Testul oficial de pregătire nr. 10 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $5-5\cdot (12-3\cdot 4)$ este egal cu: a) $5$ b) $0$ c) $-5$ d) $25$

Exercițiul 2 · 5 puncte Șase kilograme de mere costă $12$ lei. Trei kilograme de mere de același fel costă: a) $4$ lei b) $6$ lei c) $8$ lei d) $24$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma elementelor mulțimii $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x+1\le 3\}$ este egală cu: a) $3$ b) $2$ c) $6$ d) $1$

Exercițiul 4 · 5 puncte Rombul $ABCD$ are latura de $10$ cm. Perimetrul acestui romb este de: a) $20$ cm b) $100$ cm c) $40$ cm d) $30$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $D{D}^{\prime }$ are măsura de:

a) $45°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În clasele de gimnaziu ale unei școli sunt înscriși $500$ de elevi. În diagrama de mai jos este prezentată repartiția procentuală, pe clase, a elevilor din această școală.

Conform informațiilor din diagramă, numărul de elevi din clasele a VIII-a este egal cu: a) $150$ b) $125$ c) $75$ d) $100$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă cu vârful $V$ și baza triunghiul $ABC$.

Numărul muchiilor piramidei $VABC$ este egal cu: a) $4$ b) $6$ c) $9$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați cifrele $a$ și $b$, știind că numărul $\overline{1ab}$ are suma cifrelor egală cu $8$ și este divizibil cu $5$. Una dintre perechile de cifre $(a,b)$ care verifică simultan cele două condiții este: a) $(3,4)$ b) $(6,1)$ c) $(7,0)$ d) $(0,7)$

Exercițiul 3 · 5 puncte Mihai are $34$ de ani, iar fiul lui are $8$ ani. Peste câți ani vârsta lui Mihai va fi egală cu dublul vârstei fiului său? a) $10$ b) $16$ c) $26$ d) $18$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $x=\frac{6}{\sqrt{2}}-\sqrt{8}+\frac{10}{\sqrt{50}}$. Numărul real $x$ este egal cu: a) $2\sqrt{2}$ b) $\sqrt{2}$ c) $3\sqrt{2}$ d) $4\sqrt{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numărul real $x=\frac{6}{\sqrt{2}}-\sqrt{8}+\frac{10}{\sqrt{50}}$ și numărul real $y=\sqrt{48}-\sqrt{75}+\sqrt{27}+2-\left|\sqrt{3}-2\right|$. Numărul $y^{30}+x^{50}+\left|y^{30}-x^{50}\right|$ este egal cu: a) $2^{75}$ b) $2^{38}$ c) $2^{151}$ d) $2^{76}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=3(x+1{)}^2+2(x+2)(x+3)-(x+5)$, unde $x$ este număr real. Numărul întreg cu care $E(n)$ este întotdeauna divizibil, pentru orice număr natural $n$, este: a) $6$ b) $10$ c) $15$ d) $20$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi $DBC$ cu $BC=BD=12$ cm și $DC=12\sqrt{3}$ cm. Punctul $A$ este situat pe latura $DC$ astfel încât $AC=8\sqrt{3}$ cm.

Arătați că $AD=4\sqrt{3}$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul $DBC$ cu $BC=BD=12$ cm și $DC=12\sqrt{3}$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $A$ este situat pe latura $DC$ astfel încât $AC=8\sqrt{3}$ cm.

Arătați că distanța de la punctul $B$ la dreapta $DC$ este egală cu $6$ cm.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul $DBC$ cu $BC=BD=12$ cm și $DC=12\sqrt{3}$ cm, iar punctul $A$ situat pe latura $DC$ astfel încât $AC=8\sqrt{3}$ cm, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului $ABC$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat, $AB=12$ cm și înălțimea $VO=8$ cm, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $CV$.

Arătați că patrulaterul $ABCD$ are aria egală cu $144{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat, $AB=12$ cm și înălțimea $VO=8$ cm, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $CV$.

Demonstrați că planele $(NOM)$ și $(VAB)$ sunt paralele.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat, $AB=12$ cm și înălțimea $VO=8$ cm, iar punctele $M$ și $N$ mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $CV$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că înălțimea din $V$ a triunghiului $VAM$ este egală cu $\frac{2\sqrt{445}}{5}$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $5-5\cdot (12-3\cdot 4)=5-5\cdot (12-12)=5-5\cdot 0=5-0=5$ (întâi paranteza, cu înmulțirea din interior, apoi înmulțirea și scăderea).
2. b) $12$ lei $:6=2$ lei pe kilogram, deci $3$ kilograme costă $3\cdot 2=6$ lei.
3. a) $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x+1\le 3\}=\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 2\}=\{0,1,2\}$; suma elementelor este $0+1+2=3$.
4. c) Perimetrul rombului $=4\cdot$ latura $=4\cdot 10=40$ cm.
5. a) Cum $D{D}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ (muchii ale cubului), unghiul dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $D{D}^{\prime }$ este egal cu unghiul dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }$; triunghiul $B{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este dreptunghic isoscel ($B{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$, unghi drept în $B^{\prime }$), deci $m(\sphericalangle B^{\prime }B{C}^{\prime })=45°$, adică unghiul dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $D{D}^{\prime }$ are măsura de $45°$.
6. d) Procentul claselor a VIII-a este $100\%-30\%-25\%-25\%=20\%$; $20\%$ din $500$ este $\frac{500\cdot 20}{100}=100$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Piramida cu vârful $V$ și baza triunghiul $ABC$ are $3$ muchii ale bazei ($AB$, $BC$, $CA$) și $3$ muchii laterale ($VA$, $VB$, $VC$); în total $3+3=6$ muchii.
2. c) Din $1+a+b=8$ rezultă $a+b=7$. Cum $\overline{1ab}$ este divizibil cu $5$, ultima cifră $b$ este $0$ sau $5$: pentru $b=0$ obținem $a=7$, iar pentru $b=5$ obținem $a=2$. Perechea $(7,0)$ verifică ambele condiții ($1+7+0=8$ și $170$ este divizibil cu $5$).
3. d) Peste $n$ ani, Mihai va avea $34+n$ ani, iar fiul său va avea $8+n$ ani; din $34+n=2(8+n)$ obținem $34+n=16+2n$, deci $n=18$. Peste $18$ ani, vârsta lui Mihai va fi egală cu dublul vârstei fiului său.
4. a) $x=\frac{6}{\sqrt{2}}-\sqrt{8}+\frac{10}{\sqrt{50}}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.
5. d) $y=\sqrt{48}-\sqrt{75}+\sqrt{27}+2-\left|\sqrt{3}-2\right|=4\sqrt{3}-5\sqrt{3}+3\sqrt{3}+2-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ (căci $\sqrt{3}<2$, deci $\left|\sqrt{3}-2\right|=2-\sqrt{3}$). Cum $x^{50}=(2\sqrt{2}{)}^{50}=2^{75}$ și $y^{30}=(3\sqrt{3}{)}^{30}=3^{45}<2^{75}=x^{50}$, folosind $a+b+|a-b|=2\max (a,b)$ pentru $a=y^{30}$, $b=x^{50}$, obținem $y^{30}+x^{50}+\left|y^{30}-x^{50}\right|=2x^{50}=2\cdot 2^{75}=2^{76}$.
6. b) $E(x)=3(x+1{)}^2+2(x+2)(x+3)-(x+5)=3x^2+6x+3+2x^2+10x+12-x-5=5x^2+15x+10$, pentru orice $x$ real. Pentru orice număr natural $n$, $E(n)=5n^2+15n+10=5(n+1)(n+2)$, iar numărul $(n+1)(n+2)$ este divizibil cu $2$ (produs de două numere naturale consecutive), deci $E(n)$ este divizibil cu $5\cdot 2=10$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Cum punctul $A$ este situat pe latura $DC$, $AD=DC-AC$ (3 p), adică $AD=12\sqrt{3}-8\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Construim $BM\perp DC$, $M\in DC$; atunci distanța de la $B$ la $DC$ este $BM$, iar cum $BD=BC$, rezultă că $M$ este mijlocul lui $DC$, deci $CM=\frac{DC}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm (3 p). Triunghiul $BMC$ este dreptunghic în $M$, deci $B{M}^2=B{C}^2-M{C}^2=12^2-{\left(6\sqrt{3}\right)}^2=144-108=36$, de unde $BM=\sqrt{36}=6$ cm (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $M$ este mijlocul lui $DC$ (din itemul anterior), deci $DM=6\sqrt{3}$ cm; cum $AD=4\sqrt{3}$ cm, $AM=DM-AD=6\sqrt{3}-4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ cm, iar $BM=6$ cm; în triunghiul dreptunghic $ABM$ (drept în $M$), $A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2+6^2=12+36=48$, deci $AB=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ cm (2 p). Cum $A{B}^2+B{C}^2=48+144=192$ și $A{C}^2={\left(8\sqrt{3}\right)}^2=192$, rezultă $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic, cu $m(\sphericalangle ABC)=90°$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat, deci ${\text{Aria}}_{ABCD}=A{B}^2$ (3 p), adică $12^2=144{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $VBC$ ($M$ mijlocul lui $BC$, $N$ mijlocul lui $CV$) și $OM$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$ ($O$ mijlocul lui $AC$, $M$ mijlocul lui $BC$) (2 p). Rezultă $MN\parallel BV$ și $OM\parallel AB$; cum $MN\cap OM=\{M\}$ și $BV\cap AB=\{B\}$, iar $MN\parallel BV$, $OM\parallel AB$, obținem $(NOM)\parallel (VAB)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Fie $P$ piciorul perpendicularei din $O$ pe $AM$, $P\in AM$. Cum $VO\perp (ABC)$ și $AM\subset (ABC)$, rezultă $VO\perp AM$; combinat cu $OP\perp AM$, obținem $AM\perp (VOP)$, deci $AM\perp VP$, adică $VP$ este înălțimea din $V$ a triunghiului $VAM$ (2 p). ${\text{Aria}}_{AOM}=\frac{1}{2}\cdot {\text{Aria}}_{ACM}=18{\text{cm}}^2$ și $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$ cm, deci $OP=\frac{2\cdot 18}{AM}=\frac{36}{6\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$ cm (2 p). Triunghiul $VOP$ este dreptunghic în $O$, deci $V{P}^2=V{O}^2+O{P}^2=8^2+{\left(\frac{6\sqrt{5}}{5}\right)}^2=64+\frac{36}{5}=\frac{356}{5}$, de unde $VP=\sqrt{\frac{356}{5}}=\frac{2\sqrt{445}}{5}$ cm (1 p).

Testul oficial de pregătire nr. 10, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală, și renumerotarea secvențială a itemilor Subiectului al II-lea, ale cărui subpuncte 4a) și 4b) au devenit Exercițiul 4 și Exercițiul 5, iar itemul original 5 a devenit Exercițiul 6). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 10 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, incompatibil cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă cu vârful $V$ și baza triunghiul $ABC$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor acestei piramide, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. De asemenea, Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea din documentul original avea două subpuncte a) și b), fiecare de 5 puncte; acestea au fost renumerotate secvențial ca Exercițiul 4 și Exercițiul 5, iar exercițiul original 5 a devenit Exercițiul 6, pentru a păstra structura de 6 exerciții grilă. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor cu paranteze, o regulă de trei simplă (prețul merelor), suma elementelor unei mulțimi definite printr-o inecuație, perimetrul rombului, unghiul dintre două drepte într-un cub, citirea unei diagrame circulare cu procente; numărul muchiilor unei piramide cu baza triunghi, determinarea unor cifre folosind suma cifrelor și divizibilitatea cu $5$, o problemă cu vârste, calcul cu radicali ($x=2\sqrt{2}$), o expresie cu puteri și modul arătată egală cu $2^{76}$, o expresie algebrică arătată a fi întotdeauna divizibilă cu $10$; geometrie plană (un triunghi cu un punct situat pe una dintre laturi — o lungime, distanța de la un vârf la o dreaptă, măsura unui unghi) și geometrie în spațiu (o piramidă patrulateră — aria bazei, paralelismul a două plane, înălțimea unui triunghi conținut în piramidă).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.