Se consideră numerele reale $$x=\left(1+\sqrt3\right)^2-2\left(2-\sqrt5\right)$$ și $$y=\left(\sqrt{15}+\sqrt{75}-\sqrt{45}\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{15}}$$. Numărul real $$x$$ este egal cu:

$$2\left(\sqrt3+\sqrt5\right)$$

Acasă · Evaluarea Națională · Testul oficial de pregătire nr. 22 — Evaluarea Națională 2020 (Ministerul Educației)

Testul oficial de pregătire nr. 22 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $20 - (20 : 4 + 5)$ este egal cu: a) $5$ b) $10$ c) $20$ d) $0$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $10%$ din $20$ este egal cu: a) $0, 2$ b) $200$ c) $2$ d) $10$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $A = {- 1, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}}$ și $N$ este mulțimea numerelor naturale, atunci $A \cap N$ este egal cu: a) ${1}$ b) ${- 1, 1}$ c) $\emptyset$ d) ${0, 1}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul echilateral $A B C$ are $A B = 4$ cm. Perimetrul acestui triunghi este egal cu: a) $8$ cm b) $16$ cm c) $4$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Unghiul dreptelor $A D^{'}$ și $A B^{'}$ are măsura de:

a) $90°$ b) $45°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este dată o dependență funcțională.

$x$	$- 1$	$a$	$1$
$y = 3 x - 2$	$- 5$	$- 2$	$1$

Conform informațiilor din tabel, numărul real $a$ este egal cu: a) $0$ b) $1$ c) $- 1$ d) $2$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui paralelogram $A B C D$ cu $m (∢ A B C) > 90°$ . Într-un asemenea paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente. Măsura unghiului $∢ A D C$ (opus unghiului $∢ A B C$ ) este: a) egală cu măsura unghiului $∢ A B C$ , deci tot un unghi obtuz b) egală cu $180° - m (∢ A B C)$ , deci un unghi ascuțit c) egală cu $90°$ d) nu poate fi determinată din datele date

Exercițiul 2 · 5 puncte Numerele reale $a$ , $b$ și $c$ sunt direct proporționale cu numerele $3$ , $7$ și $11$ . Media aritmetică a numerelor $a$ și $c$ este egală cu: a) $2 b$ b) $\frac{b}{2}$ c) $b$ d) $b + 1$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un kilogram de banane costă cât două kilograme de portocale. Un restaurant a cumpărat treizeci de kilograme de portocale și patruzeci și cinci de kilograme de banane, pentru care a plătit $360$ de lei. Prețul unui kilogram de portocale este egal cu: a) $4$ lei b) $3$ lei c) $6$ lei d) $2$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x = (1 + 3)^{2} - 2 (2 - 5)$ și $y = (15 + 75 - 45) \cdot \frac{1}{15}$ . Numărul real $x$ este egal cu: a) $23 + 5$ b) $4 + 23 - 25$ c) $2 (3 + 5)$ d) $215$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numerele reale $x = (1 + 3)^{2} - 2 (2 - 5)$ și $y = (15 + 75 - 45) \cdot \frac{1}{15}$ , ca la itemul anterior. Numărul natural $N = x (y - 1)$ este egal cu: a) $2$ b) $8$ c) $1$ d) $4$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = (x - 1)^{2} + (2 x - 1)^{2} + (1 - x) (2 x - 1) + 3 x - 1$ , unde $x$ este număr real. Numărul natural $n$ pentru care $E (n)$ este prim este egal cu: a) $0$ b) $1$ c) $3$ d) $2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi dreptunghic $A B C$ cu $A B ⊥ A C$ , $A C = 4$ cm și $B C = 8$ cm. Semidreapta $C M$ , $M \in A B$ , este bisectoarea unghiului $A C B$ .

Arătați că $A B = 43$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul dreptunghic $A B C$ cu $A B ⊥ A C$ , $A C = 4$ cm și $B C = 8$ cm, iar semidreapta $C M$ , $M \in A B$ , este bisectoarea unghiului $A C B$ , ca în figura alăturată.

Demonstrați că triunghiul $B M C$ este isoscel.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul dreptunghic $A B C$ cu $A B ⊥ A C$ , $A C = 4$ cm și $B C = 8$ cm, iar semidreapta $C M$ , $M \in A B$ , este bisectoarea unghiului $A C B$ . Se consideră punctul $N$ , pe latura $A C$ , astfel încât distanța de la punctul $N$ la dreapta $A B$ să fie egală cu distanța de la punctul $N$ la dreapta $B C$ , ca în figura alăturată.

Demonstrați că $(2 + 3) N A = A B$ .

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un romb $A B C D$ cu $A C = 16$ cm și $B D = 12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $C D$ , $P M ⊥ (A B C)$ , $P M = 4$ cm și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $A C$ și $B D$ .

Arătați că aria patrulaterului $A B C D$ este egală cu $96 cm^{2}$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou rombul $A B C D$ cu $A C = 16$ cm și $B D = 12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $C D$ , $P M ⊥ (A B C)$ , $P M = 4$ cm și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $A C$ și $B D$ , ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $A D$ este paralelă cu planul $(P O M)$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou rombul $A B C D$ cu $A C = 16$ cm și $B D = 12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $C D$ , $P M ⊥ (A B C)$ , $P M = 4$ cm și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $A C$ și $B D$ , ca în figura alăturată.

Determinați distanța de la punctul $P$ la dreapta $A C$ .

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	b)	c)	a)	d)	c)	a)

b) $20 - (20 : 4 + 5) = 20 - (5 + 5) = 20 - 10 = 10$ (întâi împărțirea și adunarea din paranteză, apoi scăderea).
c) $10%$ din $20$ este egal cu $20 \cdot \frac{10}{100} = 2$ .
a) Dintre elementele mulțimii $A = {- 1, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}}$ , singurul număr natural este $1$ , deci $A \cap N = {1}$ .
d) Triunghiul echilateral are toate laturile egale, deci perimetrul $= 3 \cdot A B = 3 \cdot 4 = 12$ cm.
c) În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , segmentele $A D^{'}$ , $A B^{'}$ și $D^{'} B^{'}$ sunt toate diagonale ale unor fețe, deci egale între ele (fiecare egală cu $A B 2$ ); triunghiul $A D^{'} B^{'}$ este echilateral, deci unghiul dreptelor $A D^{'}$ și $A B^{'}$ are măsura de $60°$ .
a) Din $y = 3 x - 2$ , pentru $x = a$ obținem $y = - 2$ , deci $3 a - 2 = - 2 \Rightarrow 3 a = 0 \Rightarrow a = 0$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	a)	c)	b)	c)	d)	b)

a) Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente: $m (∢ A D C) = m (∢ A B C) > 90°$ , deci $∢ A D C$ este tot un unghi obtuz.
c) Cum $a$ , $b$ , $c$ sunt direct proporționale cu $3$ , $7$ , $11$ , există $k$ real astfel încât $a = 3 k$ , $b = 7 k$ , $c = 11 k$ ; atunci $\frac{a + c}{2} = \frac{3 k + 11 k}{2} = 7 k = b$ , deci media aritmetică a lui $a$ și $c$ este egală cu $b$ .
b) Notăm cu $x$ prețul unui kilogram de portocale (lei); un kilogram de banane costă $2 x$ . Din enunț: $30 x + 45 \cdot 2 x = 360 \Rightarrow 30 x + 90 x = 360 \Rightarrow 120 x = 360 \Rightarrow x = 3$ lei.
c) $x = (1 + 3)^{2} - 2 (2 - 5) = (1 + 23 + 3) - (4 - 25) = 4 + 23 - 4 + 25 = 23 + 25 = 2 (3 + 5)$ .
d) $y = (15 + 75 - 45) \cdot \frac{1}{15} = \frac{15}{15} + \frac{75}{15} - \frac{45}{15} = 1 + 5 - 3$ (deoarece $75 = 53$ , $\frac{5 3}{15} = 5$ , iar $45 = 35$ , $\frac{3 5}{15} = 3$ ). Deci $y - 1 = 5 - 3$ , iar $N = x (y - 1) = 2 (3 + 5) (5 - 3) = 2 (5 - 3) = 4$ , care este număr natural.
b) $E (x) = (x - 1)^{2} + (2 x - 1)^{2} + (1 - x) (2 x - 1) + 3 x - 1 = (x^{2} - 2 x + 1) + (4 x^{2} - 4 x + 1) + (- 2 x^{2} + 3 x - 1) + 3 x - 1 = 3 x^{2}$ , pentru orice număr real $x$ . Cum $E (n) = 3 n^{2}$ pentru orice număr natural $n$ , iar $E (n)$ trebuie să fie număr prim, singurul caz posibil este $n^{2} = 1$ (altfel $3 n^{2}$ are cel puțin factorii $3$ și $n^{2}$ , deci nu ar fi prim), adică $n = 1$ , cu $E (1) = 3$ , care este prim.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ (deoarece $A B ⊥ A C$ ), deci, conform teoremei lui Pitagora, $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 8^{2} - 4^{2} = 64 - 16 = 48$ (3 p), de unde $A B = 48 = 43$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A C = 4$ cm și $B C = 8$ cm, deci $cos (∢ A C B) = \frac{A C}{B C} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ , de unde $m (∢ A C B) = 60°$ și $m (∢ A B C) = 90° - 60° = 30°$ (2 p). Semidreapta $C M$ este bisectoarea unghiului $A C B$ , deci $m (∢ M C B) = \frac{60°}{2} = 30°$ ; cum $M \in A B$ , avem $m (∢ M B C) = m (∢ A B C) = 30°$ , deci $m (∢ M B C) = m (∢ M C B) = 30°$ , de unde rezultă $M B = M C$ , adică triunghiul $B M C$ este isoscel (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Cum $A B ⊥ A C$ și $N \in A C$ , distanța de la $N$ la dreapta $A B$ este chiar $N A$ (1 p). Fie $D$ piciorul perpendicularei din $N$ pe $B C$ ( $D \in B C$ ), deci distanța de la $N$ la $B C$ este $N D$ ; triunghiul $N D C$ este dreptunghic în $D$ , cu $m (∢ N C D) = m (∢ A C B) = 60°$ (același unghi, deoarece $D \in B C$ și $N \in A C$ ), deci $N D = N C \cdot sin 60° = N C \cdot \frac{3}{2}$ , unde $N C = A C - N A = 4 - N A$ (2 p). Din ipoteză, $N A = N D$ , deci $N A = (4 - N A) \cdot \frac{3}{2} \Rightarrow 2 N A = 3 (4 - N A) \Rightarrow 2 N A + 3 \cdot N A = 43 \Rightarrow N A (2 + 3) = 43$ ; cum $A B = 43$ cm (arătat la Exercițiul 1), rezultă $(2 + 3) N A = A B$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $A B C D$ este romb, deci aria sa se calculează cu formula $A_{A B C D} = \frac{A C \cdot B D}{2}$ (3 p), adică $A_{A B C D} = \frac{16 \cdot 12}{2} = \frac{192}{2} = 96 cm^{2}$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $A B C D$ este romb, deci diagonalele se înjumătățesc, adică $O$ este mijlocul segmentului $A C$ ; cum $M$ este mijlocul segmentului $C D$ , rezultă că $O M$ este linie mijlocie în triunghiul $A D C$ (2 p). Din proprietatea liniei mijlocii, $O M ∥ A D$ ; cum $O M$ este conținută în planul $(P O M)$ , iar $A D$ nu este conținută în acest plan, rezultă $A D ∥ (P O M)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Fie $Q$ piciorul perpendicularei din $M$ pe dreapta $A C$ ( $Q \in A C$ ). Cum $P M ⊥ (A B C)$ , rezultă $P M ⊥ A C$ ; împreună cu $M Q ⊥ A C$ și cum $P M$ , $M Q$ sunt concurente (în $M$ ), rezultă $A C ⊥ (P M Q)$ , deci $A C ⊥ P Q$ , adică distanța de la $P$ la dreapta $A C$ este $P Q$ (2 p). Cum diagonalele rombului sunt perpendiculare, $M Q ∥ B D$ (ambele perpendiculare pe $A C$ ); cum $M$ este mijlocul segmentului $C D$ , rezultă că $M Q$ este linie mijlocie în triunghiul $D O C$ , deci $M Q = \frac{O D}{2} = \frac{B D : 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ cm. Din triunghiul dreptunghic $P M Q$ (dreptunghic în $M$ , deoarece $P M ⊥ (A B C)$ conține $M Q$ ), obținem $P Q = P M^{2} + M Q^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$ cm (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 22, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și rezultat corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală, și renumerotarea Itemilor 4, 5, 6 din itemii originali 4a, 4b, 5). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 22 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I cerea doar rezultatul, iar Subiectul al II-lea cerea rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și rezultatul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelogram $A B C D$ cu $m (∢ A B C) > 90°$ " — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre unghiul opus $∢ A D C$ al paralelogramului descris, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. De asemenea, exercițiul 4 original al Subiectului al II-lea era împărțit în subpunctele a) și b) (câte 5 p fiecare); ele au fost renumerotate ca Exercițiile 4 și 5, iar exercițiul 5 original a devenit Exercițiul 6, pentru a păstra structura de 6 exerciții a câte 5 puncte. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, procentul, intersecția a două mulțimi de numere, perimetrul triunghiului echilateral, unghiul dintre două drepte într-un cub, o dependență funcțională liniară citită dintr-un tabel de valori; un paralelogram cu unghi obtuz, numere direct proporționale (media aritmetică), o problemă de preț (raport de costuri), calcul cu radicali (aducerea la forma $2 (3 + 5)$ și determinarea unui număr natural dintr-un produs cu radicali), o expresie algebrică redusă la $3 x^{2}$ pentru determinarea unui număr prim; geometrie plană (triunghi dreptunghic cu bisectoare, triunghi isoscel, distanța de la un punct la o dreaptă) și geometrie în spațiu (romb cu un punct exterior planului său — arie, dreaptă paralelă cu un plan, distanța de la un punct la o dreaptă).

Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.