Testul oficial de pregătire nr. 2 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $40-20:5$ este egal cu: a) $4$ b) $36$ c) $15$ d) $44$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{4}=3$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $7$ b) $-1$ c) $12$ d) $0,75$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr par din mulțimea $M=\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ este: a) $9$ b) $7$ c) $6$ d) $8$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dreptunghiul $ABCD$ are $AB=8$ cm și $BC=6$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu: a) $10$ cm b) $14$ cm c) $48$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul determinat de dreptele $AC$ și $D^{\prime }C$ are măsura de:

a) $90°$ b) $60°$ c) $45°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos sunt prezentate temperaturile medii înregistrate la o stație meteo, pentru fiecare dintre lunile unui an.

Conform informațiilor din diagramă, diferența dintre cea mai mare temperatură și cea mai mică temperatură înregistrate în lunile din acel an este egală cu: a) $15°$C b) $10°$C c) $25°$C d) $35°$C

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată de vârf $V$ și bază triunghiul $ABC$.

Numărul muchiilor piramidei triunghiulare regulate $VABC$ este egal cu: a) $9$ b) $4$ c) $6$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $x=\frac{\sqrt{2}}{5}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{2}{3\sqrt{2}}\right)$ și $y=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{3\sqrt{2}}\right):\frac{1}{5\sqrt{2}}$. Media aritmetică a numerelor $x$ și $y$ este egală cu: a) $\frac{2}{3}$ b) $\frac{3}{2}$ c) $2$ d) $1$

Exercițiul 3 · 5 puncte Irina cheltuiește o sumă de bani în două zile. În prima zi cheltuiește $\frac{3}{7}$ din sumă, iar în a doua zi restul de $36$ de lei. Suma totală cheltuită de Irina în cele două zile este egală cu: a) $63$ lei b) $84$ lei c) $48$ lei d) $72$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(0,3)$ b) $(3,0)$ c) $(0,-3)$ d) $(-3,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$. În sistemul de coordonate $xOy$, coordonatele punctului care aparține graficului funcției $f$, știind că punctul are abscisa de două ori mai mare decât ordonata, sunt: a) $(2,1)$ b) $(-2,-1)$ c) $(-2,1)$ d) $(2,-1)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{(x-2)(x+2)}\right):\left(\frac{x^2-1}{x^2-4}-1\right)$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $-1$ b) depinde de $x$ c) $1$ d) $x+2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unui teren agricol în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=600$ m și $AD=400$ m. Punctul $E$ este mijlocul laturii $AB$, punctul $F$ este mijlocul laturii $CD$ și punctul $M$ este mijlocul segmentului $CE$.

Arătați că perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este egal cu $2000$ m.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou terenul agricol în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=600$ m și $AD=400$ m, ca în figura alăturată. Punctul $E$ este mijlocul laturii $AB$, punctul $F$ este mijlocul laturii $CD$ și punctul $M$ este mijlocul segmentului $CE$.

Demonstrați că punctele $B$, $M$ și $F$ sunt coliniare.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou terenul agricol în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=600$ m și $AD=400$ m, ca în figura alăturată. Punctul $E$ este mijlocul laturii $AB$, punctul $F$ este mijlocul laturii $CD$ și punctul $M$ este mijlocul segmentului $CE$.

Arătați că aria patrulaterului $AEMF$ este de trei ori mai mare decât aria triunghiului $CFM$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, $AB=8$ cm și $A{A}^{\prime }=8\sqrt{2}$ cm.

Arătați că aria bazei $ABCD$ este egală cu $64{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou prisma dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=8$ cm și $A{A}^{\prime }=8\sqrt{2}$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$.

Demonstrați că dreptele $A^{\prime }C$ și $A{C}^{\prime }$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou prisma dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=8$ cm și $A{A}^{\prime }=8\sqrt{2}$ cm, iar punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $O{B}^{\prime }$ este paralelă cu planul $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $40-20:5=40-4=36$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. c) Din $\frac{x}{4}=3$ rezultă $x=4\cdot 3=12$.
3. d) Din mulțimea $M=\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$, numerele pare sunt $2$, $4$, $6$, $8$; cel mai mare dintre ele este $8$.
4. a) $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm.
5. b) Notând cu $a$ latura cubului, $AC=a\sqrt{2}$ (diagonala feței $ABCD$), $D^{\prime }C=a\sqrt{2}$ (diagonala feței $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$) și $A{D}^{\prime }=a\sqrt{2}$ (diagonala feței $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$); cum toate cele trei laturi ale triunghiului $AC{D}^{\prime }$ sunt egale, acesta este echilateral, deci unghiul dintre dreptele $AC$ și $D^{\prime }C$ are măsura $m(\sphericalangle AC{D}^{\prime })=60°$.
6. d) Din diagramă, temperatura cea mai mare a fost $25°$C (în iulie), iar cea mai mică a fost $-10°$C (în ianuarie); diferența este $25-(-10)=35°$C.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Piramida triunghiulară regulată $VABC$ are baza $ABC$ (triunghi, cu $3$ muchii: $AB$, $BC$, $CA$) și $3$ muchii laterale: $VA$, $VB$, $VC$; în total $3+3=6$ muchii.
2. d) $x=\frac{\sqrt{2}}{5}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{2}{3\sqrt{2}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{5}\cdot \frac{5}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{3}$; $y=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{3\sqrt{2}}\right):\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{3\sqrt{2}}\cdot 5\sqrt{2}=\frac{5}{3}$. Media aritmetică $=\frac{x+y}{2}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{5}{3}}{2}=\frac{2}{2}=1$.
3. a) Dacă $x$ este suma totală cheltuită, $\frac{3}{7}x+36=x\Rightarrow 36=x-\frac{3}{7}x=\frac{4}{7}x\Rightarrow x=36\cdot \frac{7}{4}=63$ lei.
4. a) $f(0)=2\cdot 0+3=3$, deci graficul intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,3)$.
5. b) Fie $A(2a,a)$ punctul cu abscisa dublul ordonatei, situat pe grafic: $f(2a)=a\Rightarrow 2(2a)+3=a\Rightarrow 4a+3=a\Rightarrow 3a=-3\Rightarrow a=-1$, deci coordonatele punctului sunt $(-2,-1)$.
6. c) $E(x)=\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{(x-2)(x+2)}\right):\left(\frac{x^2-1}{x^2-4}-1\right)=\frac{(x+2)-(x-2)-1}{(x-2)(x+2)}:\frac{x^2-1-(x^2-4)}{x^2-4}=\frac{3}{(x-2)(x+2)}:\frac{3}{(x-2)(x+2)}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este $P_{ABCD}=2(AB+AD)$ (3 p). Înlocuind, $P_{ABCD}=2(600+400)=2\cdot 1000=2000$ m (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $BE\parallel CF$ și $BE=CF$ (jumătăți ale laturilor paralele și congruente $AB$, $CD$), deci $BCFE$ este paralelogram (2 p). Punctul $M$ este mijlocul segmentului $CE$, una dintre diagonalele paralelogramului $BCFE$; cum diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc reciproc, $M$ este și mijlocul celeilalte diagonale, $BF$, deci $M$ este punctul de intersecție a diagonalelor paralelogramului $BCFE$, de unde rezultă că punctele $B$, $M$ și $F$ sunt coliniare (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $AE\parallel FC$ și $AE=FC$ (jumătăți ale laturilor paralele și congruente $AB$, $DC$), deci $AECF$ este paralelogram, iar diagonala $EF$ îl împarte în triunghiurile congruente $AEF$ și $CFE$: ${\mathcal{A}}_{△AEF}={\mathcal{A}}_{△CFE}$ (1 p). Punctul $M$ este mijlocul segmentului $CE$, deci $FM$ este mediană în triunghiul $CFE$, de unde ${\mathcal{A}}_{△EMF}={\mathcal{A}}_{△CFM}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{△CFE}$ (2 p). Atunci ${\mathcal{A}}_{AEMF}={\mathcal{A}}_{△AEF}+{\mathcal{A}}_{△EMF}=2{\mathcal{A}}_{△CFM}+{\mathcal{A}}_{△CFM}$, deci ${\mathcal{A}}_{AEMF}=3{\mathcal{A}}_{△CFM}$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat de latură $AB$, deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2$ (3 p). Înlocuind, ${\mathcal{A}}_{ABCD}=8^2=64{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Diagonala pătratului $ABCD$ este $AC=AB\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ cm (2 p). Cum $AC=A{A}^{\prime }=8\sqrt{2}$ cm și patrulaterul $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ este dreptunghi (are $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }$ și $A{A}^{\prime }\perp AC$, prisma fiind dreaptă), rezultă că $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ este pătrat (are două laturi alăturate egale), de unde diagonalele sale sunt perpendiculare: $A^{\prime }C\perp A{C}^{\prime }$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Fie $O^{\prime }=A^{\prime }{C}^{\prime }\cap B^{\prime }{D}^{\prime }$ (centrul pătratului $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$). Cum $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este prismă dreaptă, iar $O$, $O^{\prime }$ sunt centrele pătratelor $ABCD$, respectiv $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, segmentele $DO$ și $O^{\prime }{B}^{\prime }$ sunt paralele și congruente, deci patrulaterul $DO{B}^{\prime }{O}^{\prime }$ este paralelogram (3 p). Rezultă $O{B}^{\prime }\parallel D{O}^{\prime }$; cum $D$ și $O^{\prime }$ aparțin planului $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$ (căci $O^{\prime }\in A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }{C}^{\prime }D)$), segmentul $D{O}^{\prime }$ este conținut în acest plan, de unde $O{B}^{\prime }\parallel (A^{\prime }{C}^{\prime }D)$ (2 p).

Test oficial de pregătire nr. 2 pentru Evaluarea Națională, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul școlar 2019–2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen și reprezentare grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul oficial de pregătire nr. 2 pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul școlar 2019–2020. Este un test de antrenament oficial (nu proba efectivă susținută la examen), distribuit elevilor înaintea Evaluării Naționale, cu structură și grad de dificultate identice cu proba reală. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, sarcini de desen/reprezentare grafică incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată, cu vârful $V$ și baza triunghiul $ABC$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor piramidei, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial; și Exercițiul 4 (partea a) a exercițiului original 4), care cerea „reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre punctul de intersecție a graficului cu axa $Oy$, păstrând identică funcția $f(x)=2x+3$ din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o ecuație simplă de forma $\frac{x}{4}=3$, cel mai mare număr par dintr-o mulțime dată, diagonala unui dreptunghi (teorema lui Pitagora), unghiul dintre două diagonale ale unui cub, citirea unei diagrame cu temperaturile medii lunare; numărul muchiilor unei piramide triunghiulare regulate, media aritmetică a două numere date prin expresii cu radicali, o problemă cu fracții (suma cheltuită de Irina în două zile), funcția liniară $f(x)=2x+3$ (intersecția cu axa $Oy$, coordonatele unui punct cu abscisa dublul ordonatei), o expresie algebrică cu fracții arătată a fi constantă; geometrie plană (un teren agricol dreptunghiular — perimetru, coliniaritatea a trei puncte, ariile unui patrulater și ale unui triunghi) și geometrie în spațiu (o prismă dreaptă cu baza pătrat — aria bazei, perpendicularitatea a două drepte, o dreaptă paralelă cu un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă; se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.