Testul oficial de pregătire nr. 1 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $6+4\cdot 10$ este egal cu: a) $100$ b) $40$ c) $24$ d) $46$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $25\%$ din $100$ este egal cu: a) $75$ b) $4$ c) $25$ d) $400$

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma numerelor întregi din intervalul $I=(-2,2]$ este egală cu: a) $0$ b) $2$ c) $3$ d) $4$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dreptunghiul $ABCD$ are $AB=8$ cm și $BC=5$ cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu: a) $40{\text{cm}}^2$ b) $26{\text{cm}}^2$ c) $20{\text{cm}}^2$ d) $13{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul determinat de dreptele $AD$ și $C{C}^{\prime }$ are măsura de:

a) $45°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este dată o dependență funcțională $y=2x+3$.

Conform informațiilor din tabel, numărul real $m$ este egal cu: a) $5$ b) $10$ c) $7$ d) $1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABCDEF$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$.

Numărul muchiilor prismei drepte $ABCDEF$ este egal cu: a) $6$ b) $9$ c) $5$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $a=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right):\frac{1}{2}$ și $b=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$. Numărul de ori mai mare este $a$ decât $b$ este egal cu: a) $16$ b) $8$ c) $4$ d) $32$

Exercițiul 3 · 5 puncte După o reducere cu $30\%$, prețul unui obiect devine $63$ de lei. Prețul obiectului înainte de reducere este egal cu: a) $81,9$ lei b) $44,1$ lei c) $90$ lei d) $93$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(0,3)$ b) $(3,0)$ c) $(-3,0)$ d) $(0,-3)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$. Numărul real $m$, știind că punctul $A(m,2m)$ aparține graficului funcției $f$, este egal cu: a) $3$ b) $-3$ c) $-1$ d) $-6$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x}{x^2+x}-\left(\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{2x}{x-1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -1$, $x\ne 0$ și $x\ne 1$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $0$ b) $x$ c) depinde de $x$ d) $1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$ și $AB\parallel CD$. Semidreapta $(BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$, $AB=16$ cm și $CD=10$ cm.

Arătați că lungimea liniei mijlocii a trapezului $ABCD$ este egală cu $13$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$ și $AB\parallel CD$, ca în figura alăturată. Semidreapta $(BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$, $AB=16$ cm și $CD=10$ cm.

Arătați că $BC=10$ cm.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$ și $AB\parallel CD$, ca în figura alăturată. Semidreapta $(BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$, $AB=16$ cm și $CD=10$ cm.

Știind că $P$ este punctul de intersecție a laturii $AB$ cu perpendiculara din $C$ pe dreapta $BD$, demonstrați că $DP\parallel BC$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=AB=10$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$.

Arătați că aria bazei piramidei $VABCD$ este egală cu $100{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=AB=10$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$.

Demonstrați că înălțimea piramidei este de $5\sqrt{2}$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=AB=10$ cm, iar punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $VA$ și planul $(VBD)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) $6+4\cdot 10=6+40=46$ (întâi înmulțirea, apoi adunarea).
2. c) $25\%$ din $100$ este $\frac{100}{4}=25$.
3. b) Numerele întregi din $I=(-2,2]$ sunt $-1,0,1,2$; suma lor este $-1+0+1+2=2$.
4. a) Aria dreptunghiului $=AB\cdot BC=8\cdot 5=40{\text{cm}}^2$.
5. b) Cum $C{C}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ și $AD\perp D{D}^{\prime }$ (muchii ale cubului), rezultă $AD\perp C{C}^{\prime }$, deci unghiul dintre dreptele $AD$ și $C{C}^{\prime }$ are măsura de $90°$.
6. c) Pentru $x=2$: $m=2\cdot 2+3=4+3=7$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Prisma dreaptă $ABCDEF$ cu baza triunghi echilateral $ABC$ are $2$ baze triunghiulare ($AB$, $BC$, $CA$, $DE$, $EF$, $FD$: $6$ muchii) și $3$ muchii laterale ($AD$, $BE$, $CF$); în total $6+3=9$ muchii.
2. a) $a=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right):\frac{1}{2}=\frac{8}{15}\cdot 2=\frac{16}{15}$; $b=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{15}=\frac{1}{15}$. Cum $\frac{a}{b}=\frac{16/15}{1/15}=16$, numărul $a$ este de $16$ ori mai mare decât $b$.
3. c) Dacă $x$ este prețul inițial, $x-30\%\cdot x=63\Rightarrow 0,7x=63\Rightarrow x=90$ lei.
4. d) $f(0)=0-3=-3$, deci graficul intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,-3)$.
5. b) $f(m)=2m\Rightarrow m-3=2m\Rightarrow -3=m\Rightarrow m=-3$.
6. a) $E(x)=\frac{x}{x(x+1)}-\left(\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{2x}{x-1}=\frac{1}{x+1}-\frac{2x}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x-1}{2x}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}=0$, pentru orice $x$ real, $x\ne -1$, $x\ne 0$ și $x\ne 1$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Linia mijlocie a trapezului $ABCD$ este egală cu $\frac{AB+CD}{2}=\frac{16+10}{2}=\frac{26}{2}$ (3 p), adică $13$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Cum $AB\parallel CD$, unghiurile $\sphericalangle ABD$ și $\sphericalangle BDC$ sunt alterne interne, deci $\sphericalangle ABD\equiv \sphericalangle BDC$; cum $(BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$, avem $\sphericalangle ABD\equiv \sphericalangle DBC$, deci $\sphericalangle BDC\equiv \sphericalangle DBC$ (2 p). Rezultă că triunghiul $BCD$ este isoscel, cu $BC=CD=10$ cm (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $BD$ este bisectoarea unghiului $B$ în triunghiul $BCP$ și, prin construcție, $BD\perp CP$, deci triunghiul $BCP$ este isoscel, cu $BC=BP$, de unde $BP=10$ cm (3 p). Cum $BP=CD=10$ cm și $BP\parallel CD$ (fiind $BP$ parte din $AB\parallel CD$), patrulaterul $BCDP$ este paralelogram, deci $DP\parallel BC$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are baza $ABCD$ pătrat, cu $AB=10$ cm, deci ${\text{Aria}}_{ABCD}=A{B}^2$ (3 p), adică $10^2=100{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Diagonala pătratului $ABCD$ este $AC=AB\sqrt{2}=10\sqrt{2}$ cm, deci $AO=\frac{AC}{2}=5\sqrt{2}$ cm (2 p). Cum $VO\perp$ planul bazei, triunghiul $VOA$ este dreptunghic în $O$: $V{O}^2=V{A}^2-A{O}^2=10^2-(5\sqrt{2}{)}^2=100-50=50$, deci $VO=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ cm (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Cum $AO\perp BD$ (diagonalele pătratului) și $AO\perp VO$ (înălțimea piramidei), rezultă $AO\perp$ planul $(VBD)$, deci $O$ este proiecția lui $A$ pe acest plan, iar unghiul dintre $VA$ și planul $(VBD)$ este $\sphericalangle AVO$ (3 p). Triunghiul $VOA$ este dreptunghic isoscel (cu $VO=AO=5\sqrt{2}$ cm), deci $m(\sphericalangle AVO)=45°$ (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 1, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020, în perioada învățământului online (pandemie). Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcina de desen și, respectiv, din cea de reprezentare grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 1 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020, în perioada învățământului desfășurat online (pandemie). Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, sarcini incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o prismă dreaptă $ABCDEF$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor prismei, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial; și Exercițiul 4 (partea a) a exercițiului original 4), care cerea „reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre punctul de intersecție a graficului cu axa $Oy$, păstrând identică funcția $f(x)=x-3$ din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, procentul dintr-un număr, suma numerelor întregi dintr-un interval, aria dreptunghiului, unghiul dintre două drepte într-un cub, o funcție liniară citită dintr-un tabel de valori; numărul muchiilor unei prisme drepte cu baza triunghi echilateral, un raport calculat din expresii cu fracții, procentul aplicat unei reduceri de preț, funcția liniară $f(x)=x-3$ (intersecția cu axa $Oy$, un punct de pe grafic), o expresie algebrică cu fracții arătată a fi constantă (egală cu $0$); geometrie plană (un trapez dreptunghic cu bisectoare — linia mijlocie, un triunghi isoscel, un paralelogram) și geometrie în spațiu (o piramidă patrulateră regulată — aria bazei, înălțimea, unghiul dintre o muchie laterală și un plan diagonal).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.