Testul oficial de pregătire nr. 12 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $8\cdot 6-6:2$ este egal cu: a) $21$ b) $48$ c) $45$ d) $3$

Exercițiul 2 · 5 puncte Opt cărți de același fel costă în total $40$ de lei. Două dintre aceste cărți costă în total: a) $10$ lei b) $5$ lei c) $20$ lei d) $16$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr natural care aparține intervalului $\left[-3,4\right]$ este: a) $-3$ b) $0$ c) $1$ d) $4$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dreptunghiul $ABCD$ are $AB=6$ cm și $BC=4$ cm. Perimetrul acestui dreptunghi este egal cu: a) $48$ cm b) $24$ cm c) $10$ cm d) $20$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $AD$ și $B{B}^{\prime }$ are măsura de:

a) $45°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos este prezentată repartiția după vârstă a elevilor unui club sportiv.

Conform informațiilor din diagramă, numărul elevilor acestui club sportiv care au vârsta de cel mult $8$ ani este egal cu: a) $480$ b) $220$ c) $300$ d) $180$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui triunghi echilateral $ABC$. Măsura fiecărui unghi al triunghiului echilateral $ABC$ este egală cu: a) $90°$ b) $45°$ c) $120°$ d) $60°$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $a-\frac{1}{a}=3$, unde $a$ este număr real nenul, valoarea expresiei $a^2+\frac{1}{a^2}$ este egală cu: a) $9$ b) $11$ c) $7$ d) $13$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un test conține $30$ de întrebări. Pentru fiecare răspuns corect se acordă $5$ puncte, iar pentru fiecare răspuns greșit se scad $2$ puncte. Nu se acordă puncte din oficiu. Alina, care a răspuns la toate cele $30$ de întrebări, a obținut $122$ de puncte. Numărul de întrebări din test la care Alina a răspuns corect este egal cu: a) $24$ b) $28$ c) $26$ d) $4$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=3+2\sqrt{2}+\left|2\sqrt{2}-3\right|$. Valoarea lui $a$ este egală cu: a) $6$ b) $4\sqrt{2}$ c) $3$ d) $2\sqrt{2}+3$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=3+2\sqrt{2}+\left|2\sqrt{2}-3\right|$ și $b=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}}\right)$. Partea întreagă a numărului $N=\sqrt{a+b}$ este egală cu: a) $2,5$ b) $3$ c) $2$ d) $5$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)={\left(2x+3\right)}^2-\left(x-3\right)\left(x+7\right)-2{\left(x-2\right)}^2$, unde $x$ este număr real. Numărul real $a$ pentru care $E(a)$ are cea mai mică valoare posibilă este egal cu: a) $8$ b) $-8$ c) $-4$ d) $16$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=20$ cm, $AD=10$ cm și $CD=10$ cm, și un pătrat $ADMN$.

Arătați că perimetrul trapezului $ABCD$ este egal cu $50$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=20$ cm, $AD=10$ cm și $CD=10$ cm, și pătratul $ADMN$, ca în figura alăturată.

Calculați măsura unghiului $DCM$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=20$ cm, $AD=10$ cm și $CD=10$ cm, și pătratul $ADMN$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că punctele $B$, $D$ și $M$ sunt coliniare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un pătrat $ABCD$ cu latura de $8$ cm și $MO\perp \left(ABC\right)$, unde $\left\{O\right\}=AC\cap BD$, cu $MO=4\sqrt{6}$ cm.

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $64{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ cu latura de $8$ cm și $MO\perp \left(ABC\right)$, unde $\left\{O\right\}=AC\cap BD$, cu $MO=4\sqrt{6}$ cm, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $MB$ și planul $\left(ABC\right)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ cu latura de $8$ cm și $MO\perp \left(ABC\right)$, unde $\left\{O\right\}=AC\cap BD$, cu $MO=4\sqrt{6}$ cm, iar $N$ este proiecția punctului $O$ pe planul $\left(MBC\right)$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că $N$ este ortocentrul triunghiului $MBC$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $8\cdot 6-6:2=48-3=45$ (întâi înmulțirea și împărțirea, apoi scăderea).
2. a) O carte costă $40:8=5$ lei, deci două cărți costă $2\cdot 5=10$ lei.
3. b) Numerele naturale din $\left[-3,4\right]$ sunt $0,1,2,3,4$; cel mai mic dintre ele este $0$.
4. d) Perimetrul dreptunghiului $=2\left(AB+BC\right)=2\left(6+4\right)=20$ cm.
5. b) Cum $B{B}^{\prime }\perp$ planul bazei $\left(ABCD\right)$ (muchie laterală a paralelipipedului dreptunghic) și dreapta $AD$ este conținută în acest plan, rezultă $AD\perp B{B}^{\prime }$, deci unghiul dreptelor $AD$ și $B{B}^{\prime }$ are măsura de $90°$.
6. c) Elevii cu vârsta de cel mult $8$ ani sunt cei de $6$, $7$ și $8$ ani: $80+120+100=300$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Într-un triunghi echilateral $ABC$, toate cele trei unghiuri sunt congruente, iar suma lor este $180°$, deci fiecare are măsura $180°:3=60°$.
2. b) ${\left(a-\frac{1}{a}\right)}^2=9\Rightarrow a^2-2\cdot a\cdot \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=9\Rightarrow a^2+\frac{1}{a^2}=9+2=11$.
3. c) Dacă $n$ este numărul de răspunsuri corecte, $5n-2\left(30-n\right)=122\Rightarrow 7n-60=122\Rightarrow 7n=182\Rightarrow n=26$.
4. a) Cum $2\sqrt{2}\approx 2,83<3$, avem $2\sqrt{2}-3<0$, deci $\left|2\sqrt{2}-3\right|=3-2\sqrt{2}$; astfel $a=3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=6$.
5. c) $b=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$. Cum $a=6$, obținem $N=\sqrt{6+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2,5$, deci partea întreagă a numărului $N$ este $2$.
6. b) $E\left(x\right)=4x^2+12x+9-\left(x^2+7x-3x-21\right)-2\left(x^2-4x+4\right)=x^2+16x+22$, pentru orice număr real $x$. Cum $E\left(a\right)=a^2+16a+22={\left(a+8\right)}^2-42$, $E\left(a\right)$ are cea mai mică valoare posibilă dacă $a+8=0$, deci $a=-8$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ este trapez isoscel, deci $BC=AD$ (2 p). Perimetrul $P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=20+10+10+10=50$ cm (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Fie $E\in AB$ cu $DE\perp AB$; atunci $AE=\frac{AB-CD}{2}=\frac{20-10}{2}=5$ cm, iar triunghiul $ADE$ este dreptunghic în $E$ cu $AE=\frac{AD}{2}$ (deoarece $AD=10$ cm), deci $m\left(\sphericalangle ADE\right)=30°$, de unde $m\left(\sphericalangle ADC\right)=90°+30°=120°$ (2 p). Cum $ADMN$ este pătrat, $m\left(\sphericalangle MDA\right)=90°$, deci $m\left(\sphericalangle MDC\right)=360°-90°-120°=150°$; iar $DM=DC$ (ambele egale cu latura $10$ cm), deci triunghiul $DMC$ este isoscel, cu $m\left(\sphericalangle DCM\right)=\frac{180°-150°}{2}=15°$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $ABCD$ este trapez isoscel, deci $\sphericalangle ADC\equiv \sphericalangle BCD$, adică $m\left(\sphericalangle BCD\right)=120°$; cum $BC=CD$ (ambele $=10$ cm, trapez isoscel), triunghiul $BCD$ este isoscel, cu $m\left(\sphericalangle BDC\right)=m\left(\sphericalangle DBC\right)=\frac{180°-120°}{2}=30°$ (3 p). Cum $m\left(\sphericalangle MDC\right)=150°$ (arătat mai sus), rezultă $m\left(\sphericalangle MDB\right)=m\left(\sphericalangle MDC\right)+m\left(\sphericalangle CDB\right)=150°+30°=180°$, deci punctele $B$, $D$ și $M$ sunt coliniare (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2$ (2 p), adică $=8^2=64{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $MO\perp \left(ABC\right)\Rightarrow m\left(\sphericalangle \left(MB,\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\sphericalangle \left(MB,OB\right)\right)=m\left(\sphericalangle MBO\right)$ (2 p). Triunghiul $MOB$ este dreptunghic în $O$, cu $BO=\frac{AC}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$ cm, deci $\text{tg}\left(\sphericalangle MBO\right)=\frac{MO}{BO}=\frac{4\sqrt{6}}{4\sqrt{2}}=\sqrt{3}$, de unde $m\left(\sphericalangle MBO\right)=60°$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $ON\perp \left(MBC\right)\Rightarrow ON\perp BC$; $MO\perp BC$ (deoarece $MO\perp \left(ABC\right)$ și $BC\subset \left(ABC\right)$) și, cum $ON\cap MO=\left\{O\right\}$, rezultă $BC\perp \left(MON\right)$, de unde $BC\perp MN$, deci dreapta $MN$ conține înălțimea din $M$ a triunghiului $MBC$ (2 p). $BO\perp OC$ (diagonalele pătratului), $BO\perp MO$ și, cum $OC\cap MO=\left\{O\right\}$, rezultă $BO\perp \left(MOC\right)$, deci $BO\perp MC$ (1 p). $ON\perp \left(MBC\right)\Rightarrow ON\perp MC$; $BO\perp MC$ și, cum $ON\cap BO=\left\{O\right\}$, rezultă $MC\perp \left(BON\right)$, de unde $MC\perp BN$, deci dreapta $BN$ conține înălțimea din $B$ a triunghiului $MBC$; cum dreptele $MN$ și $BN$ conțin două înălțimi ale triunghiului $MBC$ și se intersectează în $N$, punctul $N$ este ortocentrul triunghiului $MBC$ (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 12, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 12 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un triunghi echilateral $ABC$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre măsura unghiurilor triunghiului echilateral, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, procentul (costul unor cărți identice), cel mai mic număr natural dintr-un interval, perimetrul dreptunghiului, unghiul dintre două drepte într-un paralelipiped dreptunghic, citirea unei diagrame statistice; măsura unghiurilor unui triunghi echilateral, o expresie algebrică cu $a-\frac{1}{a}$, o problemă cu punctaj (răspunsuri corecte/greșite la un test), numere reale cu radicali și modul, calculul părții întregi a unui număr cu radicali, o expresie de gradul al doilea adusă la forma unui pătrat perfect pentru determinarea valorii minime; geometrie plană (un trapez isoscel cu un pătrat alăturat — perimetru, unghi, coliniaritate) și geometrie în spațiu (un pătrat cu o perpendiculară pe planul său — arie, unghiul dintre o dreaptă și un plan, ortocentrul unui triunghi obținut prin proiecție).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.