Testul oficial de pregătire nr. 7 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10+5\cdot (16-2\cdot 8)$ este egal cu: a) $10$ b) $74$ c) $40$ d) $0$

Exercițiul 2 · 5 puncte Un obiect costă $120$ de lei. După o scumpire cu $10\%$, obiectul costă: a) $130$ lei b) $108$ lei c) $12$ lei d) $132$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $A=\{1,2,3,4\}$ și $B=\{4,5,6,7\}$, atunci intersecția mulțimilor $A$ și $B$ este egală cu: a) $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ b) $\{1,2,3\}$ c) $\{4\}$ d) $\varnothing$

Exercițiul 4 · 5 puncte Lungimea unui cerc cu raza de $5$ cm este egală cu: a) $25\pi$ cm b) $5\pi$ cm c) $20\pi$ cm d) $10\pi$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $AB$ și $A^{\prime }D$ are măsura de:

a) $90°$ b) $45°$ c) $30°$ d) $60°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată situația mediilor la limba engleză, pe semestrul I, ale elevilor unei școli gimnaziale.

Conform informațiilor din tabel, probabilitatea ca, alegând un elev din această școală, acesta să aibă media $10$ la limba engleză, este egală cu: a) $\frac{1}{11}$ b) $\frac{8}{11}$ c) $\frac{30}{80}$ d) $\frac{3}{11}$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere să se deseneze, pe foaia de examen, un romb $ABCD$ (patrulater cu toate laturile congruente). Suma măsurilor unghiurilor interioare ale rombului $ABCD$ este egală cu: a) $360°$ b) $180°$ c) $720°$ d) $270°$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră un număr real nenul $x$, astfel încât $x+\frac{1}{x}=2$. Valoarea expresiei $x^2+\frac{1}{x^2}$ este egală cu: a) $4$ b) $2$ c) $0$ d) $-2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Anca a citit $375$ de pagini dintr-o carte. În fiecare zi, începând cu a doua zi, ea a citit cu $5$ pagini mai mult decât în ziua precedentă, și a terminat de citit cele $375$ de pagini în $5$ zile. Numărul de pagini citite de Anca în prima zi este egal cu: a) $75$ b) $70$ c) $65$ d) $60$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\left(\frac{20}{\sqrt{1800}}-\frac{3}{\sqrt{72}}\right):\frac{1}{84}$. Numărul $a$ este egal cu: a) $3\sqrt{2}$ b) $12\sqrt{2}$ c) $7$ d) $7\sqrt{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numărul real $a=\left(\frac{20}{\sqrt{1800}}-\frac{3}{\sqrt{72}}\right):\frac{1}{84}$, precum și numărul real $b=(\sqrt{3}-3{)}^2-\sqrt{(\sqrt{3}-2{)}^2}+\sqrt{75}$. Relația corectă dintre numerele $a$ și $b$ este: a) $a=b$ b) $a>b$ c) $a<b$ d) nu se poate preciza

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(2x-1{)}^2-3(x-3)(x+2)-(x-2)(x+1)$, unde $x$ este număr real. Suma $E(1)+E\left(\frac{1}{2}\right)+E\left(\frac{1}{3}\right)+\cdots +E\left(\frac{1}{2020}\right)$ este egală cu: a) $0$ b) $42420$ c) $21$ d) depinde de $x$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate pătratul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și triunghiurile echilaterale $ABM$, $BCN$ și $ADP$.

Arătați că perimetrul triunghiului $ABM$ este egal cu $45$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și triunghiurile echilaterale $ABM$, $BCN$ și $ADP$, ca în figura alăturată.

Arătați că lungimea segmentului $MN$ este egală cu $15\sqrt{2}$ cm.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și triunghiurile echilaterale $ABM$, $BCN$ și $ADP$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că patrulaterul $PBMD$ este trapez isoscel.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat și $VO\perp (ABC)$, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Triunghiul $VAB$ este echilateral cu $AB=6$ cm, punctul $M$ este mijlocul muchiei $BV$ și punctul $N$ este mijlocul muchiei $CV$.

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $36{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat și $VO\perp (ABC)$, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, triunghiul $VAB$ echilateral cu $AB=6$ cm, punctul $M$ mijlocul muchiei $BV$ și punctul $N$ mijlocul muchiei $CV$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreptele $VB$ și $VD$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat și $VO\perp (ABC)$, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, triunghiul $VAB$ echilateral cu $AB=6$ cm, punctul $M$ mijlocul muchiei $BV$ și punctul $N$ mijlocul muchiei $CV$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că, dacă dreptele $AM$ și $DN$ se intersectează în punctul $P$, atunci $VP\parallel (ABC)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $10+5\cdot (16-2\cdot 8)=10+5\cdot (16-16)=10+5\cdot 0=10$ (întâi paranteza, cu înmulțirea din interior).
2. d) După scumpirea cu $10\%$, obiectul costă $120\cdot 1,1=132$ lei.
3. c) $A\cap B$ conține elementele comune celor două mulțimi: $A\cap B=\{4\}$.
4. d) Lungimea cercului $=2\pi r=2\pi \cdot 5=10\pi$ cm.
5. a) Cum $AB\perp AD$ și $AB\perp A{A}^{\prime }$ (muchii ale cubului), rezultă $AB\perp$ planul $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$, care conține dreapta $A^{\prime }D$; deci unghiul dintre dreptele $AB$ și $A^{\prime }D$ are măsura de $90°$.
6. d) Numărul total de elevi este $1+6+7+14+23+29+30=110$; probabilitatea cerută este $\frac{30}{110}=\frac{3}{11}$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Un romb este un patrulater ($n=4$ laturi); suma măsurilor unghiurilor sale interioare este $(n-2)\cdot 180°=(4-2)\cdot 180°=360°$.
2. b) Din $x+\frac{1}{x}=2$, ridicând la pătrat: ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}=2^2=4\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=4-2=2$.
3. c) Dacă $n$ este numărul de pagini citite în prima zi, atunci $n+(n+5)+(n+10)+(n+15)+(n+20)=375\Rightarrow 5n+50=375\Rightarrow n=65$.
4. d) $a=\left(\frac{20}{30\sqrt{2}}-\frac{3}{6\sqrt{2}}\right)\cdot 84=\left(\frac{2}{3\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)\cdot 84=\frac{4\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{12}\cdot 84=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot 84=7\sqrt{2}$.
5. c) $b=(\sqrt{3}-3{)}^2-\sqrt{(\sqrt{3}-2{)}^2}+\sqrt{75}=(12-6\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})+5\sqrt{3}=10$. Cum $a^2=(7\sqrt{2}{)}^2=98$ și $b^2=10^2=100$, iar $98<100$, rezultă $a<b$.
6. b) $E(x)=(4x^2-4x+1)-3(x^2-x-6)-(x^2-x-2)=4x^2-4x+1-3x^2+3x+18-x^2+x+2=21$, pentru orice $x$ real (constantă), deci $E(1)=E\left(\frac{1}{2}\right)=\cdots =E\left(\frac{1}{2020}\right)=21$; suma celor $2020$ termeni este $21\cdot 2020=42420$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $P_{△ABM}=3\cdot AB$ (3 p), adică $3\cdot 15=45$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $m(\sphericalangle MBC)=m(\sphericalangle ABC)-m(\sphericalangle ABM)=90°-60°=30°\Rightarrow m(\sphericalangle MBN)=m(\sphericalangle MBC)+m(\sphericalangle CBN)=30°+60°=90°$ (2 p). Cum $MB=BN=15$ cm (laturi ale triunghiurilor echilaterale $ABM$, respectiv $BCN$), triunghiul $MBN$ este dreptunghic isoscel, deci $MN=15\sqrt{2}$ cm (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $m(\sphericalangle DAM)=90°-60°=30°$ și, cum $△ADM$ este isoscel ($AD=AM=15$ cm), $m(\sphericalangle ADM)=\frac{180°-30°}{2}=75°\Rightarrow m(\sphericalangle PDM)=m(\sphericalangle PDA)+m(\sphericalangle ADM)=60°+75°=135°$ (1 p). $△ABP$ este isoscel ($AB=AP=15$ cm) și $m(\sphericalangle BAP)=90°+60°=150°\Rightarrow m(\sphericalangle APB)=\frac{180°-150°}{2}=15°$, deci $m(\sphericalangle DPB)=m(\sphericalangle DPA)-m(\sphericalangle APB)=60°-15°=45°$ (2 p). $\sphericalangle PDM$ și $\sphericalangle DPB$ sunt suplementare ($135°+45°=180°$), deci $BP\parallel DM$ și, cum $DP=MB=15$ cm, obținem că $PBMD$ este trapez isoscel (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat, deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2$ (3 p), adică $6^2=36{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $BD$ este diagonală în pătratul $ABCD\Rightarrow BD=6\sqrt{2}$ cm (2 p). $VO\perp (ABC)$ și $ABCD$ pătrat $\Rightarrow △VOA\equiv △VOB\equiv △VOC\equiv △VOD$, deci $VA=VB=VC=VD$ (1 p). $V{B}^2+V{D}^2=6^2+6^2=72={\left(6\sqrt{2}\right)}^2=B{D}^2\Rightarrow △BVD$ este dreptunghic în $V$, deci $VB\perp VD$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $MN$ linie mijlocie în $△VBC\Rightarrow MN\parallel BC$ și $MN=\frac{BC}{2}$, deci $MN\parallel AD$ și $MN=\frac{AD}{2}$, de unde obținem că $MN$ este linie mijlocie în $△PAD$ (2 p). $M$ este mijlocul segmentelor $BV$ și $PA\Rightarrow ABPV$ este paralelogram, deci $VP\parallel AB$ și, cum $AB\subset (ABC)$, obținem $VP\parallel (ABC)$ (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 7, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020, în perioada învățământului online (pandemie). Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 7 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020, în perioada învățământului desfășurat online (pandemie). Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un romb $ABCD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre suma măsurilor unghiurilor interioare ale unui romb, păstrând identic obiectul geometric (rombul $ABCD$) din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, procentul dintr-un număr (scumpire), intersecția a două mulțimi, lungimea unui cerc, unghiul dintre două drepte într-un cub, o probabilitate citită dintr-un tabel de frecvențe; suma unghiurilor unui romb, o expresie cu fracții ($x+\frac{1}{x}=2\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=2$), o problemă de progresie aritmetică (pagini citite pe zile), simplificarea și compararea unor numere reale cu radicali, o expresie algebrică arătată a fi constantă; geometrie plană (un pătrat cu trei triunghiuri echilaterale construite pe laturile sale — perimetru, lungimea unui segment, trapez isoscel) și geometrie în spațiu (o piramidă patrulateră regulată — aria bazei, perpendicularitatea a două drepte, o dreaptă paralelă cu planul bazei).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.