Testul oficial de pregătire nr. 6 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(35-35:7)\cdot 3$ este egal cu: a) $20$ b) $90$ c) $0$ d) $15$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă două treimi din $60$ este egal cu: a) $40$ b) $30$ c) $20$ d) $90$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr din mulțimea $A=\left\{0,\frac{2}{3},-\frac{3}{2},-4,\frac{5}{3}\right\}$ este egal cu: a) $0$ b) $-\frac{3}{2}$ c) $-4$ d) $\frac{5}{3}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul dreptunghic $ABC$ are catetele $AB=12$ cm și $AC=10$ cm. Aria acestui triunghi este egală cu: a) $120{\text{cm}}^2$ b) $60{\text{cm}}^2$ c) $22{\text{cm}}^2$ d) $110{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$.

Măsura unghiului dreptelor $BF$ și $EG$ este egală cu: a) $45°$ b) $60°$ c) $30°$ d) $90°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos sunt prezentate informații despre temperatura, în $°C$, înregistrată în fiecare dintre zilele unei săptămâni.

Conform informațiilor din diagramă, diferența dintre temperatura înregistrată sâmbătă și cea înregistrată marți este egală cu: a) $16°$C b) $8°$C c) $4°$C d) $-16°$C

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi isoscel $ABC$, dreptunghic în $A$ (cu $AB=AC$).

Măsura unghiului $\sphericalangle ABC$ este egală cu: a) $90°$ b) $60°$ c) $45°$ d) $30°$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numerele naturale $a$, $b$, $c$ sunt direct proporționale cu $2$, $3$, $5$. Știind că $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=126$, numărul $c$ este egal cu: a) $9$ b) $15$ c) $6$ d) $30$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dublul unui număr real este cu $6$ mai mare decât jumătatea acestui număr. Acest număr real este egal cu: a) $4$ b) $12$ c) $3$ d) $6$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $x=\left(\frac{2}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{27}}+\frac{6}{\sqrt{108}}\right)\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}$. Numărul $x$ este egal cu: a) $3$ b) $15$ c) $4$ d) $5$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\left(\frac{2}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{27}}+\frac{6}{\sqrt{108}}\right)\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}$ și $y={\left(5^6\right)}^3\cdot 25^3:125^8$. Media aritmetică a numerelor $x$ și $y$ este egală cu: a) $2$ b) $3$ c) $4$ d) $6$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=2(x+3{)}^2-(2+x)(x-2)-2(5x+7)$, unde $x$ este număr real. Valoarea minimă a expresiei $E(x)$, pentru $x$ număr real, este egală cu: a) $8$ b) $0$ c) $6$ d) $7$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AC\perp BD$, $AB=8$ m, $CD=4$ m. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $DA$, iar $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului.

Arătați că linia mijlocie a trapezului $ABCD$ are lungimea egală cu $6$ m.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AC\perp BD$, $AB=8$ m, $CD=4$ m, ca în figura alăturată. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $DA$, iar $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului.

Arătați că $AD=2\sqrt{10}$ m.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AC\perp BD$, $AB=8$ m, $CD=4$ m, ca în figura alăturată. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $DA$, iar $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului.

Demonstrați că patrulaterul $MNPQ$ este pătrat.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=15$ cm și $BC=A{A}^{\prime }=6\sqrt{3}$ cm. Punctul $M$ este situat pe latura $CD$ astfel încât $CM=9$ cm, iar punctul $N$ este mijlocul laturii $BC$.

Arătați că aria patrulaterului $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este egală cu $90\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=15$ cm și $BC=A{A}^{\prime }=6\sqrt{3}$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este situat pe latura $CD$ astfel încât $CM=9$ cm, iar punctul $N$ este mijlocul laturii $BC$.

Arătați că distanța de la punctul $N$ la dreapta $C^{\prime }{D}^{\prime }$ este egală cu $3\sqrt{15}$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=15$ cm și $BC=A{A}^{\prime }=6\sqrt{3}$ cm, punctul $M$ situat pe latura $CD$ astfel încât $CM=9$ cm, iar punctul $N$ mijlocul laturii $BC$, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $MN$ și planul $(AM{A}^{\prime })$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(35-35:7)\cdot 3=(35-5)\cdot 3=30\cdot 3=90$ (întâi împărțirea și scăderea din paranteză, apoi înmulțirea).
2. a) Două treimi din $60$ este $\frac{2}{3}\cdot 60=40$.
3. c) Din mulțimea $A=\left\{0,\frac{2}{3},-\frac{3}{2},-4,\frac{5}{3}\right\}$, cel mai mic număr este $-4$ (celelalte fiind $0$ sau pozitive, iar $-\frac{3}{2}>-4$).
4. b) Aria triunghiului dreptunghic $ABC=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{12\cdot 10}{2}=60{\text{cm}}^2$.
5. d) $BF$ este muchie verticală a cubului, perpendiculară pe planul feței superioare $EFGH$, iar $EG$ este o diagonală a acestei fețe; deci $BF\perp EG$, unghiul dintre ele fiind de $90°$.
6. a) Din diagramă, temperatura de sâmbătă a fost $6°$C, iar cea de marți a fost $-10°$C; diferența este $6-(-10)=16°$C.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Triunghiul $ABC$ este isoscel ($AB=AC$) și dreptunghic în $A$, deci unghiurile $B$ și $C$ sunt congruente și însumează $90°$; fiecare este de $45°$.
2. b) Cu $a=2k$, $b=3k$, $c=5k$ ($k$ rațional), $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=k^2+4k^2+9k^2=14k^2=126\Rightarrow k^2=9\Rightarrow k=3$ (numerele fiind naturale); deci $c=5k=15$.
3. a) Dacă $x$ este numărul căutat, $2x=\frac{x}{2}+6\Rightarrow 4x=x+12\Rightarrow 3x=12\Rightarrow x=4$.
4. d) $x=\left(\frac{2}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{27}}+\frac{6}{\sqrt{108}}\right)\cdot \sqrt{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot \sqrt{3}=\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}=5$.
5. b) $y={\left(5^6\right)}^3\cdot 25^3:125^8=5^{18}\cdot 5^6:5^{24}=5^{24}:5^{24}=1$; media aritmetică a lui $x=5$ și $y=1$ este $\frac{5+1}{2}=3$, care este un număr natural prim.
6. d) $E(x)=2(x+3{)}^2-(2+x)(x-2)-2(5x+7)=2x^2+12x+18-x^2+4-10x-14=x^2+2x+8=(x+1{)}^2+7\ge 7$, pentru orice $x$ real, cu valoare minimă $7$ (atinsă la $x=-1$).

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Linia mijlocie a trapezului $ABCD$ este segmentul $QN$ ce unește mijloacele laturilor neparalele $AD$ și $BC$; formula ei este $QN=\frac{AB+CD}{2}$ (3 p). Înlocuind, $QN=\frac{8+4}{2}=\frac{12}{2}=6$ m (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Cum $AC\perp BD$, unghiul $AOB$ este drept; prin simetria trapezului isoscel, $OA=OB$, deci triunghiul $AOB$ este dreptunghic isoscel cu ipotenuza $AB=8$ m, de unde $AO=BO=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$ m; analog, triunghiul $COD$ este dreptunghic isoscel cu ipotenuza $CD=4$ m, de unde $OC=OD=\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ m (2 p). Cum unghiurile $AOB$ și $AOD$ sunt suplementare (punctele $B$, $O$, $D$ fiind coliniare), $m(\sphericalangle AOD)=180°-90°=90°$, deci triunghiul $AOD$ este dreptunghic în $O$, iar $A{D}^2=A{O}^2+D{O}^2=(4\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2=32+8=40$, de unde $AD=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ m (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $NP$ este linie mijlocie în triunghiul $BCD$ ($N$ mijlocul lui $BC$, $P$ mijlocul lui $CD$), deci $NP\parallel BD$ și $NP=\frac{BD}{2}$; $MQ$ este linie mijlocie în triunghiul $ABD$ ($M$ mijlocul lui $AB$, $Q$ mijlocul lui $DA$), deci $MQ\parallel BD$ și $MQ=\frac{BD}{2}$; obținem $MQ\parallel NP$ și $MQ=NP$, deci $MNPQ$ este paralelogram (3 p). $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$, deci $MN\parallel AC$ și $MN=\frac{AC}{2}$; cum $ABCD$ este trapez isoscel, $AC=BD$, deci $MN=NP$ (paralelogram cu laturi alăturate egale, deci romb) și, cum $AC\perp BD$, rezultă $MN\perp NP$ (fiind paralele cu $AC$, respectiv $BD$); un romb cu un unghi drept este pătrat, deci $MNPQ$ este pătrat (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este dreptunghi (față a paralelipipedului dreptunghic), cu laturile $AB=15$ cm și $A{A}^{\prime }=6\sqrt{3}$ cm, deci aria sa este ${\mathcal{A}}_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=AB\cdot A{A}^{\prime }$ (3 p). Înlocuind, ${\mathcal{A}}_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=15\cdot 6\sqrt{3}=90\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $N$ este mijlocul lui $BC$, deci $CN=\frac{BC}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm. Cum $C^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ (laturi opuse ale bazei) rezultă $C^{\prime }{D}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ și, fiind paralelipiped dreptunghic, $C^{\prime }{D}^{\prime }\perp C{C}^{\prime }$; cum $B^{\prime }{C}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$ sunt drepte concurente în planul $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, obținem $C^{\prime }{D}^{\prime }\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, deci $C^{\prime }{D}^{\prime }\perp N{C}^{\prime }$ (segment conținut în acest plan), adică distanța de la $N$ la dreapta $C^{\prime }{D}^{\prime }$ este chiar $N{C}^{\prime }$ (3 p). Triunghiul $C{C}^{\prime }N$ este dreptunghic în $C$, deci $N{C}^{\prime 2}=C{C}^{\prime 2}+C{N}^2=(6\sqrt{3}{)}^2+(3\sqrt{3}{)}^2=108+27=135$, de unde $N{C}^{\prime }=\sqrt{135}=3\sqrt{15}$ cm (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Cum paralelipipedul este dreptunghic, $A{A}^{\prime }\perp AB$ și $A{A}^{\prime }\perp AD$; cum $AB$ și $AD$ sunt drepte concurente în planul $(ABC)$, rezultă $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ și, cum $MN\subset (ABC)$, obținem $A{A}^{\prime }\perp MN$ (1 p). Cum $CD=AB=15$ cm și $CM=9$ cm, $DM=CD-CM=6$ cm; triunghiul $ADM$ este dreptunghic în $D$ (căci $AD\perp DC$), cu $AD=BC=6\sqrt{3}$ cm, deci $\text{tg}(\sphericalangle AMD)=\frac{AD}{DM}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$, de unde $m(\sphericalangle AMD)=60°$; triunghiul $CMN$ este dreptunghic în $C$, cu $CN=3\sqrt{3}$ cm (calculat mai sus) și $CM=9$ cm, deci $\text{tg}(\sphericalangle CMN)=\frac{CN}{CM}=\frac{3\sqrt{3}}{9}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, de unde $m(\sphericalangle CMN)=30°$; cum $D$, $M$, $C$ sunt coliniare, $m(\sphericalangle AMD)+m(\sphericalangle AMN)+m(\sphericalangle CMN)=180°$, deci $m(\sphericalangle AMN)=180°-60°-30°=90°$, adică $MN\perp AM$ (3 p). Cum $MN\perp A{A}^{\prime }$ și $MN\perp AM$, cu $A{A}^{\prime }$ și $AM$ drepte concurente în planul $(AM{A}^{\prime })$, rezultă $MN\perp (AM{A}^{\prime })$, deci măsura unghiului dintre dreapta $MN$ și planul $(AM{A}^{\prime })$ este de $90°$ (1 p).

Test oficial de pregătire nr. 6 pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat în 2020 de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul oficial de pregătire nr. 6 la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat în anul 2020 de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în cadrul seriei de teste de antrenament puse la dispoziția absolvenților clasei a VIII-a. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, o sarcină de desen incompatibilă cu formatul grilă: în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un triunghi isoscel $ABC$, dreptunghic în $A$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre măsura unghiului $\sphericalangle ABC$ al acestui triunghi, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, calculul unei fracții dintr-un număr, cel mai mic număr dintr-o mulțime cu numere raționale, aria unui triunghi dreptunghic, unghiul dintre două drepte într-un cub, citirea unei diagrame cu temperaturi; un triunghi isoscel dreptunghic, numere direct proporționale, o ecuație de gradul I, calcul cu radicali și puteri, media aritmetică a două numere (arătată a fi un număr natural prim), o expresie algebrică arătată a avea o valoare minimă; geometrie plană (un trapez isoscel cu diagonale perpendiculare — linia mijlocie, lungimea unei laturi, demonstrarea că patrulaterul format de mijloacele laturilor este pătrat) și geometrie în spațiu (un paralelipiped dreptunghic — aria unei fețe, distanța de la un punct la o dreaptă, unghiul dintre o dreaptă și un plan).

• Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.