Testul oficial de pregătire nr. 11 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $2\cdot 10-10:(1+4)$ este egal cu: a) $14$ b) $18$ c) $2$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{2a}{9}=\frac{4}{3b}$, atunci numărul $a\cdot b-2$ este egal cu: a) $6$ b) $8$ c) $4$ d) $2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma pătratelor numerelor întregi din intervalul $[-1,2)$ este egală cu: a) $6$ b) $0$ c) $1$ d) $2$

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are latura de $5$ cm. Perimetrul acestui pătrat este egal cu: a) $20$ cm b) $25$ cm c) $10$ cm d) $15$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă triunghiulară $VABC$ cu înălțimea $VO$. Unghiul dreptelor $VO$ și $AB$ are măsura de:

a) $45°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos este prezentat profitul anual, exprimat în mii lei, realizat de o firmă în fiecare dintre ultimii cinci ani.

Conform informațiilor din diagramă, media profitului firmei, pentru ultimii cinci ani, este egală cu: a) $560$ mii lei b) $95$ mii lei c) $112$ mii lei d) $100$ mii lei

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Într-un trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, care este relația dintre laturile neparalele $AD$ și $BC$? a) $AD\parallel BC$ b) $AD\equiv BC$ c) $AD\perp BC$ d) $AD=2\cdot BC$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați cea mai mare valoare pe care o poate lua numărul natural $N=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$, știind că $a$, $b$ și $c$ sunt cifre distincte. Numărul $N$ este egal cu: a) $2997$ b) $2220$ c) $2664$ d) $2775$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi turistul a parcurs $40\%$ din lungimea traseului, în a doua zi turistul a parcurs $\frac{5}{6}$ din distanța rămasă de parcurs după prima zi, iar în a treia zi restul de $3$ km. Lungimea traseului parcurs în cele trei zile este egală cu: a) $30$ km b) $24$ km c) $36$ km d) $20$ km

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{12}}+\frac{3}{\sqrt{27}}+\frac{4}{\sqrt{48}}\right):\frac{2}{3}$. Numărul $a$ este egal cu: a) $\sqrt{3}$ b) $2\sqrt{2}$ c) $2\sqrt{3}$ d) $4\sqrt{3}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numărul $a=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{12}}+\frac{3}{\sqrt{27}}+\frac{4}{\sqrt{48}}\right):\frac{2}{3}=2\sqrt{3}$ și numărul real $b=\frac{\sqrt{26^2-10^2}}{\sqrt{20^2-16^2}}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Numărul $(a+b)\left|a-b\right|$ este egal cu: a) $0$ b) $6$ c) $12$ d) $5\sqrt{2}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=x(3x-2{)}^2-2\left(x^2-2x\right)(3x-2)+x\left(x^2-4x+4\right)$, unde $x$ este număr real. Pentru orice număr real $a$, valoarea expresiei $E(-a)+E(a)$ este egală cu: a) depinde de $a$ b) $8a^3$ c) $4a^3$ d) $0$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=10\sqrt{2}$ cm, $BC=20$ cm. Se consideră punctul $E$, mijlocul laturii $BC$, și punctul $F$ situat pe segmentul $AE$, astfel încât $BF\perp AE$.

Arătați că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $200\sqrt{2}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=10\sqrt{2}$ cm, $BC=20$ cm, punctul $E$ mijlocul laturii $BC$ și punctul $F$ situat pe segmentul $AE$, astfel încât $BF\perp AE$, ca în figura alăturată.

Arătați că lungimea segmentului $EF$ este egală cu $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=10\sqrt{2}$ cm, $BC=20$ cm, punctul $E$ mijlocul laturii $BC$ și punctul $F$ situat pe segmentul $AE$, astfel încât $BF\perp AE$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că punctele $B$, $F$ și $D$ sunt coliniare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru $ABCD$ cu $AB=AC=AD=10$ cm. Triunghiul $BCD$ este echilateral, are perimetrul egal cu $30$ cm, iar punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $AD$.

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $30$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou tetraedrul $ABCD$ cu $AB=AC=AD=10$ cm, triunghiul $BCD$ echilateral cu perimetrul egal cu $30$ cm, iar punctele $M$ și $N$ mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $AD$, ca în figura alăturată. Se consideră punctul $P$, mijlocul segmentului $BD$.

Demonstrați că dreapta $MP$ este paralelă cu planul $(ACD)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou tetraedrul $ABCD$ cu $AB=AC=AD=10$ cm, triunghiul $BCD$ echilateral cu perimetrul egal cu $30$ cm, iar punctele $M$ și $N$ mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $AD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că unghiul dreptelor $AB$ și $MN$ are măsura egală cu $45°$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $2\cdot 10-10:(1+4)=20-10:5=20-2=18$ (întâi paranteza și împărțirea, apoi scăderea).
2. c) Din $\frac{2a}{9}=\frac{4}{3b}$, prin înmulțire încrucișată: $6ab=36$, deci $ab=6$; atunci $a\cdot b-2=6-2=4$.
3. d) Numerele întregi din $[-1,2)$ sunt $-1,0,1$; suma pătratelor lor este $(-1{)}^2+0^2+1^2=1+0+1=2$.
4. a) Perimetrul pătratului $=4\cdot 5=20$ cm.
5. b) Cum $VO$ este înălțimea piramidei, $VO\perp$ planul bazei $ABC$; cum $AB$ este conținută în acest plan, rezultă $VO\perp AB$, deci unghiul dreptelor $VO$ și $AB$ are măsura de $90°$.
6. c) Media profitului $=\frac{60+80+100+140+180}{5}=\frac{560}{5}=112$ mii lei.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Într-un trapez isoscel, laturile neparalele sunt congruente: $AD\equiv BC$.
2. c) $N=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=111(a+b+c)$. Cum $a$, $b$ și $c$ sunt cifre distincte, cea mai mare valoare posibilă a sumei $a+b+c$ este $9+8+7=24$, deci cea mai mare valoare a lui $N$ este $111\cdot 24=2664$.
3. a) Dacă $x$ este lungimea traseului: $\frac{40}{100}\cdot x+\frac{5}{6}\left(x-\frac{40}{100}\cdot x\right)+3=x$, adică $0,4x+\frac{5}{6}\cdot 0,6x+3=x\Rightarrow 0,4x+0,5x+3=x\Rightarrow 0,1x=3\Rightarrow x=30$ km.
4. c) $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$, deci $a=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right):\frac{2}{3}=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac{3}{2}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$.
5. b) $26^2-10^2=676-100=576=24^2$ și $20^2-16^2=400-256=144=12^2$, deci $b=\frac{24}{12}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}=2\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$. Cum $a=2\sqrt{3}\approx 3,46$ și $b=3\sqrt{2}\approx 4,24$, avem $a-b<0$, deci $\left|a-b\right|=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$, iar $(a+b)\left|a-b\right|=(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})=(3\sqrt{2}{)}^2-(2\sqrt{3}{)}^2=18-12=6$.
6. d) Cum $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ și $2(x^2-2x)=2x(x-2)$, expresia devine $E(x)=x(3x-2{)}^2-2x(x-2)(3x-2)+x(x-2{)}^2=x{\left[(3x-2)-(x-2)\right]}^2=x(2x{)}^2=4x^3$, pentru orice număr real $x$. Atunci $E(-a)+E(a)=4(-a{)}^3+4a^3=-4a^3+4a^3=0$, pentru orice număr real $a$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Aria dreptunghiului $ABCD=AB\cdot BC$ (3 p), adică $10\sqrt{2}\cdot 20=200\sqrt{2}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Triunghiul $ABE$ este dreptunghic în $B$ (căci $E\in BC$ și $BC\perp AB$), deci $A{E}^2=A{B}^2+B{E}^2={\left(10\sqrt{2}\right)}^2+10^2=200+100=300$, de unde $AE=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$ cm (2 p). Triunghiul $ABE$ este dreptunghic în $B$ și $BF\perp AE$, deci $B{E}^2=EF\cdot AE$, de unde $EF=\frac{B{E}^2}{AE}=\frac{100}{10\sqrt{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Din itemul anterior, $EF=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm și $AE=10\sqrt{3}$ cm, deci $\frac{EF}{AE}=\frac{1}{3}$. Cum $AE$ este mediană în triunghiul $ABC$ ($E$ fiind mijlocul lui $BC$) și $F\in (AE)$ astfel încât $EF=\frac{1}{3}AE$, obținem că punctul $F$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ (3 p). $BO$ este mediană în triunghiul $ABC$, unde $\{O\}=AC\cap BD$ (diagonalele dreptunghiului se înjumătățesc reciproc, deci $O$ este mijlocul lui $AC$), deci $F\in (BO)$; cum $O$ este și mijlocul lui $BD$, de pe dreapta $BO$, obținem că punctele $B$, $F$ și $D$ sunt coliniare (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $3\cdot BC=30$ cm $\Rightarrow BC=10$ cm (3 p). Cum $AB=AC=10$ cm (date), perimetrul triunghiului $ABC=AB+AC+BC=10+10+10=30$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $M$ este mijlocul lui $BC$ și $P$ este mijlocul lui $BD$, deci $MP$ este linie mijlocie în triunghiul $BCD$ (2 p). Rezultă $MP\parallel CD$ și, cum $CD\subset (ACD)$, obținem $MP\parallel (ACD)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $NP$ este linie mijlocie în triunghiul $ABD$ ($N$ mijlocul lui $AD$, $P$ mijlocul lui $BD$), deci $NP\parallel AB$, de unde $m(\sphericalangle (AB,MN))=m(\sphericalangle (NP,MN))$ (2 p). $AM$, $DM$ sunt înălțimi în triunghiurile echilaterale $ABC$, respectiv $BCD$, cu $BC=10$ cm, deci $AM=DM=5\sqrt{3}$ cm (1 p). $MN$ este înălțime în triunghiul isoscel $AMD$ (dus din $M$ pe $AD$, cu $N$ mijlocul lui $AD$), deci $MN=\sqrt{D{M}^2-D{N}^2}=\sqrt{75-25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ cm; cum $MP=NP=5$ cm (linii mijlocii, egale cu jumătate din $BC$, respectiv $AB$), avem $M{N}^2=M{P}^2+N{P}^2$ ($50=25+25$), adică triunghiul $MNP$ este dreptunghic isoscel, de unde $m(\sphericalangle MNP)=45°$, deci $m(\sphericalangle (AB,MN))=45°$ (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 11, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 11 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină de desen incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre relația dintre laturile neparalele ale trapezului isoscel, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, un raport dintre litere dedus dintr-o proporție, suma pătratelor numerelor întregi dintr-un interval, perimetrul unui pătrat, unghiul dintre înălțimea unei piramide triunghiulare și o latură a bazei, media aritmetică citită dintr-o diagramă cu bare (profitul anual al unei firme); proprietatea laturilor neparalele ale unui trapez isoscel, cel mai mare număr natural format din permutări circulare ale unor cifre distincte, un procent aplicat succesiv unui traseu turistic parcurs în trei etape, simplificarea unor radicali și calculul unei expresii cu module, o expresie algebrică arătată a fi constantă (o sumă egală cu $0$ pentru orice număr real); geometrie plană (un dreptunghi — arie, teorema catetei, centrul de greutate al unui triunghi, coliniaritatea a trei puncte) și geometrie în spațiu (un tetraedru — perimetrul unei fețe, o dreaptă paralelă cu un plan, unghiul dintre două drepte).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.