Testul oficial de pregătire nr. 17 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $28:4-2$ este egal cu: a) $14$ b) $12$ c) $5$ d) $26$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{a+6}{6}=\frac{4}{3}$, atunci $a$ este egal cu: a) $8$ b) $-2$ c) $6$ d) $2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr întreg din intervalul $\left(-2,10\right]$ este egal cu: a) $-2$ b) $0$ c) $-1$ d) $10$

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul unui triunghi echilateral este egal cu $24$ cm. Lungimea unei laturi a acestui triunghi este egală cu: a) $24$ cm b) $8$ cm c) $12$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $A{D}^{\prime }$ și $BC$ are măsura de:

a) $45°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este dată o dependență funcțională $y=x+2$.

Conform informațiilor din tabel, numărul real $m$ este egal cu: a) $5$ b) $3$ c) $7$ d) $10$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui paralelogram $ABCD$. În orice paralelogram $ABCD$, relația dintre laturile opuse $AB$ și $CD$ este: a) $AB=CD$ și $AB\parallel CD$ b) $AB=CD$, dar $AB$ nu este paralelă cu $CD$ c) $AB\parallel CD$, dar $AB\ne CD$ d) $AB\perp CD$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numărul $a=4^{n+2}+2^{2n}-2^{2n+3}$, unde $n$ este număr natural. Arătând că $a$ este pătratul unui număr natural, acel număr natural (al cărui pătrat este egal cu $a$) este: a) $9\cdot 2^n$ b) $3\cdot 2^n$ c) $2^{n+2}$ d) $3\cdot 2^{n+1}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Bianca a plecat în excursie cu o sumă de bani. A plătit $40\%$ din sumă pentru cazare și trei cincimi din rest pentru biletele la obiectivele turistice. Știind că i-au rămas $96$ de lei, suma de bani cu care a plecat Bianca în excursie este egală cu: a) $240$ lei b) $480$ lei c) $400$ lei d) $600$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{3^2\cdot 4^2}$ și $y=\left(\sqrt{12}+\sqrt{48}-\sqrt{27}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$. Arătați că $x=60$. Valoarea numărului real $x$ este egală cu: a) $25$ b) $60$ c) $300$ d) $12$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{3^2\cdot 4^2}$ și $y=\left(\sqrt{12}+\sqrt{48}-\sqrt{27}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$. Determinați numărul real $z$, știind că media aritmetică a numerelor $x$, $y$ și $z$ este egală cu $30$. Numărul real $z$ este egal cu: a) $27$ b) $30$ c) $63$ d) $90$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(4x-5\right)}^2-2\left(8x^2-30x+25\right)+{\left(2x-5\right)}^2$, unde $x$ este număr real. Arătând că $E\left(x\right)=4x^2$, pentru orice număr real $x$, valoarea lui $E\left(-x\right)$ este egală cu: a) $-4x^2$ b) $16x^4$ c) $2x^2$ d) $4x^2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=6\sqrt{3}$ cm și $AD=6$ cm. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt situate pe laturile $AB$, $BC$, $CD$ și, respectiv, $DA$, astfel încât $BM=PD$ și $AQ=NC$, iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Arătați că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=6\sqrt{3}$ cm și $AD=6$ cm. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt situate pe laturile $AB$, $BC$, $CD$ și, respectiv, $DA$, astfel încât $BM=PD$ și $AQ=NC$, iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că triunghiul $AOD$ este echilateral.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=6\sqrt{3}$ cm și $AD=6$ cm. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt situate pe laturile $AB$, $BC$, $CD$ și, respectiv, $DA$, astfel încât $BM=PD$ și $AQ=NC$, iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreptele $MP$, $NQ$ și $BD$ sunt concurente.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm, $BC=6$ cm și $A{A}^{\prime }=8$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$, iar $M$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }{D}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Arătați că perimetrul patrulaterului $ABCD$ este egal cu $36$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm, $BC=6$ cm și $A{A}^{\prime }=8$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$, iar $M$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }{D}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Calculați distanța de la punctul $O$ la dreapta $A{A}^{\prime }$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm, $BC=6$ cm și $A{A}^{\prime }=8$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$, iar $M$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }{D}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $C^{\prime }M$ este paralelă cu planul $\left(A{A}^{\prime }O\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $28:4-2=7-2=5$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. d) $\frac{a+6}{6}=\frac{4}{3}\Rightarrow 3\left(a+6\right)=24\Rightarrow 3a+18=24\Rightarrow 3a=6\Rightarrow a=2$.
3. c) Numerele întregi din $\left(-2,10\right]$ sunt $-1,0,1,\dots ,10$ (fără $-2$, care nu aparține intervalului deschis la stânga); cel mai mic dintre ele este $-1$.
4. b) Latura triunghiului echilateral $=24:3=8$ cm.
5. a) Cum $AD\parallel BC$ (laturi opuse ale pătratului $ABCD$), unghiul dreptelor $A{D}^{\prime }$ și $BC$ este egal cu unghiul dreptelor $A{D}^{\prime }$ și $AD$; iar $A{D}^{\prime }$ este diagonala feței pătrate $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$, deci $m\left(\sphericalangle DA{D}^{\prime }\right)=45°$, așadar unghiul dreptelor $A{D}^{\prime }$ și $BC$ are măsura de $45°$.
6. b) Din $y=x+2$, pentru $x=m$ obținem $y=5=m+2$, deci $m=5-2=3$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente și paralele, deci $AB=CD$ și $AB\parallel CD$.
2. b) $a=4^{n+2}+2^{2n}-2^{2n+3}={\left(2^2\right)}^{n+2}+2^{2n}-2^{2n+3}=2^{2n+4}+2^{2n}-2^{2n+3}=2^{2n}\left(2^4+1-2^3\right)=2^{2n}\cdot 9={\left(3\cdot 2^n\right)}^2$, deci $a$ este pătratul numărului natural $3\cdot 2^n$.
3. c) Fie $x$ suma de bani; $\frac{40}{100}x+\frac{3}{5}\left(x-\frac{40}{100}x\right)+96=x\Rightarrow 0,4x+0,36x+96=x\Rightarrow 0,24x=96\Rightarrow x=400$ lei.
4. b) $x=\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{3^2\cdot 4^2}=\sqrt{9+16}\cdot \left(3\cdot 4\right)=\sqrt{25}\cdot 12=5\cdot 12=60$.
5. a) Din calculul de mai sus, $x=60$; $y=\left(\sqrt{12}+\sqrt{48}-\sqrt{27}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\left(2\sqrt{3}+4\sqrt{3}-3\sqrt{3}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=3$. Media aritmetică: $\frac{x+y+z}{3}=30\Rightarrow 60+3+z=90\Rightarrow z=27$.
6. d) $E\left(x\right)={\left(4x-5\right)}^2-2\left(8x^2-30x+25\right)+{\left(2x-5\right)}^2=\left(16x^2-40x+25\right)-\left(16x^2-60x+50\right)+\left(4x^2-20x+25\right)=4x^2$, pentru orice număr real $x$. Deci $E\left(-x\right)=4{\left(-x\right)}^2=4x^2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD$ (3 p) $=6\sqrt{3}\cdot 6=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ (unghi al dreptunghiului), deci $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{108+36}=\sqrt{144}=12$ cm (2 p). $ABCD$ este dreptunghi, deci $AC=BD$ și, cum $\left\{O\right\}=AC\cap BD$, obținem $AO=OD=\frac{AC}{2}=6$ cm, deci $AD=AO=OD=6$ cm $\Rightarrow △AOD$ este echilateral (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $BM=PD$ și $BM\parallel PD$ (ambele fac parte din laturile paralele $AB$ și $DC$ ale dreptunghiului) $\Rightarrow BPDM$ este paralelogram și, cum $O$ este mijlocul segmentului $BD$, obținem $O\in MP$ (2 p). $AQ=NC$ și $AQ\parallel NC\Rightarrow ANCQ$ este paralelogram și, cum $O$ este mijlocul segmentului $AC$, obținem $O\in NQ$, deci dreptele $MP$, $NQ$ și $BD$ sunt concurente (toate trec prin $O$) (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este dreptunghi, deci $P_{ABCD}=2\left(AB+BC\right)$ (2 p) $=2\left(12+6\right)=2\cdot 18=36$ cm (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $AB\perp \left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)\Rightarrow AB\perp BO$; în dreptunghiul $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, diagonala $B{C}^{\prime }=\sqrt{B{C}^2+C{C}^{\prime 2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm, iar $O$ este mijlocul acestei diagonale, deci $BO=5$ cm; triunghiul $ABO$ este dreptunghic în $B$, deci $AO=\sqrt{A{B}^2+B{O}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm; analog, $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp \left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)$, deci $A^{\prime }O=\sqrt{A^{\prime }{B}^{\prime 2}+B^{\prime }{O}^2}=\sqrt{144+25}=13$ cm (2 p). Triunghiul $AO{A}^{\prime }$ este isoscel ($AO=A^{\prime }O=13$ cm), deci $ON\perp A{A}^{\prime }$, unde $N$ este mijlocul segmentului $A{A}^{\prime }$ ($AN=4$ cm, deoarece $A{A}^{\prime }=8$ cm), de unde $d\left(O,A{A}^{\prime }\right)=ON=\sqrt{A{O}^2-A{N}^2}=\sqrt{169-16}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}$ cm (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $MN$ este linie mijlocie în $△A{A}^{\prime }{D}^{\prime }$ (cu $N$ mijlocul lui $A{A}^{\prime }$ și $M$ mijlocul lui $A^{\prime }{D}^{\prime }$), deci $MN\parallel A{D}^{\prime }$ și $MN=\frac{A{D}^{\prime }}{2}$; cum $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$ și $A{D}^{\prime }=B{C}^{\prime }$ (fețele $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ și $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ sunt congruente prin translația de vector $\overrightarrow{AB}$), obținem $MN\parallel B{C}^{\prime }$ și $MN=\frac{B{C}^{\prime }}{2}=C^{\prime }O$, deci $MNO{C}^{\prime }$ este paralelogram (3 p). $C^{\prime }M\parallel ON$ (laturi opuse în paralelogramul $MNO{C}^{\prime }$) și $ON\subset \left(A{A}^{\prime }O\right)$, deci $C^{\prime }M\parallel \left(A{A}^{\prime }O\right)$ (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 17, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 17 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelogram $ABCD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre relația dintre laturile opuse ale paralelogramului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o ecuație cu fracții, cel mai mic număr întreg dintr-un interval, latura unui triunghi echilateral cunoscând perimetrul, unghiul dintre două drepte într-un cub, o dependență funcțională dată tabelar; proprietatea laturilor paralelogramului, o expresie de forma $4^{n+2}+2^{2n}-2^{2n+3}$ arătată a fi pătrat perfect, o problemă cu procente (o excursie), numere reale cu radicali și media aritmetică a trei numere, o expresie de gradul al doilea $E(x)$ și paritatea ei; geometrie plană (un dreptunghi cu puncte pe laturi, arie, triunghi echilateral obținut din diagonale, drepte concurente) și geometrie în spațiu (un paralelipiped dreptunghic — perimetrul bazei, distanța de la un punct la o dreaptă, o dreaptă paralelă cu un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.