Simularea națională oficială — Evaluarea Națională 2018

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $18-6:(1+2)$ este egal cu: a) $4$ b) $14$ c) $16$ d) $10$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numerele reale $a$ și $b$ sunt nenule și $\frac{a}{b}=\frac{1}{4}$. Numărul $4a-b$ este egal cu: a) $0$ b) $8$ c) $3$ d) $17$

Exercițiul 3 · 5 puncte Scrisă sub formă de interval, mulțimea $A=\{x\in \mathbb{R}\mid 2x-1\ge 3\}$ este egală cu: a) $(-\infty ,2]$ b) $(2,+\infty )$ c) $[1,+\infty )$ d) $[2,+\infty )$

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul unui romb este egal cu $24$ cm. Dacă unul dintre unghiurile rombului are măsura de $30°$, atunci aria acestui romb este egală cu: a) $36{\text{cm}}^2$ b) $18{\text{cm}}^2$ c) $9{\text{cm}}^2$ d) $12{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Măsura unghiului determinat de dreptele $A{B}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$ este egală cu: a) $45°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată situația statistică a notelor obținute de elevii unei clase a VIII-a la teza de matematică pe semestrul I:

Conform tabelului, media notelor obținute de elevii clasei a VIII-a la teza de matematică pe semestrul I este egală cu: a) $7$ b) $7,3$ c) $6,1$ d) $7,1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră o prismă dreaptă $ABCDEF$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$ (fața opusă este triunghiul $DEF$, iar $AD$, $BE$, $CF$ sunt muchiile laterale), ca în figura alăturată.

Numărul fețelor prismei $ABCDEF$ este egal cu: a) $6$ b) $5$ c) $8$ d) $9$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numerele naturale $x$ și $y$, știind că numărul $x$ este prim și $x+4y=30$. Suma $x+y$ este egală cu: a) $9$ b) $30$ c) $10$ d) $16$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un biciclist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi biciclistul a parcurs $30\%$ din întregul traseu, a doua zi biciclistul a parcurs două cincimi din restul traseului, iar a treia zi a parcurs ultimii $42$ km ai traseului. Lungimea traseului parcurs în cele trei zile este egală cu: a) $120\text{km}$ b) $140\text{km}$ c) $100\text{km}$ d) $84\text{km}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\sqrt{6}\cdot \left(\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{3}}\right)-|5\sqrt{2}-7|$ și $b=\frac{3}{2-\sqrt{3}}+(\sqrt{2}{)}^2$. Valoarea numărului $a$ este egală cu: a) $3\sqrt{3}-7$ b) $7-3\sqrt{3}$ c) $5\sqrt{2}+7$ d) $3\sqrt{3}+7$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numerele reale $a=\sqrt{6}\cdot \left(\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{3}}\right)-|5\sqrt{2}-7|$ și $b=\frac{3}{2-\sqrt{3}}+(\sqrt{2}{)}^2$. Valoarea expresiei $(a-b{)}^{2018}$ este egală cu: a) $1$ b) $-1$ c) $2018$ d) $0$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul întreg $x$ și numărul $N=(4x+3{)}^2-2(5x-3)(x+1)-2x(3x+10)$. Numărul $N$ este egal cu: a) $0$ b) $5$ c) $15$ d) $20$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$, iar punctele $D$ și $E$ sunt situate pe latura $BC$ astfel încât $BD=DE=EC=6$ cm.

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $54$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul echilateral $ABC$, cu punctele $D$ și $E$ situate pe latura $BC$ astfel încât $BD=DE=EC=6$ cm, ca în figura alăturată.

Calculați distanța de la punctul $D$ la latura $AB$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul echilateral $ABC$, cu punctele $D$ și $E$ situate pe latura $BC$ astfel încât $BD=DE=EC=6$ cm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că $\sin (\angle DAE)<0,4$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=8$ cm și $BC=6$ cm. Pe planul dreptunghiului $ABCD$ se construiește perpendiculara $DM$, pe care se consideră punctul $N$, mijlocul segmentului $DM$.

Arătați că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $48{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=8$ cm și $BC=6$ cm, perpendiculara $DM$ pe planul dreptunghiului și punctul $N$, mijlocul segmentului $DM$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $BM$ este paralelă cu planul $(ACN)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=8$ cm și $BC=6$ cm, perpendiculara $DM$ pe planul dreptunghiului și punctul $N$, mijlocul segmentului $DM$, ca în figura alăturată.

Știind că unghiul dintre planele $(ACD)$ și $(ACN)$ are măsura de $60°$, arătați că $DM=\frac{48\sqrt{3}}{5}$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $18-6:(1+2)=18-6:3=18-2=16$ (întâi paranteza și împărțirea, apoi scăderea).
2. a) Din $\frac{a}{b}=\frac{1}{4}$ rezultă $4a=b$, deci $4a-b=b-b=0$.
3. d) $2x-1\ge 3\Rightarrow 2x\ge 4\Rightarrow x\ge 2$, deci $A=[2,+\infty )$.
4. b) Latura rombului este $24:4=6$ cm. Aria rombului cu unghi $30°$ este $\mathcal{A}={\text{latura}}^2\cdot \sin 30°=36\cdot \frac{1}{2}=18{\text{cm}}^2$.
5. a) $A{B}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$ sunt drepte din fețe diferite ale cubului; cum $C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, unghiul dintre $A{B}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$ este egal cu unghiul dintre $A{B}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }$. În triunghiul dreptunghic isoscel $AB{B}^{\prime }$ (drept în $B$, cu $AB=B{B}^{\prime }$), unghiul $\angle A{B}^{\prime }B=45°$.
6. d) Numărul total de elevi este $1+3+4+11+7+3+1=30$. Suma notelor este $4\cdot 1+5\cdot 3+6\cdot 4+7\cdot 11+8\cdot 7+9\cdot 3+10\cdot 1=4+15+24+77+56+27+10=213$. Media este $213:30=7,1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Prisma dreaptă $ABCDEF$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$ are două baze triunghiulare ($ABC$ și $DEF$) și trei fețe laterale dreptunghiulare ($ABED$, $BCFE$, $CADF$), în total $2+3=5$ fețe.
2. a) Din $x+4y=30$ rezultă $x=30-4y$, deci $x$ este par (diferența dintre un număr par și un multiplu de $4$). Cum $x$ este și prim, singurul număr par prim este $x=2$. Atunci $4y=30-2=28\Rightarrow y=7$. Suma $x+y=2+7=9$.
3. c) Fie $x$ lungimea traseului. Ecuația este $x-0,3x-\frac{2}{5}\cdot 0,7x=42$, adică $0,7x-0,28x=0,42x=42$, de unde $x=100$ km.
4. d) $a=\sqrt{6}\cdot \left(\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{3}}\right)-|5\sqrt{2}-7|=3\sqrt{3}+5\sqrt{2}-|5\sqrt{2}-7|$. Cum $5\sqrt{2}\approx 7,07>7$, avem $|5\sqrt{2}-7|=5\sqrt{2}-7$, deci $a=3\sqrt{3}+5\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7=3\sqrt{3}+7$.
5. a) $b=\frac{3}{2-\sqrt{3}}+(\sqrt{2}{)}^2=\frac{3(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}+2=\frac{3(2+\sqrt{3})}{4-3}+2=6+3\sqrt{3}+2=8+3\sqrt{3}$. Atunci $a-b=(3\sqrt{3}+7)-(8+3\sqrt{3})=-1$, deci $(a-b{)}^{2018}=(-1{)}^{2018}=1$.
6. c) $N=(4x+3{)}^2-2(5x-3)(x+1)-2x(3x+10)=(16x^2+24x+9)-(10x^2+4x-6)-(6x^2+20x)=15$, pentru orice număr întreg $x$ (numărul $N$ este constant și egal cu $15$, care este divizibil cu $5$).

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $BC=BD+DE+EC=6+6+6=18$ cm (3 p). Triunghiul $ABC$ este echilateral, deci $AB=AC=BC=18$ cm, iar perimetrul este $P_{ABC}=3\cdot 18=54$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Distanța de la punctul $D$ la latura $AB$ este lungimea segmentului $DF$, unde $DF\perp AB$, $F\in AB$ (2 p). Triunghiul $ABC$ fiind echilateral, $m(\angle B)=60°$; în triunghiul dreptunghic $BDF$ (drept în $F$), $\sin (\angle DBF)=\frac{DF}{BD}$, deci $DF=BD\cdot \sin 60°=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Fie $M$ mijlocul lui $BC$, deci $BM=9$ cm; înălțimea triunghiului echilateral $ABC$ (latura $18$ cm) este $AM=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$ cm (2 p). Cum $MD=BM-BD=9-6=3$ cm, din triunghiul dreptunghic $AMD$ (drept în $M$) obținem $AD=\sqrt{A{M}^2+M{D}^2}=\sqrt{243+9}=\sqrt{252}=6\sqrt{7}$ cm; analog, $ME=9-6=3$ cm ($E$ este simetricul lui $D$ față de $M$, deoarece $BD=EC=6$), deci $AE=AD=6\sqrt{7}$ cm (1 p). Aria triunghiului $ADE$, calculată cu baza $DE=6$ cm și înălțimea $AM=9\sqrt{3}$ cm (înălțimea din $A$ pe dreapta $BC$, care conține $DE$), este ${\mathcal{A}}_{ADE}=\frac{DE\cdot AM}{2}=\frac{6\cdot 9\sqrt{3}}{2}=27\sqrt{3}{\text{cm}}^2$; distanța de la $E$ la $AD$ este $d(E,AD)=\frac{2\cdot {\mathcal{A}}_{ADE}}{AD}=\frac{54\sqrt{3}}{6\sqrt{7}}=\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{9\sqrt{21}}{7}$ cm, deci $\sin (\angle DAE)=\frac{d(E,AD)}{AE}=\frac{9\sqrt{21}/7}{6\sqrt{7}}=\frac{9\sqrt{3}}{42}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$ (1 p). Cum $3\sqrt{3}\approx 5,196<5,6=0,4\cdot 14$, rezultă $\frac{3\sqrt{3}}{14}<0,4$, adică $\sin (\angle DAE)<0,4$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este dreptunghi, deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC$ (2 p); înlocuind, ${\mathcal{A}}_{ABCD}=8\cdot 6=48{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Fie $O=AC\cap BD$; cum $ABCD$ este dreptunghi, $O$ este mijlocul ambelor diagonale, deci $O$ este mijlocul lui $BD$. Cum $N$ este mijlocul lui $DM$ (dat), în triunghiul $DBM$ segmentul $ON$ este linie mijlocie (2 p). Rezultă $ON\parallel BM$; cum $ON\subset (ACN)$ (deoarece $O\in AC$ și $N$ sunt ambele în acest plan) și $BM\not\subset (ACN)$, obținem $BM\parallel (ACN)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Diagonala dreptunghiului este $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{64+36}=10$ cm. Fie $DE\perp AC$, $E\in AC$, înălțimea din $D$ a triunghiului dreptunghic $ACD$ (drept în $D$); $DE=\frac{AD\cdot DC}{AC}=\frac{6\cdot 8}{10}=\frac{24}{5}$ cm (1 p). Cum $ND\perp (ABCD)$ (planul dreptunghiului) și $AC\subset (ABCD)$, rezultă $ND\perp AC$; prin teorema celor trei perpendiculare (folosind $DE\perp AC$), obținem $NE\perp AC$ (2 p). Astfel, unghiul dintre planele $(ACD)$ și $(ACN)$ (care au muchia comună $AC$) este măsurat de unghiul $\angle DEN$ (format de $DE\subset (ACD)$ și $NE\subset (ACN)$, ambele perpendiculare pe $AC$ în $E$), deci $m(\angle DEN)=60°$. În triunghiul dreptunghic $DEN$ (drept în $D$, căci $ND\perp DE$), $\text{tg}60°=\frac{ND}{DE}$, deci $ND=DE\cdot \sqrt{3}=\frac{24}{5}\cdot \sqrt{3}=\frac{24\sqrt{3}}{5}$ cm; cum $N$ este mijlocul lui $DM$, $DM=2\cdot ND=\frac{48\sqrt{3}}{5}$ cm (2 p).

Simulare națională oficială de matematică, susținută de elevii clasei a VIII-a în anul școlar 2017–2018, publicată de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală, și Exercițiul 2, reformulat pentru a cere suma $x+y$ în loc de perechea de numere). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este testul OFICIAL de simulare la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, susținut efectiv de elevii clasei a VIII-a în cadrul simulării naționale organizate în anul școlar 2017–2018, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (CNEE), ca pregătire pentru Evaluarea Națională din vara anului 2018. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial (subiect și barem de evaluare și de notare).

Notă de transparență privind formatul: în 2018, formatul oficial al simulării era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvări complete (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2018, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o prismă dreaptă $ABCDEF$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$" — o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă; a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic (numărul fețelor prismei), păstrând identic solidul geometric din enunțul oficial, cu figură adăugată pentru claritate. De asemenea, exercițiul original 2 de la Subiectul al II-lea (aflarea numerelor naturale $x$ și $y$) a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre suma $x+y$, păstrând identice datele și metoda de rezolvare din documentul oficial; iar exercițiul original 4, care avea două cerințe (a și b, fiecare de 5 puncte), a fost păstrat ca două exerciții grilă distincte (Exercițiul 4 și Exercițiul 5 din testul de mai jos), cu răspunsul unic cerut de fiecare cerință originală. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o proporție, un interval de numere reale, aria unui romb cu unghi de $30°$, unghiul dintre două drepte determinate de muchiile unui cub, media aritmetică citită dintr-un tabel de frecvențe; o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral, numere prime într-o ecuație, o problemă cu procente (un traseu parcurs în trei zile), calcul cu radicali și valoare absolută, ridicare la putere, divizibilitatea unei expresii algebrice; geometrie plană (triunghi echilateral cu puncte pe o latură — perimetru, distanța de la un punct la o dreaptă, sinusul unui unghi) și geometrie în spațiu (dreptunghi cu o perpendiculară pe planul său — arie, dreaptă paralelă cu un plan, unghiul diedru dintre două plane).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.