Testul oficial de pregătire nr. 13 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(2+3)\cdot 10-10:5$ este egal cu: a) $48$ b) $8$ c) $40$ d) $30$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x+2}{12}=\frac{7}{6}$, atunci $x$ este egal cu: a) $14$ b) $12$ c) $84$ d) $5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural care aparține intervalului $[-1,7)$ este: a) $7$ b) $0$ c) $6$ d) $-1$

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are latura de $5$ cm. Diagonala acestui pătrat are lungimea egală cu: a) $10$ cm b) $25$ cm c) $5$ cm d) $5\sqrt{2}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$. Unghiul dreptelor $AB$ și $DG$ are măsura de:

a) $45°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos este prezentată repartiția notelor obținute la un test inițial la matematică, de elevii claselor a VIII-a dintr-o școală.

Conform informațiilor din diagramă, numărul elevilor care au obținut nota $8$ este mai mare decât numărul elevilor care au obținut nota $4$ cu: a) $24$ b) $25$ c) $45$ d) $9$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Numărul muchiilor paralelipipedului dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu: a) $8$ b) $12$ c) $6$ d) $10$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numerele prime $a$, $b$ și $c$, știind că $a<b<c$ și $\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}=154$. Numărul $c$ este egal cu: a) $7$ b) $5$ c) $2$ d) $11$

Exercițiul 3 · 5 puncte Prețul unui obiect este $360$ de lei. După o ieftinire cu $p\%$ din prețul obiectului, urmată de o nouă ieftinire cu $25\%$, noul preț va fi $243$ de lei. Numărul $p$ este egal cu: a) $15$ b) $20$ c) $10$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $x=2\sqrt{3}\left(\sqrt{75}-2\sqrt{108}+\sqrt{243}\right)$. Numărul real $x$ este egal cu: a) $12$ b) $6$ c) $24$ d) $18$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=2\sqrt{3}\left(\sqrt{75}-2\sqrt{108}+\sqrt{243}\right)$ și $y=\left(\frac{2}{5\sqrt{7}}+\frac{5}{2\sqrt{7}}\right)\cdot \sqrt{700}-\sqrt{(-2{)}^2}$. Diferența dintre media aritmetică și media geometrică a numerelor $x$ și $y$ este egală cu: a) $19,5$ b) $1,5$ c) $18$ d) $9$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(2x+3{)}^2+x(x-15)-4(x-1{)}^2+1$, unde $x$ este număr real. Se știe că $E(x)=(x+a)(x+b)$, pentru orice număr real $x$, unde $a$ și $b$, cu $a<b$, sunt numere reale. Numărul $N=a^2+b^2$ este egal cu: a) $5$ b) $25$ c) $13$ d) $6$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un romb $ABCD$ cu $AB=18$ cm și $m(\angle ABC)=60°$.

Arătați că perimetrul rombului $ABCD$ este egal cu $72$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou rombul $ABCD$ cu $AB=18$ cm și $m(\angle ABC)=60°$, ca în figura alăturată.

Arătați că lungimea diagonalei $BD$ este egală cu $18\sqrt{3}$ cm.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou rombul $ABCD$ cu $AB=18$ cm și $m(\angle ABC)=60°$, ca în figura alăturată.

Pe laturile $AB$, $BC$, $CD$ și $DA$ ale rombului $ABCD$ se consideră punctele $M$, $N$, $P$, respectiv $Q$, astfel încât $MN\parallel AC$ și $MNPQ$ este pătrat. Demonstrați că $\left(\sqrt{3}+1\right)MN=BD$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi dreptunghic $ABC$ cu $AB\perp AC$, $AB=4\sqrt{10}$ cm, $AC=12\sqrt{10}$ cm și $PA\perp (ABC)$, $PA=12$ cm. Punctul $D$ este proiecția punctului $A$ pe dreapta $BC$.

Arătați că $BC=40$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $AB\perp AC$, $AB=4\sqrt{10}$ cm, $AC=12\sqrt{10}$ cm și $PA\perp (ABC)$, $PA=12$ cm, iar punctul $D$ este proiecția punctului $A$ pe dreapta $BC$, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $PD$ și planul $(ABC)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $AB\perp AC$, $AB=4\sqrt{10}$ cm, $AC=12\sqrt{10}$ cm și $PA\perp (ABC)$, $PA=12$ cm, iar punctul $D$ este proiecția punctului $A$ pe dreapta $BC$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că numărul care reprezintă distanța, măsurată în centimetri, de la punctul $A$ la planul $(PBC)$ aparține mulțimii $I=(8,46;8,52)$. Se presupune cunoscut faptul că $1,41<\sqrt{2}<1,42$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $(2+3)\cdot 10-10:5=5\cdot 10-2=50-2=48$ (întâi paranteza și împărțirea, apoi scăderea).
2. b) $\frac{x+2}{12}=\frac{7}{6}\Rightarrow x+2=\frac{7\cdot 12}{6}=14\Rightarrow x=12$.
3. c) Numerele întregi din $[-1,7)$ sunt $-1,0,1,2,3,4,5,6$; cel mai mare număr natural dintre acestea este $6$.
4. d) Diagonala pătratului de latură $l$ este $l\sqrt{2}$, deci diagonala $=5\sqrt{2}$ cm.
5. a) Cum $DC\parallel AB$ și $DG$ este diagonala feței $DCGH$ (pătrat), unghiul dintre $DC$ și $DG$ este $45°$, deci unghiul dintre $AB$ și $DG$ are măsura de $45°$.
6. b) Din diagramă, nota $8$ are $35$ de elevi, iar nota $4$ are $10$ elevi; diferența este $35-10=25$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Un paralelipiped dreptunghic are $6$ fețe, $8$ vârfuri și $12$ muchii ($4$ muchii pe baza $ABCD$, $4$ pe baza $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ și $4$ muchii laterale $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$).
2. a) $\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}=(10a+b)+(10b+c)+(10c+a)=11(a+b+c)=154$, deci $a+b+c=14$, număr par, deci nu toate numerele $a$, $b$ și $c$ sunt impare; cum $a<b<c$ sunt prime, obținem $a=2$, $b=5$ și $c=7$.
3. c) Dacă $x$ este prețul după ieftinirea cu $p\%$, atunci $x-25\%\cdot x=243\Rightarrow x=324$; din $360-\frac{p}{100}\cdot 360=324$ obținem $\frac{p}{100}\cdot 360=36$, deci $p=10$.
4. a) $x=2\sqrt{3}\left(5\sqrt{3}-2\cdot 6\sqrt{3}+9\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=12$.
5. b) $y=\frac{2\cdot 2+5\cdot 5}{10\sqrt{7}}\cdot 10\sqrt{7}-2=29-2=27$; $m_a=\frac{x+y}{2}=\frac{12+27}{2}=19,5$ și $m_g=\sqrt{xy}=\sqrt{12\cdot 27}=18$, deci diferența este $m_a-m_g=19,5-18=1,5$.
6. c) $E(x)=4x^2+12x+9+x^2-15x-4\left(x^2-2x+1\right)+1=x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, pentru orice număr real $x$, deci $a=2$ și $b=3$, iar $N=a^2+b^2=4+9=13$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ fiind romb, toate laturile sunt egale cu $AB=18$ cm (3 p), deci perimetrul $P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot 18=72$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $ABCD$ romb $\Rightarrow BO\perp AC$, unde $\{O\}=AC\cap BD$, deci $BO$ este înălțime în triunghiul echilateral $ABC$ (căci $AB=BC=18$ cm și $m(\angle ABC)=60°$), deci $BO=9\sqrt{3}$ cm (3 p). $O$ este mijlocul segmentului $BD\Rightarrow BD=2\cdot BO=18\sqrt{3}$ cm (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $MN\parallel AC\Rightarrow △BMN\sim △BAC\Rightarrow \frac{MN}{AC}=\frac{BM}{BA}$ și, cum $MNPQ$ pătrat și $AC\perp BD$, obținem $MQ\parallel BD$, deci $△AMQ\sim △ABD\Rightarrow \frac{MQ}{BD}=\frac{AM}{AB}$, de unde $\frac{MN}{AC}+\frac{MQ}{BD}=\frac{AM}{AB}+\frac{BM}{BA}=1$ (3 p). Cum $MN=MQ$ (pătrat), $\frac{MN}{18}+\frac{MN}{18\sqrt{3}}=1\Rightarrow \left(\sqrt{3}+1\right)MN=18\sqrt{3}$ cm, deci $\left(\sqrt{3}+1\right)MN=BD$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $△ABC$ este dreptunghic în $A$, deci $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2={\left(4\sqrt{10}\right)}^2+{\left(12\sqrt{10}\right)}^2=160+1440=1600$ (2 p), adică $BC=\sqrt{1600}=40$ cm (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $PA\perp (ABC)\Rightarrow \sphericalangle \left(PD,(ABC)\right)=\sphericalangle (PD,AD)=\sphericalangle PDA$ (2 p). $△ABC$ este dreptunghic în $A$ și $AD\perp BC\Rightarrow AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{4\sqrt{10}\cdot 12\sqrt{10}}{40}=12$ cm și, cum $PA=12$ cm și $PA\perp AD$, obținem că $△PAD$ este dreptunghic isoscel, deci $m(\sphericalangle PDA)=45°$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $BC\perp PA$, $BC\perp AD$ și $PA\cap AD=\{A\}\Rightarrow BC\perp (PAD)$ și, cum $AM\subset (PAD)$, unde $M\in PD$ astfel încât $AM\perp PD$, obținem $BC\perp AM$ (2 p). $AM\perp BC$, $AM\perp PD$ și $BC\cap PD=\{D\}\Rightarrow AM\perp (PBC)$, deci $d\left(A,(PBC)\right)=AM$ (1 p). $△PAD$ este dreptunghic isoscel cu $PA=12$ cm, deci $AM=6\sqrt{2}$ cm și, cum $1,41<\sqrt{2}<1,42$, obținem $8,46<AM<8,52$, deci distanța, măsurată în centimetri, de la punctul $A$ la planul $(PBC)$ aparține mulțimii $I=(8,46;8,52)$ (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 13, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 13 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau rezolvare completă sau doar rezultatul, fără variante de răspuns, la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor paralelipipedului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o ecuație cu fracții, suma/cel mai mare element al unui interval de numere naturale, diagonala pătratului, unghiul dintre două drepte într-un cub, interpretarea unei diagrame statistice cu note; numărul muchiilor unui paralelipiped dreptunghic, numere prime dintr-o relație cu numere de două cifre, un procent aplicat succesiv unei reduceri de preț, un calcul cu radicali arătat a fi egal cu un număr întreg, diferența dintre media aritmetică și media geometrică a două numere reale, o expresie algebrică descompusă în factori; geometrie plană (un romb cu perimetru, diagonală și un pătrat înscris cu vârfuri pe laturi) și geometrie în spațiu (un triunghi dreptunghic cu o perpendiculară pe planul său — teorema lui Pitagora, unghiul dintre o dreaptă și un plan, distanța de la un punct la un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.