Testul oficial de pregătire nr. 4 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $90-90:10$ este egal cu: a) $0$ b) $9$ c) $81$ d) $80$

Exercițiul 2 · 5 puncte Opt kilograme de cartofi costă $16$ lei. Patru kilograme de cartofi de același fel costă: a) $8$ lei b) $32$ lei c) $4$ lei d) $12$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural divizibil cu $3$ din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ este egal cu: a) $9$ b) $6$ c) $8$ d) $3$

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul paralelogramului $ABCD$ este de $24$ cm. Dacă $AB=8$ cm, atunci lungimea laturii $AD$ este egală cu: a) $8$ cm b) $16$ cm c) $12$ cm d) $4$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$. Unghiul determinat de dreptele $AC$ și $BD$ are măsura de:

a) $90°$ b) $45°$ c) $60°$ d) $180°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată situația statistică a notelor obținute de elevii unei clase a VIII-a la teza de matematică pe semestrul I.

Conform tabelului, în semestrul I, media notelor obținute de elevii clasei a VIII-a la teza de matematică este egală cu: a) $7$ b) $7,5$ c) $7,2$ d) $6,8$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Numărul muchiilor cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu: a) $6$ b) $12$ c) $8$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $x=\left(\frac{8}{\sqrt{18}}+\frac{6}{\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{13}$ și $y=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{147}}\right):\frac{\sqrt{3}}{14}$. Media aritmetică a numerelor $x$ și $y$ este egală cu: a) $\frac{2}{3}$ b) $\frac{4}{3}$ c) $2$ d) $1$

Exercițiul 3 · 5 puncte La o florărie, vânzătoarea observă că, dacă grupează toate florile câte $15$ și toate florile câte $21$, îi rămâne de fiecare dată câte o floare. Știind că numărul lor este cuprins între $550$ și $710$, numărul florilor din florărie este egal cu: a) $631$ b) $630$ c) $526$ d) $736$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+9$.

a) $(9,0)$ b) $(0,-9)$ c) $(0,9)$ d) $(-3,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+9$, ca în figura alăturată.

În sistemul de coordonate $xOy$, abscisa punctului care aparține graficului funcției $f$, știind că punctul are ordonata egală cu $3$, este egală cu: a) $2$ b) $-2$ c) $-6$ d) $4$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{1}{x-1}-\left(\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}-2\right):\frac{4}{x+1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -1$ și $x\ne 1$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) depinde de $x$ b) $x-1$ c) $1$ d) $0$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate un pătrat $ABCD$ și un triunghi dreptunghic isoscel $AEB$ cu $m(\sphericalangle AEB)=90°$ și $AE=4\sqrt{2}$ cm. Punctul $F$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $D$.

Arătați că $AB=8$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ și triunghiul dreptunghic isoscel $AEB$ cu $m(\sphericalangle AEB)=90°$ și $AE=4\sqrt{2}$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $F$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $D$.

Demonstrați că punctele $E$, $A$ și $F$ sunt coliniare.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ și triunghiul dreptunghic isoscel $AEB$ cu $m(\sphericalangle AEB)=90°$ și $AE=4\sqrt{2}$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $F$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $D$, iar $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor $AC$ și $BD$.

Arătați că, dacă $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $DE$, atunci $P$ este mijlocul segmentului $DE$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=20$ cm, $AD=10$ cm și $A{A}^{\prime }=10$ cm. Punctele $M$, $N$, $P$, $Q$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, $DC$, $D^{\prime }{C}^{\prime }$ și, respectiv, $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Arătați că volumul paralelipipedului dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $2000{\text{cm}}^3$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=20$ cm, $AD=10$ cm și $A{A}^{\prime }=10$ cm, ca în figura alăturată. Punctele $M$, $N$, $P$, $Q$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, $DC$, $D^{\prime }{C}^{\prime }$ și, respectiv, $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Determinați lungimea segmentului $A{C}^{\prime }$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=20$ cm, $AD=10$ cm și $A{A}^{\prime }=10$ cm, iar punctele $M$, $N$, $P$, $Q$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, $DC$, $D^{\prime }{C}^{\prime }$ și, respectiv, $A^{\prime }{B}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că unghiul dintre planele $(AMQ)$ și $(ANP)$ are măsura de $45°$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $90-90:10=90-9=81$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. a) Prețul unui kilogram este $16:8=2$ lei, deci $4$ kilograme costă $4\cdot 2=8$ lei.
3. b) Din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, numerele divizibile cu $3$ sunt $3$ și $6$; cel mai mare dintre ele este $6$ ($9$ nu aparține mulțimii $A$).
4. d) Perimetrul paralelogramului $=2\cdot (AB+AD)=24\Rightarrow AB+AD=12\Rightarrow AD=12-8=4$ cm.
5. a) Baza $ABCD$ a piramidei este un pătrat, iar diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare, deci unghiul dintre dreptele $AC$ și $BD$ are măsura $90°$.
6. c) Numărul total de elevi este $2+4+5+6+5+4+4=30$; suma notelor este $4\cdot 2+5\cdot 4+6\cdot 5+7\cdot 6+8\cdot 5+9\cdot 4+10\cdot 4=8+20+30+42+40+36+40=216$; media $=216:30=7,2$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Un cub are $6$ fețe pătrate; fiecare față are $4$ muchii, dar fiecare muchie este comună la două fețe; cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $4$ muchii ale bazei $ABCD$ ($AB$, $BC$, $CD$, $DA$), $4$ muchii ale bazei $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ și $4$ muchii laterale ($A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$), în total $4+4+4=12$ muchii.
2. d) $x=\left(\frac{8}{3\sqrt{2}}+\frac{6}{\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{13}=\frac{26}{3\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{13}=\frac{2}{3}$; $y=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{5}{7\sqrt{3}}\right)\cdot \frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{2}{7\sqrt{3}}\cdot \frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}$. Media aritmetică $=\frac{x+y}{2}=\frac{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{2}=1$.
3. a) Numerele $15$ și $21$ sunt divizori ai numărului $n-1$, unde $n$ este numărul de flori, iar $\text{c.m.m.m.c.}\{15,21\}=105$, deci $n-1$ este divizibil cu $105$. Cum $n$ este cuprins între $550$ și $710$, obținem $n=105\cdot 6+1=631$ de flori.
4. c) $f(0)=3\cdot 0+9=9$, deci graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,9)$.
5. b) Punctul $A(a,3)$ aparține graficului funcției $f$, deci $f(a)=3$, de unde $3a+9=3\Rightarrow 3a=-6\Rightarrow a=-2$.
6. d) $\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}-2=\frac{(x+1{)}^2+(x-1{)}^2-2(x^2-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{4}{(x-1)(x+1)}$, deci $E(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{4}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x+1}{4}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-1}=0$, pentru orice $x$ real, $x\ne -1$ și $x\ne 1$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $A{B}^2=A{E}^2+E{B}^2=32+32=64$ (3 p), deci $AB=\sqrt{64}=8$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Triunghiul $AEB$ este dreptunghic isoscel, deci $m(\sphericalangle BAE)=45°$ (1 p). Cum $FD=DC$ și $DC=AD$, triunghiul $AFD$ este dreptunghic isoscel, deci $m(\sphericalangle FAD)=45°$ (2 p). $m(\sphericalangle FAE)=m(\sphericalangle FAD)+m(\sphericalangle DAB)+m(\sphericalangle BAE)=45°+90°+45°=180°$, deci punctele $E$, $A$ și $F$ sunt coliniare (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $m(\sphericalangle ABD)=45°\Rightarrow \sphericalangle ABD\equiv \sphericalangle EAB$, deci $AE\parallel BD$ și, cum $DO=\frac{BD}{2}=4\sqrt{2}$ cm, unde $\{O\}=AC\cap BD$, iar $DO=AE$, obținem că $ADOE$ este paralelogram (3 p). $\{P\}=DE\cap AO$ și $DE$, $AO$ sunt diagonale în paralelogram, deci $P$ este mijlocul segmentului $DE$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $V_{ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=AB\cdot AD\cdot A{A}^{\prime }$ (3 p) $=20\cdot 10\cdot 10=2000{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$ și $AC\subset (ABC)$, deci $C{C}^{\prime }\perp AC$ (2 p). $AC=10\sqrt{5}$ cm și $C{C}^{\prime }=10$ cm, deci $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{C}^2+C{C}^{\prime 2}}=10\sqrt{6}$ cm (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $(AMQ)\cap (ANP)=A{A}^{\prime }$, $AM\perp A{A}^{\prime }$, $AM\subset (AMQ)$ și $AN\perp A{A}^{\prime }$, $AN\subset (ANP)$, deci $m(\sphericalangle ((AMQ),(ANP)\left)\right)=m(\sphericalangle MAN)$ (3 p). $AMND$ este pătrat (cu $AM=AD=10$ cm și unghi drept în $A$), deci $m(\sphericalangle MAN)=45°$ (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 4 la matematică pentru Evaluarea Națională, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4a de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen/construcție și reprezentare grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este testul oficial de pregătire nr. 4 la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, sarcini de desen/reprezentare grafică incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor cubului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial; și Exercițiul 4a (partea a) a exercițiului original 4), care cerea „reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre punctul de intersecție a graficului cu axa $Oy$, păstrând identică funcția $f(x)=3x+9$ din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, proporționalitatea (prețul unei cantități), cel mai mare număr divizibil cu $3$ dintr-o mulțime, perimetrul unui paralelogram, unghiul dintre diagonalele bazei unei piramide patrulatere regulate, media aritmetică ponderată a notelor dintr-un tabel statistic; numărul muchiilor unui cub, media aritmetică a două numere date prin expresii cu radicali, cel mai mic multiplu comun dedus dintr-o problemă cu rest, funcția liniară $f(x)=3x+9$ (intersecția cu axa $Oy$, abscisa unui punct de pe grafic), o expresie algebrică cu fracții arătată a fi constantă (egală cu $0$); geometrie plană (un pătrat și un triunghi dreptunghic isoscel — teorema lui Pitagora, coliniaritatea a trei puncte, paralelogram, mijlocul unui segment) și geometrie în spațiu (un paralelipiped dreptunghic — volum, diagonala paralelipipedului, unghiul dintre două plane).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.