Testul oficial de pregătire nr. 21 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $\left(15-3\cdot 5\right):5+1$ este egal cu: a) $13$ b) $1$ c) $9$ d) $0$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $x\%$ din $80$ este egal cu $40$, atunci $x$ este egal cu: a) $40$ b) $20$ c) $50$ d) $32$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $n$ este numărul natural din intervalul $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$, atunci $n$ este egal cu: a) $1$ b) $0$ c) $2$ d) $3$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dreptunghiul $MNPQ$ are lungimea $MN=10\text{cm}$ și lățimea $NP=7\text{cm}$. Aria acestui dreptunghi este egală cu: a) $34{\text{cm}}^2$ b) $17{\text{cm}}^2$ c) $35{\text{cm}}^2$ d) $70{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă patrulateră cu baza dreptunghiul $ABCD$. Unghiul dreptelor $AD$ și $D^{\prime }{C}^{\prime }$ are măsura de:

a) $45°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate la o stație meteorologică, în timpul unei zile, la diferite ore.

Conform informațiilor din tabel, diferența dintre cea mai mare temperatură și cea mai mică temperatură înregistrate în acea zi este egală cu: a) $5°\text{C}$ b) $4°\text{C}$ c) $7°\text{C}$ d) $17°\text{C}$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui trapez $ABCD$ cu bazele $AB$ și $CD$, $AB>CD$. Deoarece $AB\parallel CD$, unghiurile $\sphericalangle DAB$ și $\sphericalangle ADC$ (alăturate laturii neparalele $AD$) sunt: a) complementare b) opuse la vârf c) suplementare d) congruente

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x={\left(2^{20}\right)}^3:2^{56}-2^3$ și $y=\left(3^{23}-3^{22}-3^{21}-3^{20}\right):3^{20}+3^0+3^1$. Media geometrică a numerelor $x$ și $y$ este egală cu: a) $12$ b) $8$ c) $18$ d) $13$

Exercițiul 3 · 5 puncte O bunică și cei doi nepoți au suma vârstelor egală cu $69$ de ani. Vârsta bunicii este un număr natural de două cifre, în care cifra zecilor reprezintă vârsta unui nepot, iar cifra unităților reprezintă vârsta celuilalt nepot. Vârsta bunicii este egală cu: a) $75$ de ani b) $48$ de ani c) $66$ de ani d) $57$ de ani

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}}$ și $b=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{6}}\right):\frac{1}{\sqrt{6}}$. Valoarea lui $a$ este egală cu: a) $1$ b) $\frac{1}{2}$ c) $2$ d) $0$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numerele reale $a=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}}$ și $b=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{6}}\right):\frac{1}{\sqrt{6}}$, ca la itemul anterior. Numărul $N={\left(b-2a\right)}^2-\sqrt{24}$ este egal cu: a) $5$ b) $3$ c) $7$ d) $\sqrt{5}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(3x-1\right)}^2-{\left(3x+1\right)}^2+{\left(3x+2\right)}^2-9x^2$, unde $x$ este număr real. Numărul $E\left(1\right)+E\left(2\right)+E\left(3\right)+\dots +E\left(49\right)$ este egal cu: a) $144$ b) $49$ c) $200$ d) $196$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=12\text{cm}$, $CD=4\text{cm}$ și $m\left(\sphericalangle ABC\right)=60°$. Paralela prin $B$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $CD$ în punctul $P$.

Arătați că măsura unghiului $ADC$ este egală cu $120°$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=12\text{cm}$, $CD=4\text{cm}$ și $m\left(\sphericalangle ABC\right)=60°$, iar paralela prin $B$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $CD$ în punctul $P$, ca în figura alăturată.

Arătați că aria patrulaterului $ABPD$ este egală cu $56\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=12\text{cm}$, $CD=4\text{cm}$ și $m\left(\sphericalangle ABC\right)=60°$, iar paralela prin $B$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $CD$ în punctul $P$, ca în figura alăturată. Se consideră punctul $M$, mijlocul segmentului $AB$, și $N$, punctul de intersecție a dreptelor $PM$ și $BC$.

Demonstrați că lungimea segmentului $BN$ este mai mică decât $2,7\text{cm}$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=4\text{cm}$. Punctele $M$ și $N$ sunt situate pe laturile $AB$ și $BC$ astfel încât $AM=3\text{cm}$ și $BN=3\text{cm}$, iar $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AN$ și $DM$.

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $16{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=4\text{cm}$. Punctele $M$ și $N$ sunt situate pe laturile $AB$ și $BC$ astfel încât $AM=3\text{cm}$ și $BN=3\text{cm}$, iar $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AN$ și $DM$, ca în figura alăturată.

Arătați că distanța de la punctul $A^{\prime }$ la dreapta $DM$ este egală cu $\frac{4\sqrt{34}}{5}\text{cm}$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=4\text{cm}$. Punctele $M$ și $N$ sunt situate pe laturile $AB$ și $BC$ astfel încât $AM=3\text{cm}$ și $BN=3\text{cm}$, iar $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AN$ și $DM$, ca în figura alăturată.

Determinați sinusul unghiului dintre dreapta $AD$ și planul $\left(AN{A}^{\prime }\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $\left(15-3\cdot 5\right):5+1=\left(15-15\right):5+1=0:5+1=0+1=1$ (întâi înmulțirea, apoi scăderea și împărțirea, la final adunarea).
2. c) $80\cdot \frac{x}{100}=40\Rightarrow x=50$.
3. a) Intervalul $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ conține un singur număr natural, $n=1$.
4. d) ${\mathcal{A}}_{MNPQ}=MN\cdot NP=10\cdot 7=70{\text{cm}}^2$.
5. b) $D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel DC$ (muchii opuse ale feței $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ a prismei) și $AD\perp DC$ (laturi ale dreptunghiului $ABCD$), deci unghiul dreptelor $AD$ și $D^{\prime }{C}^{\prime }$ are măsura de $90°$.
6. c) Temperatura maximă înregistrată este $17°\text{C}$ (la ora $15$), iar cea mai mică este $10°\text{C}$ (la ora $6$); diferența este $17-10=7°\text{C}$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Deoarece $AB\parallel CD$, unghiurile $\sphericalangle DAB$ și $\sphericalangle ADC$ (alăturate laturii neparalele $AD$) sunt suplementare, adică $m\left(\sphericalangle DAB\right)+m\left(\sphericalangle ADC\right)=180°$.
2. a) $x={\left(2^{20}\right)}^3:2^{56}-2^3=2^{60}:2^{56}-8=2^4-8=16-8=8$; $y=\left(3^{23}-3^{22}-3^{21}-3^{20}\right):3^{20}+3^0+3^1=3^{20}\left(3^3-3^2-3^1-1\right):3^{20}+1+3=\left(27-9-3-1\right)+4=14+4=18$. Media geometrică este $m_g=\sqrt{xy}=\sqrt{8\cdot 18}=\sqrt{144}=12$.
3. d) Dacă $a$ este cifra zecilor și $b$ este cifra unităților vârstei bunicii, atunci $\overline{ab}+a+b=69\Rightarrow \left(10a+b\right)+a+b=69\Rightarrow 11a+2b=69$. Cum $a$ și $b$ sunt cifre, unica soluție este $a=5$, $b=7$, deci vârsta bunicii este $57$ de ani.
4. b) $a=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{12}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
5. a) $b=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{6}}\right):\frac{1}{\sqrt{6}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\cdot \sqrt{6}=\sqrt{3}+\sqrt{2}+1$. Atunci $N={\left(b-2a\right)}^2-\sqrt{24}={\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1-1\right)}^2-\sqrt{24}={\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{6}=3+2\sqrt{6}+2-2\sqrt{6}=5$, care este numărul natural.
6. d) $E\left(x\right)={\left(3x-1\right)}^2-{\left(3x+1\right)}^2+{\left(3x+2\right)}^2-9x^2=4$, pentru orice număr real $x$ (expresia este constantă). Deci $E\left(1\right)+E\left(2\right)+E\left(3\right)+\dots +E\left(49\right)=4\cdot 49=196=14^2$, care este pătratul unui număr natural.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ este trapez isoscel, deci $\sphericalangle ABC\equiv \sphericalangle BAD$, de unde $m\left(\sphericalangle BAD\right)=m\left(\sphericalangle ABC\right)=60°$ (2 p). Cum $AB\parallel CD$, unghiurile $\sphericalangle ADC$ și $\sphericalangle BAD$ sunt suplementare, deci $m\left(\sphericalangle ADC\right)=180°-60°=120°$ (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $AB\parallel CP$ (deoarece $AB\parallel CD$ și $P$ este pe dreapta $CD$) și $AC\parallel BP$ (prin construcție), deci $ABPC$ este paralelogram; rezultă $CP=AB=12\text{cm}$ și, cum $D$, $C$ și $P$ sunt coliniare, obținem $DP=DC+CP=4+12=16\text{cm}$ (2 p). Fie $E\in AB$ cu $CE\perp AB$; cum $ABCD$ este trapez isoscel, $BE=\frac{AB-CD}{2}=\frac{12-4}{2}=4\text{cm}$, iar în triunghiul dreptunghic $BEC$ avem $m\left(\sphericalangle EBC\right)=m\left(\sphericalangle ABC\right)=60°$, deci $\text{tg}\left(\sphericalangle EBC\right)=\frac{CE}{BE}\Rightarrow CE=BE\cdot \text{tg}60°=4\sqrt{3}\text{cm}$. Cum $ABPD$ este trapez cu bazele $AB=12\text{cm}$ și $DP=16\text{cm}$ și înălțimea $CE=4\sqrt{3}\text{cm}$, obținem ${\mathcal{A}}_{ABPD}=\frac{\left(AB+DP\right)\cdot CE}{2}=\frac{\left(12+16\right)\cdot 4\sqrt{3}}{2}=56\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $ABPC$ este paralelogram (arătat mai sus), deci diagonalele sale $AP$ și $BC$ se înjumătățesc; fie $\left\{O\right\}=AP\cap BC$, mijlocul comun al celor două diagonale. Cum $M$ este mijlocul lui $AB$, $PM$ este mediană în triunghiul $ABP$ (din vârful $P$); cum $O$ este mijlocul lui $AP$, $BO$ este de asemenea mediană în triunghiul $ABP$ (din vârful $B$); cum $N=PM\cap BC$ și $O\in BC$, rezultă că $N$ este intersecția celor două mediane, adică centrul de greutate al triunghiului $ABP$ (2 p). Din triunghiul dreptunghic $BEC$ (unde $BE=4\text{cm}$, $CE=4\sqrt{3}\text{cm}$), $BC=\sqrt{B{E}^2+C{E}^2}=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8\text{cm}$; cum $N$ este centrul de greutate al triunghiului $ABP$, $BN=\frac{2}{3}BO=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}BC=\frac{1}{3}BC$, deci $BN=\frac{1}{3}\cdot 8=\frac{8}{3}\text{cm}\approx 2,67\text{cm}<2,7\text{cm}$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat (față a cubului), deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2$ (3 p), adică ${\mathcal{A}}_{ABCD}=4^2=16{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $AD=BA$ ($=4\text{cm}$, laturi ale pătratului $ABCD$), $AM=BN$ ($=3\text{cm}$, din enunț) și $AD\perp AB$, $AB\perp BC$, deci triunghiurile $ADM$ și $BAN$ sunt congruente (caz L.U.L.), de unde $\sphericalangle AMD\equiv \sphericalangle BNA$; cum $m\left(\sphericalangle BAN\right)+m\left(\sphericalangle BNA\right)=90°$ (unghiuri ascuțite în triunghiul dreptunghic $ABN$), obținem $m\left(\sphericalangle MAE\right)+m\left(\sphericalangle AME\right)=90°$, deci $AE\perp ME$, adică $AN\perp DM$ (2 p). În triunghiul dreptunghic $ADM$ (drept în $A$), $DM=\sqrt{A{D}^2+A{M}^2}=\sqrt{16+9}=5\text{cm}$, iar $AE=\frac{AD\cdot AM}{DM}=\frac{4\cdot 3}{5}=\frac{12}{5}\text{cm}$ (înălțimea din $A$ pe ipotenuza $DM$). Cum $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$ și $AE\perp DM$, cu $DM\subset \left(ABC\right)$, rezultă (teorema celor trei perpendiculare) $A^{\prime }E\perp DM$, deci distanța de la $A^{\prime }$ la dreapta $DM$ este $A^{\prime }E=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A{E}^2}=\sqrt{4^2+{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{400+144}{25}}=\sqrt{\frac{544}{25}}=\frac{4\sqrt{34}}{5}\text{cm}$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$ și $DE\subset \left(ABC\right)$ (căci $E\in AN$, în planul bazei), deci $A{A}^{\prime }\perp DE$; cum $DE\perp AE$ (arătat mai sus: $AN\perp DM$, deci $DE\perp AE$ la punctul lor de intersecție $E$) și $AE\cap A{A}^{\prime }=\left\{A\right\}$, rezultă $DE\perp \left(AN{A}^{\prime }\right)$ (planul $AN{A}^{\prime }$ fiind determinat de $A{A}^{\prime }$ și $AE$, cum $E\in AN$). Proiecția lui $D$ pe planul $\left(AN{A}^{\prime }\right)$ este deci $E$, de unde $m\left(\sphericalangle \left(AD,\left(AN{A}^{\prime }\right)\right)\right)=m\left(\sphericalangle \left(AD,AE\right)\right)=m\left(\sphericalangle DAE\right)$ (3 p). În triunghiul dreptunghic $ADE$ (drept în $E$), $\sphericalangle DAE$ și $\sphericalangle ADE$ sunt complementare; în triunghiul dreptunghic $ADM$ (drept în $A$), $\sphericalangle ADE$ (același unghi cu $\sphericalangle ADM$) și $\sphericalangle AMD$ sunt complementare, deci $\sphericalangle DAE\equiv \sphericalangle AMD$. Rezultă $\sin \left(\sphericalangle DAE\right)=\sin \left(\sphericalangle AMD\right)=\frac{AD}{DM}=\frac{4}{5}$ (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 21, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 21 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un trapez $ABCD$ cu bazele $AB$ și $CD$, $AB>CD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre relația dintre unghiurile trapezului alăturate laturii neparalele, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, procentul, cel mai mic număr natural dintr-un interval, aria dreptunghiului, unghiul dintre două drepte într-o prismă patrulateră, citirea unei diagrame statistice (temperaturi); unghiurile suplementare ale unui trapez, puteri și media geometrică, o problemă cu vârste (cifrele unui număr de două cifre), numere reale cu radicali (o sumă telescopică și un număr natural obținut dintr-o diferență de pătrate), o expresie de gradul al doilea care este constantă și o sumă care este pătrat perfect; geometrie plană (un trapez isoscel, o paralelă dusă printr-un vârf, un paralelogram obținut prin construcție — unghi, arie, centru de greutate al unui triunghi) și geometrie în spațiu (un cub cu două puncte pe laturile bazei — arie, distanța de la un vârf la o dreaptă prin teorema celor trei perpendiculare, sinusul unghiului dintre o dreaptă și un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.