Simulare Evaluarea Națională nr. 19

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(15+5\cdot 9):6$ este: a) $9$ b) $30$ c) $10$ d) $60$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{12}=\frac{3}{4}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $16$ b) $9$ c) $36$ d) $\frac{4}{3}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,3,5,7\}$ și $B=\{1,3,5,9\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{3,5\}$ b) $\{1,2,7,9\}$ c) $\{3,5,7\}$ d) $\{1,2,3,5,7,9\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $15\%$ din numărul $200$ reprezintă: a) $15$ b) $3$ c) $185$ d) $30$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{25}$ și $b=11$ este: a) $16$ b) $6$ c) $8$ d) $3$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=5-\sqrt{23}$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=8$ cm și $BC=4$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $6$ cm b) $2$ cm c) $4$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $55^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $35^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=16$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $20$ cm b) $28$ cm c) $\sqrt{112}$ cm d) $400$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ cu latura $AB=6$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $12$ cm b) $36$ cm c) $6\sqrt{3}$ cm d) $6\sqrt{2}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $60^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $60^{\circ }$ b) $30^{\circ }$ c) $15^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=4$ cm. Volumul cubului este egal cu:

a) $16{\text{cm}}^3$ b) $96{\text{cm}}^3$ c) $64{\text{cm}}^3$ d) $48{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Ana și-a propus să economisească o sumă de bani. În prima lună a economisit $25\%$ din sumă, în a doua lună $40\%$ din cât a rămas de economisit după prima lună, iar în a treia lună ultimii $585$ de lei. a) (2 p) Arată că în a doua lună Ana a economisit mai mult decât în prima lună. b) (3 p) Determină suma totală pe care și-a propus Ana să o economisească.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-16}{x^2-4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+4}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Costul lunar, în lei, al unui abonament de internet mobil este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+8$, unde $x$ reprezintă numărul de gigabaiți (GB) de trafic suplimentar consumat, $8$ lei este abonamentul fix, iar $4$ lei este costul pentru fiecare GB suplimentar. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(3)$ și precizează ce reprezintă fiecare în contextul dat. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=9$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unui tetraedru regulat $ABCD$ (toate muchiile egale), cu muchia de $6$ cm. Fața $BCD$ este baza, $O$ este centrul bazei, iar $M$ este mijlocul muchiei $CD$. a) (2 p) Calculează aria totală a tetraedrului. b) (3 p) Calculează înălțimea $AO$ a tetraedrului și volumul acestuia.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Se acordă zece puncte din oficiu. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $(15+5\cdot 9):6=(15+45):6=60:6=10$.
2. b) $\frac{x}{12}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{12\cdot 3}{4}=9$.
3. a) Elementele comune sunt $3$ și $5$, deci $A\cap B=\{3,5\}$.
4. d) $15\%\cdot 200=\frac{15}{100}\cdot 200=30$.
5. c) $a=\sqrt{25}=5$; media $=\frac{5+11}{2}=8$.
6. c) $\sqrt{16}<\sqrt{23}<\sqrt{25}$, deci $4<\sqrt{23}<5$, de unde $0<5-\sqrt{23}<1$, adică $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $AC=AB+BC=8+4=12$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=6$ cm; $MB=AB-AM=8-6=2$ cm.
2. c) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-55^{\circ }-90^{\circ }=35^{\circ }$.
3. a) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$ cm.
4. d) Diagonala pătratului: $AC=AB\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ cm.
5. b) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 60^{\circ }=30^{\circ }$.
6. c) $V={\ell }^3=4^3=64{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ suma pe care Ana și-a propus să o economisească. a) (2 p) Prima lună: $25\%$ din $S$. A doua lună: $40\%$ din rest $=40\%\cdot 75\%\cdot S=30\%$ din $S$ (1 p). Cum $30\%>25\%$, în a doua lună Ana a economisit mai mult decât în prima lună (1 p). b) (3 p) După primele două luni s-a economisit $25\%+30\%=55\%$ din $S$, deci a rămas $45\%\cdot S$ (1 p). Acest rest a fost economisit în a treia lună: $45\%\cdot S=585$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{585}{0,45}=1300$ lei (1 p). (verificare: luna I $=325$ lei, luna a II-a $=390$ lei, luna a III-a $=585$ lei; total $1300$ lei).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-16=(x-4)(x+4)$ și $x^2-4x=x(x-4)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x-4)}=\frac{x+4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 4$, deci $x\in \{-4,-2,-1,1,2,4\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=4$, rămân $x\in \{-4,-2,-1,1,2\}$ (1 p) (verificare: $E(-4)=0$, $E(-2)=-1$, $E(-1)=-3$, $E(1)=5$, $E(2)=3$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=4\cdot 0+8=8$ – reprezintă abonamentul fix ($8$ lei, când nu se consumă trafic suplimentar) (1 p); $f(3)=4\cdot 3+8=20$ – reprezintă costul lunar pentru $3$ GB suplimentari ($20$ lei) (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 4x+8=0\Rightarrow x=-2$, deci $A(-2,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=8$, deci $B(0,8)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 8}{2}=8$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=9$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=15$. $$\sin B=\frac{9}{15}=\frac{3}{5},\cos B=\frac{12}{15}=\frac{4}{5},\mathrm{tg}B=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+9+15=36$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Fețele tetraedrului regulat sunt triunghiuri echilaterale cu latura de $6$ cm. a) (2 p) Apotema unei fețe (înălțimea triunghiului echilateral) este $\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm, iar aria unei fețe $=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria totală $A_t=4\cdot 9\sqrt{3}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) $O$ este centrul bazei $BCD$; distanța de la $O$ la mijlocul $M$ al laturii $CD$ este $OM=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{3}=\sqrt{3}$ cm (1 p). În triunghiul dreptunghic $AOM$ ($AM=3\sqrt{3}$ este apotema feței $ACD$): $AO=\sqrt{A{M}^2-O{M}^2}=\sqrt{27-3}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_{baza}\cdot AO=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{18}=18\sqrt{2}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Se acordă zece puncte din oficiu. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.