Examenul oficial de rezervă — Evaluarea Națională 2019

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $16-16:4$ este egal cu: a) $0$ b) $12$ c) $4$ d) $20$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $\frac{1}{2}$ din $500$ este egal cu: a) $1000$ b) $500$ c) $250$ d) $750$

Exercițiul 3 · 5 puncte Numărul de elemente ale mulțimii $M=\{x\in \mathbb{N}\mid 1\le x\le 4\}$ este egal cu: a) $3$ b) $5$ c) $2$ d) $4$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un dreptunghi are lungimea de $6$ cm și lățimea de $5$ cm. Perimetrul acestui dreptunghi este egal cu: a) $22$ cm b) $30$ cm c) $11$ cm d) $26$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu aria triunghiului $VAB$ de $15{\text{cm}}^2$.

Aria laterală a acestei piramide este egală cu: a) $45{\text{cm}}^2$ b) $15{\text{cm}}^2$ c) $60{\text{cm}}^2$ d) $30{\text{cm}}^2$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt înregistrate temperaturile măsurate, la o stație meteo, în șase zile consecutive.

Conform informațiilor din tabel, temperatura măsurată luni este mai mare decât temperatura măsurată sâmbătă cu: a) $1°C$ b) $-5°C$ c) $4°C$ d) $5°C$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$.

Numărul fețelor prismei $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu: a) $6$ b) $3$ c) $5$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numerele întregi $x$ pentru care numărul $\frac{15}{4x-1}$ este natural. Mulțimea soluțiilor este: a) $\{3,15\}$ b) $\{1,4\}$ c) $\{0,4\}$ d) $\{1,3\}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Media aritmetică a trei numere raționale este egală cu $30$. Știind că media aritmetică a două dintre aceste numere este egală cu $40$, al treilea număr este egal cu: a) $50$ b) $80$ c) $30$ d) $10$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(0,3)$ b) $(3,0)$ c) $(0,-3)$ d) $(-3,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$, și funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+1$. Aria triunghiului format de graficele funcțiilor $f$, $g$ și axa $Oy$ a sistemului de coordonate $xOy$ este egală cu: a) $4$ b) $8$ c) $16$ d) $20$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{1}{x+2}+\frac{x^2+3x+2}{x^2+4x+4}-\frac{x}{x-2}\right):\frac{x+2}{x^2-4}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $-2$ b) $2$ c) depinde de $x$ d) $1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unui teren în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=10\sqrt{2}$ m și $AD=10$ m. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ și punctul $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $CM$ și $BD$.

Arătați că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $100\sqrt{2}{\text{m}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou terenul în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=10\sqrt{2}$ m și $AD=10$ m, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ și punctul $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $CM$ și $BD$.

Demonstrați că măsura unghiului $BNC$ este egală cu $90°$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou terenul în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=10\sqrt{2}$ m și $AD=10$ m, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ și punctul $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $CM$ și $BD$.

Demonstrați că punctul $A$ este situat pe mediatoarea segmentului $ND$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm și $\{O\}=AC\cap BD$.

Arătați că $AO=6\sqrt{2}$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm și $\{O\}=AC\cap BD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că sinusul unghiului dintre planele $(ABC)$ și $(A{B}^{\prime }C)$ este egal cu $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm și $\{O\}=AC\cap BD$, ca în figura alăturată.

Determinați distanța de la punctul $D^{\prime }$ la planul $(A{B}^{\prime }C)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $16-16:4=16-4=12$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. c) $\frac{1}{2}$ din $500$ este $500:2=250$.
3. d) $M=\{x\in \mathbb{N}\mid 1\le x\le 4\}=\{1,2,3,4\}$, deci $M$ are $4$ elemente.
4. a) $P=2\cdot (6+5)=2\cdot 11=22$ cm.
5. c) Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are $4$ fețe laterale congruente (câte una pentru fiecare latură a bazei), fiecare cu aria egală cu aria triunghiului $VAB$; aria laterală este $4\cdot 15=60{\text{cm}}^2$.
6. d) Temperatura de luni ($3°C$) este mai mare decât temperatura de sâmbătă ($-2°C$) cu $3-(-2)=5°C$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$ are două baze triunghiulare ($ABC$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$) și trei fețe laterale dreptunghiulare, în total $2+3=5$ fețe.
2. b) Cum $x$ este număr întreg și $\frac{15}{4x-1}\in \mathbb{N}$, numărul $4x-1$ trebuie să fie un divizor pozitiv al lui $15$, adică $4x-1\in \{1,3,5,15\}$. Dintre acestea, doar $4x-1=3$ și $4x-1=15$ dau valori întregi pentru $x$, anume $x=1$, respectiv $x=4$. Deci mulțimea soluțiilor este $\{1,4\}$.
3. d) Suma celor trei numere raționale este $30\cdot 3=90$. Cele două numere cu media aritmetică $40$ au suma $40\cdot 2=80$, deci al treilea număr este $90-80=10$.
4. c) $f(0)=2\cdot 0-3=-3$, deci graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,-3)$.
5. b) Punctul de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$ se obține din $2x-3=x+1\Rightarrow x=4$, deci $M(4,5)$. Graficul lui $f$ intersectează axa $Oy$ în $N(0,-3)$, iar graficul lui $g$ intersectează axa $Oy$ în $P(0,1)$, deci $NP=4$. Cum distanța de la $M$ la dreapta $NP$ (axa $Oy$) este egală cu abscisa lui $M$, adică $d(M,NP)=4$, aria triunghiului $MNP$ este $\frac{NP\cdot d(M,NP)}{2}=\frac{4\cdot 4}{2}=8$.
6. a) $E(x)=\left(\frac{1}{x+2}+\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2{)}^2}-\frac{x}{x-2}\right):\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\left(\frac{1}{x+2}+\frac{x+1}{x+2}-\frac{x}{x-2}\right)\cdot (x-2)=\left(\frac{x+2}{x+2}-\frac{x}{x-2}\right)\cdot (x-2)=\left(1-\frac{x}{x-2}\right)\cdot (x-2)=(x-2)-x=-2$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Aria dreptunghiului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD$ (2 p). Înlocuind, ${\mathcal{A}}_{ABCD}=10\sqrt{2}\cdot 10=100\sqrt{2}{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $M$ este mijlocul lui $AB$, deci $MB=\frac{AB}{2}=5\sqrt{2}$ m. Cum $\frac{MB}{BC}=\frac{5\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\frac{BC}{CD}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ sunt egale, iar $m(\sphericalangle MBC)=m(\sphericalangle BCD)=90°$ (unghiuri ale dreptunghiului), rezultă $△MBC\sim △BCD$ (caz L.U.L.) (3 p). Din asemănare, $\sphericalangle MCB\equiv \sphericalangle BDC$; cum triunghiul $BCD$ este dreptunghic în $C$, avem $m(\sphericalangle DBC)+m(\sphericalangle BDC)=90°$, deci $m(\sphericalangle NBC)+m(\sphericalangle NCB)=m(\sphericalangle DBC)+m(\sphericalangle MCB)=90°$ (unde $N\in CM\cap BD$), de unde $m(\sphericalangle BNC)=180°-90°=90°$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Cum $CD\parallel AB$, deci $CD\parallel MB$, triunghiurile $NCD$ și $NMB$ sunt asemenea (unghiuri opuse la vârf în $N$ și unghiuri alterne interne formate de $CD\parallel MB$ cu secantele $CM$ și $BD$), cu raportul $\frac{CN}{NM}=\frac{ND}{NB}=\frac{CD}{MB}=\frac{AB}{AB/2}=2$ (2 p). Deci $CN=2\cdot NM$, adică $N$ împarte mediana $CM$ a triunghiului $ABC$ (căci $M$ este mijlocul lui $AB$) în raportul $2:1$ de la vârful $C$, deci $N$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$. Fie $P=AN\cap BC$; fiind centru de greutate, $N$ se află și pe mediana $AP$, deci $P$ este mijlocul lui $BC$ și $AN=\frac{2}{3}AP$. Triunghiul $ABP$ este dreptunghic în $B$, cu $AB=10\sqrt{2}$ m și $BP=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}=5$ m, deci $AP=\sqrt{A{B}^2+B{P}^2}=\sqrt{200+25}=\sqrt{225}=15$ m (2 p). Rezultă $AN=\frac{2}{3}\cdot 15=10$ m$=AD$, deci triunghiul $AND$ este isoscel ($AN=AD$), iar punctul $A$, fiind egal depărtat de $N$ și de $D$, este situat pe mediatoarea segmentului $ND$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $AC$ este diagonala feței pătrate $ABCD$ a cubului, deci $AC=AB\sqrt{2}=12\sqrt{2}$ cm (2 p). $O$ este mijlocul segmentului $AC$ (diagonalele pătratului se înjumătățesc reciproc), deci $AO=\frac{AC}{2}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$ cm (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Planele $(ABC)$ și $(A{B}^{\prime }C)$ au dreapta comună $AC$. Cum $ABCD$ este pătrat cu $\{O\}=AC\cap BD$, avem $BO\perp AC$, cu $BO\subset (ABC)$; analog, $B^{\prime }O\perp AC$ (triunghiul $A{B}^{\prime }C$ este isoscel cu $B^{\prime }A=B^{\prime }C$, iar $O$ este mijlocul bazei $AC$), cu $B^{\prime }O\subset (A{B}^{\prime }C)$. Deci unghiul diedru dintre planele $(ABC)$ și $(A{B}^{\prime }C)$ este egal cu $m(\sphericalangle BO{B}^{\prime })$ (3 p). Triunghiul $B{B}^{\prime }O$ este dreptunghic în $B$ ($B{B}^{\prime }\perp$ planul bazei $(ABC)$, deci $B{B}^{\prime }\perp BO$), cu $B{B}^{\prime }=12$ cm și $BO=AO=6\sqrt{2}$ cm (calculat anterior), deci $B^{\prime }O=\sqrt{B{B}^{\prime 2}+B{O}^2}=\sqrt{144+72}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$ cm. Atunci $\sin (\sphericalangle BO{B}^{\prime })=\frac{B{B}^{\prime }}{B^{\prime }O}=\frac{12}{6\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Segmentele $D^{\prime }A$, $D^{\prime }{B}^{\prime }$ și $D^{\prime }C$ sunt diagonale ale unor fețe ale cubului, deci $D^{\prime }A=D^{\prime }{B}^{\prime }=D^{\prime }C=12\sqrt{2}$ cm; de asemenea, $A{B}^{\prime }=AC=B^{\prime }C=12\sqrt{2}$ cm (calculat: diagonale ale fețelor cubului), deci toate cele șase muchii ale piramidei $D^{\prime }A{B}^{\prime }C$ sunt egale cu $12\sqrt{2}$ cm, adică $D^{\prime }A{B}^{\prime }C$ este un tetraedru regulat de muchie $a=12\sqrt{2}$ cm (3 p). Distanța de la un vârf al unui tetraedru regulat de muchie $a$ la fața opusă (înălțimea tetraedrului regulat) este $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$; înlocuind, $h=\frac{12\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}}{3}=\frac{12\sqrt{12}}{3}=\frac{12\cdot 2\sqrt{3}}{3}=\frac{24\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}$ cm. Deci distanța de la punctul $D^{\prime }$ la planul $(A{B}^{\prime }C)$ este egală cu $8\sqrt{3}$ cm (2 p).

Examen oficial de rezervă de matematică pentru Evaluarea Națională, Varianta 2, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în sesiunea de rezervă a anului școlar 2018–2019, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție originală, și partea a) a itemului original 4, reformulată din sarcina de reprezentare grafică originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL de REZERVĂ la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 2, susținut efectiv de absolvenții clasei a VIII-a care au intrat în sesiunea de rezervă din anul școlar 2018–2019, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (CNEE). Este un document diferit de examenul din sesiunea principală a aceleiași generații (deja prezent pe site ca simulare separată); enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial de rezervă (subiect și barem de evaluare și de notare).

Notă de transparență privind formatul: în 2019, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvări complete (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2019, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, sarcini de desen/reprezentare grafică incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul fețelor prismei, păstrând identic solidul geometric din enunțul oficial, cu figură adăugată pentru claritate; și Exercițiul 4 (partea a) a exercițiului original 4), care cerea „reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre punctul de intersecție a graficului cu axa $Oy$, păstrând identică funcția $f(x)=2x-3$ din enunțul oficial. Exercițiul original 4 (cu cerințele a și b, fiecare de 5 puncte) a fost păstrat ca două exerciții grilă distincte (Exercițiul 4 și Exercițiul 5 din testul de mai jos). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o fracție dintr-un număr, numărul de elemente ale unei mulțimi de numere naturale dintr-un interval, perimetrul dreptunghiului, aria laterală a unei piramide patrulatere regulate cunoscând aria unei fețe laterale, citirea unui tabel cu temperaturi; o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral, o fracție cu numere întregi la numitor care trebuie să fie natural, media aritmetică a trei numere raționale, funcția liniară $f(x)=2x-3$ și aria unui triunghi format de două grafice și axa $Oy$, o expresie algebrică cu fracții arătată a fi constantă; geometrie plană (un dreptunghi-teren cu o mediană a unui triunghi și un punct de intersecție a diagonalelor — arie, unghi de $90°$, mediatoare) și geometrie în spațiu (un cub — jumătate de diagonală, unghiul diedru dintre două plane, distanța de la un vârf la un plan, folosind un tetraedru regulat ascuns în cub).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.