Simulare în format oficial — pregătire EN (după simularea clasei a VII-a, 2019)

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $15+15:3$ este egal cu: a) $10$ b) $20$ c) $30$ d) $40$

Exercițiul 2 · 5 puncte Șase pixuri de același fel costă $48$ de lei. Trei dintre aceste pixuri costă: a) $16$ b) $18$ c) $22$ d) $24$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $M=\{1,2,3,4,5\}$ și $N=\{3,4,5,6,7,8\}$, atunci mulțimea $M\cap N$ este egală cu: a) $\{1,2,6,7,8\}$ b) $\{6,7,8\}$ c) $\{3,4,5\}$ d) $\{1,2\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul unui pătrat este $32,8$ cm. Latura pătratului are lungimea de: a) $82$ cm b) $8,2$ cm c) $8,02$ cm d) $8$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un patrulater convex $MNPQ$ cu $m(\sphericalangle M)=67°$, $m(\sphericalangle N)=55°$ și $m(\sphericalangle Q)=133°$. Măsura unghiului $P$ este egală cu:

a) $105°$ b) $95°$ c) $115°$ d) $143°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate la ora $8$, la o stație meteo, în fiecare zi a unei săptămâni din luna martie.

Conform tabelului, media aritmetică a temperaturilor pozitive înregistrate este egală cu: a) $12°$C b) $6°$C c) $4°$C d) $2°$C

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelogram $ABCD$.

Segmentul congruent și paralel cu segmentul $AB$ este: a) $BD$ b) $AC$ c) $BC$ d) $CD$

Exercițiul 2 · 5 puncte Rezolvarea ecuației $5x-6=4(x+2)$, în mulțimea numerelor raționale, este: a) $x=14$ b) $x=-14$ c) $x=2$ d) $x=8$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră numărul $E=2^{2n+3}\cdot 25^n-4^n\cdot 5^{2n}$, unde $n\in \mathbb{N}$. Scris sub forma $E=5^{2n}\cdot 2^{2n}\cdot k$, numărul $k$ care arată că $E$ este divizibil cu $7$ este egal cu: a) $8$ b) $7$ c) $3$ d) $1$

Exercițiul 4 · 5 puncte Într-o clasă sunt $35$ de elevi. Numărul fetelor este egal cu $75\%$ din numărul băieților. Numărul de băieți din clasă este egal cu: a) $18$ b) $15$ c) $20$ d) $25$

Exercițiul 5 · 5 puncte Diferența dintre media aritmetică și media geometrică a numerelor $a=\sqrt{16}$ și $b=\sqrt{256}$ este egală cu: a) $6$ b) $8$ c) $10$ d) $2$

Exercițiul 6 · 5 puncte Numărul $A=(8\sqrt{3}+14\sqrt{3}-12\sqrt{3}):\sqrt{75}$ este egal cu: a) $2$ b) $3$ c) $5$ d) $10$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $MNPQ$ în care $MQ=5$ m și $QP=10$ m, iar punctul $E$ este mijlocul segmentului $MN$.

Arătați că aria triunghiului $QPE$ este egală cu $25{\text{m}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $MNPQ$ cu $MQ=5$ m și $QP=10$ m, în care punctul $E$ este mijlocul segmentului $MN$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că $\Delta PEQ\sim \Delta EMQ$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $MNPQ$ cu $MQ=5$ m și $QP=10$ m, în care punctul $E$ este mijlocul segmentului $MN$, ca în figura alăturată.

Arătați că $Q{E}^2=QM\cdot QP$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă un trapez $ABCD$ în care $AB\parallel CD$, $AB>CD$, iar $AD=BC$. Suma lungimilor bazelor este egală cu $18\sqrt{5}$ cm, diferența lungimilor bazelor este egală cu $10\sqrt{5}$ cm, iar înălțimea trapezului este egală cu $5\sqrt{5}$ cm.

Arătați că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $225{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul $ABCD$ în care $AB\parallel CD$, $AB>CD$, iar $AD=BC$, ca în figura alăturată. Suma lungimilor bazelor este egală cu $18\sqrt{5}$ cm, diferența lungimilor bazelor este egală cu $10\sqrt{5}$ cm, iar înălțimea trapezului este egală cu $5\sqrt{5}$ cm.

Determinați măsura unghiului $BAD$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul $ABCD$ în care $AB\parallel CD$, $AB>CD$, iar $AD=BC$, ca în figura alăturată. Suma lungimilor bazelor este egală cu $18\sqrt{5}$ cm, diferența lungimilor bazelor este egală cu $10\sqrt{5}$ cm, iar înălțimea trapezului este egală cu $5\sqrt{5}$ cm.

Dacă $DE\parallel BC$, $E\in AB$, iar $F$ este punctul de pe prelungirea segmentului $[DE]$, dincolo de $E$, pentru care $[BE]\equiv [BF]$, arătați că triunghiul $ACF$ este isoscel.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $15+15:3=15+5=20$ (întâi împărțirea, apoi adunarea).
2. d) Un pix costă $48:6=8$ lei; trei pixuri costă $3\cdot 8=24$ lei.
3. c) $M\cap N$ conține elementele comune celor două mulțimi: $3,4,5$; deci $M\cap N=\{3,4,5\}$.
4. b) Latura pătratului $=$ perimetrul $:4=32,8:4=8,2$ cm.
5. a) Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este $360°$: $m(\sphericalangle P)=360°-67°-55°-133°=105°$.
6. c) Temperaturile pozitive sunt $1°$C, $6°$C și $5°$C; media lor aritmetică este $(1+6+5):3=12:3=4°$C.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) În paralelogramul $ABCD$, laturile opuse sunt congruente și paralele: $AB\parallel CD$ și $AB\equiv CD$, deci segmentul congruent și paralel cu $AB$ este $CD$.
2. a) $5x-6=4(x+2)\Rightarrow 5x-6=4x+8\Rightarrow 5x-4x=8+6\Rightarrow x=14$.
3. b) $E=2^{2n+3}\cdot 25^n-4^n\cdot 5^{2n}=2^{2n}\cdot 2^3\cdot 5^{2n}-2^{2n}\cdot 5^{2n}=5^{2n}\cdot 2^{2n}\cdot (2^3-1)=5^{2n}\cdot 2^{2n}\cdot 7$, deci $k=7$ și $E$ este multiplu de $7$.
4. c) Fie $x$ numărul de băieți; numărul fetelor este $\frac{75}{100}x$, iar $x+\frac{75}{100}x=35\Rightarrow 1,75x=35\Rightarrow x=20$.
5. d) $a=\sqrt{16}=4$, $b=\sqrt{256}=16$; media aritmetică $=\frac{4+16}{2}=10$, media geometrică $=\sqrt{4\cdot 16}=\sqrt{64}=8$; diferența este $10-8=2$.
6. a) $8\sqrt{3}+14\sqrt{3}-12\sqrt{3}=10\sqrt{3}$; $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$; $A=10\sqrt{3}:(5\sqrt{3})=2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Aria triunghiului $QPE=\frac{QP\cdot d(E,QP)}{2}$, unde $d(E,QP)$ este distanța de la $E$ la dreapta $QP$ (2 p). Cum $E\in MN$ și $MN\parallel QP$, distanța dintre cele două laturi paralele ale dreptunghiului este $MQ=5$ m, deci $d(E,QP)=5$ m; rezultă ${\mathcal{A}}_{QPE}=\frac{10\cdot 5}{2}=25{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $E$ este mijlocul lui $MN$, deci $EM=EN=\frac{MN}{2}=\frac{10}{2}=5$ m (întrucât $MN=QP=10$ m, laturi opuse ale dreptunghiului). Triunghiurile $QEM$ și $PEN$ au $EM=EN=5$ m, $MQ=NP=5$ m (laturi opuse ale dreptunghiului) și unghiurile din $M$, respectiv $N$ egale cu $90°$ (unghiuri drepte ale dreptunghiului), deci $\Delta QEM\equiv \Delta PEN$ (LUL) (2 p). Triunghiul $QEM$ este dreptunghic isoscel ($EM=MQ=5$), deci $m(\sphericalangle QEM)=45°$; din congruență, $m(\sphericalangle PEN)=45°$ (2 p). Cum $M$, $E$, $N$ sunt coliniare, $m(\sphericalangle QEP)=180°-45°-45°=90°$, iar $EQ=EP$ (din congruență); deci $\Delta PEQ$ este și el dreptunghic isoscel, la fel ca $\Delta EMQ$, deci $\Delta PEQ\sim \Delta EMQ$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Din $\Delta EMQ\sim \Delta PEQ$ (arătat mai sus, ambele triunghiuri dreptunghice isoscele, cu unghiurile $90°,45°,45°$), rezultă proporția laturilor omoloage $\frac{MQ}{EQ}=\frac{EQ}{PQ}$ (3 p). Aplicând produsul mezilor egal cu produsul extremilor, obținem $E{Q}^2=MQ\cdot PQ$; înlocuind $MQ=5$ m și $PQ=10$ m, rezultă $Q{E}^2=5\cdot 10=50=QM\cdot QP$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Aria trapezului $=\frac{(AB+CD)\cdot h}{2}$, unde $h$ este înălțimea trapezului (2 p). Cum $AB+CD=18\sqrt{5}$ cm și $h=5\sqrt{5}$ cm, rezultă Aria $=\frac{18\sqrt{5}\cdot 5\sqrt{5}}{2}=9\sqrt{5}\cdot 5\sqrt{5}=45\cdot 5=225{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Din $AB+CD=18\sqrt{5}$ și $AB-CD=10\sqrt{5}$, rezultă $AB=14\sqrt{5}$ cm și $CD=4\sqrt{5}$ cm. Fie $D^{\prime }$ proiecția lui $D$ pe $AB$; în trapezul isoscel, $A{D}^{\prime }=\frac{AB-CD}{2}=\frac{14\sqrt{5}-4\sqrt{5}}{2}=5\sqrt{5}$ cm (2 p). Triunghiul $AD{D}^{\prime }$ este dreptunghic în $D^{\prime }$, cu $A{D}^{\prime }=D{D}^{\prime }=5\sqrt{5}$ cm (unde $D{D}^{\prime }=h=5\sqrt{5}$ cm), deci este dreptunghic isoscel, de unde $m(\sphericalangle DA{D}^{\prime })=45°$ (3 p). Cum $D^{\prime }\in AB$, rezultă $m(\sphericalangle BAD)=45°$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Trapezul $ABCD$ este isoscel ($AD=BC$), deci unghiurile de la baza mare sunt egale, $m(\sphericalangle DAB)=m(\sphericalangle CBA)$; comparând triunghiurile $ABD$ și $BAC$ (cu $AB$ latură comună, $AD=BC$ și unghiul dintre ele egal), rezultă $\Delta ABD\equiv \Delta BAC$ (LUL), deci diagonalele sunt congruente: $AC\equiv BD$ (1 p). Cum $DE\parallel BC$ cu $E\in AB$, se arată că $AE=AB-CD$, deci $EB=AB-AE=CD$; cum $F$ se află pe prelungirea segmentului $[DE]$, dincolo de $E$, cu $[BE]\equiv [BF]$, rezultă $BF=BE=CD$ (1 p). Punctele $D$, $E$, $F$ sunt coliniare, iar $DE\parallel BC$, deci $DF\parallel BC$; patrulaterul $BCDF$ are $BC\parallel DF$ și laturile $CD\equiv BF$, deci $BCDF$ este trapez isoscel (1 p). Într-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente, deci în trapezul isoscel $BCDF$ (diagonale $BD$ și $CF$) rezultă $BD\equiv CF$ (1 p). Din $AC\equiv BD$ și $BD\equiv CF$ obținem $AC\equiv CF$, deci triunghiul $ACF$ este isoscel (1 p).

Test de pregătire în formatul oficial al Evaluării Naționale, transcris după simularea națională pentru clasa a VII-a din martie 2019 (Ministerul Educației Naționale — Centrul Național de Evaluare și Examinare). Nu este subiectul Evaluării Naționale de clasa a VIII-a. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta nu este subiectul Evaluării Naționale de clasa a VIII-a. Documentul-sursă este simularea națională pentru clasa a VII-a din martie 2019, publicată de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (fișierul oficial „Simulare pentru clasa a VII-a", anul școlar 2018–2019). Simularea clasei a VIII-a din același an este alt document și e transcrisă separat pe site. O păstrăm aici ca test de pregătire în formatul oficial al examenului: materia clasei a VII-a intră în programa Evaluării Naționale, iar structura (6+6+6, 90 de puncte + 10 din oficiu, două ore) e cea a examenului. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial al simulării de clasa a VII-a.

Notă de transparență privind formatul: în 2019, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la itemii Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2019, iar la fiecare item au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur item de la Subiectul al II-lea, o sarcină de desen incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelogram $ABCD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre segmentul congruent și paralel cu $AB$, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare item repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, prețul unitar dedus dintr-o proporție, intersecția a două mulțimi, latura pătratului cunoscând perimetrul, un patrulater convex cu trei unghiuri date, media aritmetică a temperaturilor pozitive dintr-un tabel; un paralelogram, o ecuație în mulțimea numerelor raționale, divizibilitatea cu $7$ a unei expresii cu puteri, un procent aplicat la o problemă cu elevi, diferența dintre media aritmetică și media geometrică a doi radicali, un calcul cu radicali; geometrie plană (un dreptunghi cu triunghiuri asemenea și o relație metrică, respectiv un trapez isoscel — arie, măsura unui unghi și un triunghi isoscel obținut prin construcție).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.