și $T$ este mijlocul lui $OB$, deci $QT$ este linie mijlocie: $QT\parallel BD$ (1 p). Pe mediana $BM$ a triunghiului $BCD$, centrul de greutate $O$ verifică $BO=\frac{2}{3}BM$, iar $T$ fiind mijlocul lui $OB$, avem $BT=\frac{1}{2}BO=\frac{1}{3}BM$, deci $\frac{MT}{MB}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$; cum și $\frac{MP}{MA}=1-\frac{AP}{AM}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$, rezultă (reciproca teoremei lui Thales, în triunghiul $MAB$) $PT\parallel AB$ (2 p). Planul $(PTQ)$ conține două drepte neparalele, $PT\parallel AB$ și $TQ\parallel BD$, ambele paralele cu drepte din planul $(ABD)$, deci $(PTQ)\parallel (ABD)$; cum $PQ\subset (PTQ)$, rezultă $PQ\parallel (ABD)$ (1 p).

Modelul oficial de subiect pentru Evaluarea Națională, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, pentru anul școlar 2017-2018 (document marcat „Model", distinct de o variantă susținută efectiv într-o sesiune de examen). Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală, și partea a) a itemului original 4, reformulată din sarcina de reprezentare grafică). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este Modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (CNEE), pentru anul școlar 2017-2018. Spre deosebire de o „Variantă" (subiect susținut efectiv de absolvenți într-o sesiune de examen), acest document este marcat explicit „Model" pe fiecare pagină — este subiectul-model publicat oficial de minister, înainte de sesiunea de examen, pentru pregătirea elevilor. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial și baremului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2018, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2018, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două sarcini de construcție grafică din Subiectul al II-lea, incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată de vârf $V$ și bază $ABCD$", a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic (numărul fețelor piramidei), păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial; iar partea a) a exercițiului original 4 („reprezentați grafic funcția $f$") a fost reformulată ca întrebare cu răspuns unic despre punctul de intersecție cu axa $Oy$, păstrând identică funcția $f(x)=3x+1$ din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o proporție, un interval deschis de numere naturale, latura unui romb din diagonale, volumul unui cilindru circular drept (din secțiunea axială pătrată), citirea unui tabel de frecvențe; numărul fețelor unei piramide patrulatere regulate, calcul cu radicali (sumă care este pătrat perfect), un dreptunghi cu perimetru dat și arii egale după modificarea laturilor (sistem de ecuații), funcția liniară $f(x)=3x+1$ (intersecția cu axa $Oy$, tangenta unghiului cu axa $Oy$), o expresie algebrică cu fracții raționale; geometrie plană (dreptunghi cu diagonale, triunghiuri asemenea, triunghi echilateral) și geometrie în spațiu (tetraedru regulat — suma muchiilor, aria totală, o dreaptă paralelă cu un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.