Simulare Evaluarea Națională nr. 20

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $2+3\cdot (10-4)$ este: a) $20$ b) $30$ c) $18$ d) $32$

Exercițiul 2 · 5 puncte Rezultatul calculului $\sqrt{81}-\sqrt{25}$ este: a) $14$ b) $56$ c) $2$ d) $4$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,4,6,8\}$ și $B=\{4,8,12\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{2,6\}$ b) $\{4,8\}$ c) $\{4,8,12\}$ d) $\{2,4,6,8,12\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30\%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $50$ b) $120$ c) $45$ d) $30$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $3,6$ și $5,2$ este: a) $4,4$ b) $8,8$ c) $2,2$ d) $4,04$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{15}-4$. Dintre următoarele afirmații, cea adevărată este: a) $a>0$ b) $a<0$ c) $a=0$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=10$ cm și $BC=6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $8$ cm c) $2$ cm d) $3$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=8$ cm și $AC=15$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $\sqrt{161}$ cm c) $289$ cm d) $17$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=20$ cm și $BC=15$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $35$ cm b) $25$ cm c) $\sqrt{35}$ cm d) $300$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $40^{\circ }$ b) $80^{\circ }$ c) $20^{\circ }$ d) $160^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu dimensiunile $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $AE=5$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $74{\text{cm}}^3$ b) $240{\text{cm}}^3$ c) $120{\text{cm}}^3$ d) $60{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un apicultor a obținut o cantitate de miere pe care o valorifică în trei etape. În prima săptămână vinde $30\%$ din producție, în a doua săptămână vinde $40\%$ din cantitatea rămasă, iar ultimele $63$ kg de miere le vinde în a treia săptămână. a) (2 p) Arată că în a doua săptămână apicultorul a vândut o cantitate mai mică decât în prima săptămână. b) (3 p) Determină producția totală de miere.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-16}{x^2-4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+4}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Costul total, în lei, pentru participarea la un curs de înot este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=20x+60$, unde $x$ reprezintă numărul de ședințe. Taxa de înscriere este de $60$ de lei, iar fiecare ședință costă $20$ de lei. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și determină costul total pentru $5$ ședințe. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=24$ cm și $AD=7$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O bară de ciocolată are forma unei prisme triunghiulare regulate $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu latura bazei $AB=6$ cm și înălțimea (muchia laterală) $A{A}^{\prime }=10$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul bazei și aria bazei triunghiului $ABC$. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul prismei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Se acordă zece puncte din oficiu. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $2+3\cdot (10-4)=2+3\cdot 6=2+18=20$.
2. d) $\sqrt{81}-\sqrt{25}=9-5=4$.
3. b) Elementele comune sunt $4$ și $8$, deci $A\cap B=\{4,8\}$.
4. c) $30\%\cdot 150=\frac{30}{100}\cdot 150=45$.
5. a) Media $=\frac{3,6+5,2}{2}=\frac{8,8}{2}=4,4$.
6. b) $\sqrt{15}<\sqrt{16}=4$, deci $a=\sqrt{15}-4<0$; numărul este negativ, deci afirmația adevărată este $a<0$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AC=AB+BC=10+6=16$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=8$ cm; cum $AM=8<AB=10$, $M$ este între $A$ și $B$, deci $MB=AB-AM=10-8=2$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. d) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.
4. b) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25$ cm.
5. a) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. c) $V=AB\cdot BC\cdot AE=6\cdot 4\cdot 5=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $P$ producția totală de miere. a) (2 p) Prima săptămână: $30\%$ din $P$. A doua săptămână: $40\%$ din rest $=40\%\cdot 70\%\cdot P=28\%$ din $P$ (1 p). Cum $28\%<30\%$, în a doua săptămână s-a vândut o cantitate mai mică decât în prima săptămână (1 p). b) (3 p) După primele două săptămâni s-a vândut $30\%+28\%=58\%$ din $P$, deci a rămas $42\%\cdot P$ (1 p). Acest rest a fost vândut a treia săptămână: $42\%\cdot P=63$ (1 p) $\Rightarrow P=\frac{63}{0,42}=150$ kg (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-16=(x-4)(x+4)$ și $x^2-4x=x(x-4)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x-4)}=\frac{x+4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 4$, deci $x\in \{-4,-2,-1,1,2,4\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=4$, rămân $x\in \{-4,-2,-1,1,2\}$ (1 p) (verificare: $E(-4)=0$, $E(-2)=-1$, $E(-1)=-3$, $E(1)=5$, $E(2)=3$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=20\cdot 0+60=60$ (taxa de înscriere) (1 p); costul pentru $5$ ședințe: $f(5)=20\cdot 5+60=160$ lei (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 20x+60=0\Rightarrow x=-3$, deci $A(-3,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=60$, deci $B(0,60)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{3\cdot 60}{2}=90$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(24+7)=62$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=24\cdot 7=168{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=5$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{5}{13},\cos B=\frac{12}{13},\mathrm{tg}B=\frac{5}{12}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+5+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Baza este un triunghi echilateral cu latura $6$ cm. a) (2 p) Perimetrul bazei: $P_{baza}=3\cdot 6=18$ cm (1 p). Aria bazei: $A_b=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Aria laterală (3 dreptunghiuri $6\times 10$): $A_{\ell }=P_{baza}\cdot A{A}^{\prime }=18\cdot 10=180{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria totală: $A_t=A_{\ell }+2A_b=180+2\cdot 9\sqrt{3}=180+18\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=A_b\cdot A{A}^{\prime }=9\sqrt{3}\cdot 10=90\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Se acordă zece puncte din oficiu. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.