Testul oficial de pregătire nr. 16 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(7+3):5-2$ este egal cu: a) $8$ b) $3$ c) $0$ d) $2$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{12}=\frac{5}{4}$, atunci $x$ este egal cu: a) $9$ b) $15$ c) $20$ d) $12$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr natural de două cifre este egal cu: a) $10$ b) $0$ c) $11$ d) $1$

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are $AB=6$ cm. Aria acestui pătrat este egală cu: a) $12{\text{cm}}^2$ b) $24{\text{cm}}^2$ c) $6{\text{cm}}^2$ d) $36{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă patrulateră $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza dreptunghiul $ABCD$. Unghiul dreptelor $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ are măsura de:

a) $90°$ b) $45°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate la o stație meteorologică, la aceeași oră, în fiecare zi a unei săptămâni din luna aprilie.

Conform informațiilor din tabel, media temperaturilor înregistrate în acea săptămână este egală cu: a) $119°C$ b) $17°C$ c) $18°C$ d) $14°C$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se desenează, pe foaia de examen, un triunghi isoscel cu vârful $A$ și baza $BC$.

Laturile congruente ale acestui triunghi isoscel sunt: a) $AB$ și $BC$ b) $AC$ și $BC$ c) $AB$ și $AC$ d) toate trei laturile ($AB=AC=BC$)

Exercițiul 2 · 5 puncte Calculați media aritmetică a numerelor reale $x={\left(3^2\right)}^{40}:3^{76}-10$ și $y=\left(2^{40}+2^{41}+2^{42}\right):2^{38}+2020^0$. Media aritmetică a numerelor $x$ și $y$ este egală cu: a) $71$ b) $29$ c) $100$ d) $50$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un autoturism a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi autoturismul a parcurs $30\%$ din lungimea traseului, în a doua zi jumătate din restul traseului, iar a treia zi autoturismul a parcurs restul de $350$ km. Lungimea întregului traseu este egală cu: a) $700$ km b) $1000$ km c) $500$ km d) $1400$ km

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{4}{5}\right)\cdot 30$. Numărul $a$ este egal cu: a) $30$ b) $59$ c) $79$ d) $49$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{4}{5}\right)\cdot 30$ și $b=\left(\frac{3}{\sqrt{27}}-\frac{8}{\sqrt{12}}+\frac{5}{\sqrt{75}}\right):\frac{\sqrt{3}}{12}$. Numărul ${\left(\sqrt{a}+b\right)}^{2020}$ este egal cu: a) $-1$ b) $0$ c) $1$ d) $2020$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(3x-1{)}^2-7(x+1)(x-2)-(x+3{)}^2$, unde $x$ este număr real. Produsul $E(0)\cdot E(1)\cdot E(2)\cdot \dots \cdot E(2020)$ este egal cu: a) $0$ b) $6$ c) $2020$ d) nu se poate determina

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt situate pe laturile $BC$, respectiv $AD$, astfel încât $BM=8$ cm și $AN=2$ cm. Punctul $E$ este proiecția punctului $D$ pe dreapta $MN$.

Arătați că perimetrul patrulaterului $ABCD$ este egal cu $32$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm, ca în figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ sunt situate pe laturile $BC$, respectiv $AD$, astfel încât $BM=8$ cm și $AN=2$ cm. Punctul $E$ este proiecția punctului $D$ pe dreapta $MN$.

Demonstrați că $△DEN$ este dreptunghic isoscel.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm, ca în figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ sunt situate pe laturile $BC$, respectiv $AD$, astfel încât $BM=8$ cm și $AN=2$ cm. Punctul $E$ este proiecția punctului $D$ pe dreapta $MN$.

Știind că $BF\perp MN$, $F\in MN$, demonstrați că $BEDF$ este paralelogram.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat, $AB=10$ cm, $VO=5\sqrt{3}$ cm și $VO\perp (ABC)$, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, $CD$ și, respectiv, $CV$.

Arătați că $AC=10\sqrt{2}$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat, $AB=10$ cm, $VO=5\sqrt{3}$ cm și $VO\perp (ABC)$, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, $CD$ și, respectiv, $CV$.

Demonstrați că planele $(MNP)$ și $(BDV)$ sunt paralele.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat, $AB=10$ cm, $VO=5\sqrt{3}$ cm și $VO\perp (ABC)$, iar punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, $CD$ și, respectiv, $CV$.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $VM$ și planul $(ABC)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $(7+3):5-2=10:5-2=2-2=0$.
2. b) $\frac{x}{12}=\frac{5}{4}\Rightarrow x=12\cdot \frac{5}{4}=15$.
3. a) Cel mai mic număr natural de două cifre este $10$.
4. d) Aria pătratului $=A{B}^2=6^2=36{\text{cm}}^2$.
5. a) Cum $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ și $AB\perp BC$ (laturi ale dreptunghiului $ABCD$), rezultă $AB\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$, deci unghiul dreptelor $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ are măsura de $90°$.
6. b) Media $=\frac{18+16+15+19+17+20+14}{7}=\frac{119}{7}=17$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Într-un triunghi isoscel cu vârful $A$ și baza $BC$, laturile congruente sunt cele care pleacă din vârf: $AB=AC$.
2. d) $x={\left(3^2\right)}^{40}:3^{76}-10=3^{80}:3^{76}-10=3^4-10=81-10=71$; $y=\left(2^{40}+2^{41}+2^{42}\right):2^{38}+2020^0=2^{40}\cdot 7:2^{38}+1=2^2\cdot 7+1=28+1=29$; media aritmetică $=\frac{71+29}{2}=\frac{100}{2}=50$.
3. b) Dacă $x$ este lungimea traseului: $x-30\%\cdot x=0,7x$ rămâne după prima zi; a doua zi se parcurge $\frac{1}{2}\cdot 0,7x=0,35x$, iar restul (a treia zi) este tot $0,35x=350\Rightarrow x=1000$ km.
4. d) $a=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{4}{5}\right)\cdot 30=\left(\frac{10}{30}+\frac{15}{30}+\frac{24}{30}\right)\cdot 30=\frac{49}{30}\cdot 30=49$.
5. c) $b=\left(\frac{3}{\sqrt{27}}-\frac{8}{\sqrt{12}}+\frac{5}{\sqrt{75}}\right):\frac{\sqrt{3}}{12}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}\right):\frac{\sqrt{3}}{12}=\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\cdot \frac{12}{\sqrt{3}}=-8$; cum $a=49$, rezultă ${\left(\sqrt{a}+b\right)}^{2020}=(7-8{)}^{2020}=(-1{)}^{2020}=1$.
6. a) $E(x)=(3x-1{)}^2-7(x+1)(x-2)-(x+3{)}^2=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, pentru orice $x$ real; cum $E(2)=0$ și $2\in \{0,1,2,\dots ,2020\}$, produsul $E(0)\cdot E(1)\cdot E(2)\cdots E(2020)=0$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ este dreptunghi, deci perimetrul $P_{ABCD}=2(AB+BC)$ (3 p), adică $2(6+10)=32$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Fie $Q$ piciorul perpendicularei din $M$ pe $AD$. Patrulaterul $MCDQ$ este dreptunghi (are trei unghiuri drepte), deci $MQ=CD=6$ cm și $QD=MC=BC-BM=10-8=2$ cm, de unde $QN=AD-AN-QD=10-2-2=6$ cm; triunghiul $MQN$ este dreptunghic în $Q$ cu $MQ=QN=6$ cm, deci este dreptunghic isoscel, iar $m(\sphericalangle MNQ)=45°$, adică $m(\sphericalangle DNE)=45°$ (căci $E\in MN$, $Q\in ND$) (3 p). Triunghiul $DEN$ este dreptunghic în $E$ (din construcție, $DE\perp MN$) și are un unghi de $45°$, deci $△DEN$ este dreptunghic isoscel (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $DN=AD-AN=10-2=8$ cm $=BM$; cum $DN\parallel BM$ (fiind conținute în laturile paralele $AD$ și $BC$ ale dreptunghiului), rezultă $\sphericalangle DNE\equiv \sphericalangle BMF$ (unghiuri alterne interne față de secanta $MN$); triunghiurile dreptunghice $DNE$ și $BMF$ (drepte în $E$, respectiv $F$) au $DN=BM$ și un unghi ascuțit congruent, deci $△DNE\equiv △BMF$, de unde $DE=BF$ (3 p). Cum $DE\perp MN$ și $BF\perp MN$, rezultă $DE\parallel BF$; cum și $DE=BF$, patrulaterul $BEDF$ are o pereche de laturi opuse paralele și congruente, deci este paralelogram (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat, deci $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=10^2+10^2=200$ (3 p), adică $AC=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $M$, $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $CD$, deci $MN$ este linie mijlocie în $△BCD$, deci $MN\parallel BD$; $M$, $P$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $CV$, deci $MP$ este linie mijlocie în $△VBC$, deci $MP\parallel VB$ (2 p). $MN$ și $MP$ sunt drepte concurente (în $M$), conținute în planul $(MNP)$, paralele respectiv cu $BD$ și $VB$ — drepte concurente (în $B$), conținute în planul $(BDV)$ —, deci $(MNP)\parallel (BDV)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Cum $VO\perp (ABC)$, $O$ este proiecția lui $V$ pe planul $(ABC)$; cum $M\in (ABC)$, proiecția segmentului $VM$ pe acest plan este $OM$, deci unghiul dintre dreapta $VM$ și planul $(ABC)$ este $\sphericalangle VMO$. $OM$ este linie mijlocie în $△ABC$ (unește mijlocul diagonalei $AC$ cu mijlocul laturii $BC$), deci $OM=\frac{AB}{2}=5$ cm (2 p). Triunghiul $VOM$ este dreptunghic în $O$, cu $VO=5\sqrt{3}$ cm și $OM=5$ cm, deci $\text{tg}\left(\sphericalangle VMO\right)=\frac{VO}{OM}=\frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}$, de unde $m\left(\sphericalangle VMO\right)=60°$ (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 16, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020, în perioada învățământului online (pandemie). Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 16 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020, în perioada învățământului desfășurat online (pandemie). Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un triunghi isoscel cu vârful $A$ și baza $BC$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre laturile congruente ale acestui triunghi, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o proporție, cel mai mic număr natural de două cifre, aria pătratului, unghiul dintre două drepte într-o prismă patrulateră cu baza dreptunghi, media aritmetică a unor temperaturi; laturile congruente ale unui triunghi isoscel, media aritmetică a două numere reale calculate cu puteri, un procent dintr-o problemă cu un traseu parcurs în trei zile, o expresie cu radicali arătată a fi egală cu $49$, calculul unei puteri de forma $(\sqrt{a}+b{)}^{2020}$, o expresie algebrică al cărei produs de valori este $0$; geometrie plană (un dreptunghi cu puncte pe laturi, proiecții ale vârfurilor, un triunghi dreptunghic isoscel, un paralelogram) și geometrie în spațiu (o piramidă patrulateră — plane paralele, unghiul dintre o dreaptă și un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.