Testul oficial de pregătire nr. 23 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $40:4-4\cdot 2$ este egal cu: a) $2$ b) $12$ c) $-10$ d) $18$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{2x-1}{3}=5$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $7$ b) $8$ c) $3$ d) $2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma numerelor naturale din intervalul $\left[-2,2\right]$ este egală cu: a) $0$ b) $1$ c) $3$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dacă unghiurile $\sphericalangle ABC$ și $\sphericalangle DEF$ sunt complementare și $m\left(\sphericalangle ABC\right)=45°$, atunci măsura unghiului $\sphericalangle DEF$ este egală cu: a) $135°$ b) $90°$ c) $50°$ d) $45°$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Lungimea muchiei $AB$ este egală cu $10$ cm. Lungimea muchiei $A{A}^{\prime }$ este egală cu:

a) $20$ cm b) $10$ cm c) $5$ cm d) $10\sqrt{2}$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate informații despre cantitățile de fructe vândute, în kilograme, înregistrate în zilele unei săptămâni, la un supermarket.

Conform informațiilor din tabel, media cantităților de fructe vândute în acea săptămână este egală cu: a) $317$ kg b) $342$ kg c) $365$ kg d) $545$ kg

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unei prisme triunghiulare $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul $ABC$. Numărul fețelor prismei triunghiulare $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu: a) $6$ b) $5$ c) $9$ d) $3$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right):\frac{7}{12}$ și $y=\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right):\frac{1}{4}$. Media aritmetică a numerelor $x$ și $y$ este egală cu: a) $3$ b) $4$ c) $2$ d) $1$

Exercițiul 3 · 5 puncte Mai multe persoane vor să cumpere împreună un cadou. Dacă fiecare persoană contribuie cu câte $25$ de lei mai este nevoie de încă $50$ de lei, iar dacă fiecare persoană contribuie cu câte $35$ de lei vor fi în plus $40$ de lei. Numărul de persoane care contribuie la cumpărarea cadoului este egal cu: a) $8$ b) $10$ c) $7$ d) $9$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\left\{x\in \mathbb{Z}\mid \frac{7}{2x+1}\in \mathbb{Z}\right\}$ și $B=\left\{x\in \mathbb{Z}\mid \left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)\le x\le \left|1-\sqrt{2}\right|+1-\sqrt{2}\right\}$. Mulțimea $A$ este egală cu: a) $\left\{-8,-2,0,6\right\}$ b) $\left\{-4,-1,0,3\right\}$ c) $\left\{-3,0,1,4\right\}$ d) $\left\{-1,0,3\right\}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou mulțimile $A=\left\{x\in \mathbb{Z}\mid \frac{7}{2x+1}\in \mathbb{Z}\right\}$ și $B=\left\{x\in \mathbb{Z}\mid \left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)\le x\le \left|1-\sqrt{2}\right|+1-\sqrt{2}\right\}$. Mulțimea $A\cap B$ este egală cu: a) $\left\{-2,-1,0\right\}$ b) $\left\{-4,-1,0,3\right\}$ c) $\left\{-1,0\right\}$ d) $\left\{-2,3\right\}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2-2\left(x+3\right)-5$, unde $x$ este număr real. Numerele naturale $n$ pentru care $0<E\left(n\right)\le 11$ sunt: a) $n=3$ sau $n=4$ b) $n=2$ sau $n=5$ c) $n=4$ (doar) d) $n\in \left\{0,1,2,3,4\right\}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un romb $ABCD$ cu $AC=8$ cm și $BD=6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.

Arătați că $AB=5$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou rombul $ABCD$ cu $AC=8$ cm și $BD=6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că unghiurile $\sphericalangle OMN$ și $\sphericalangle BAC$ sunt congruente.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou rombul $ABCD$ cu $AC=8$ cm și $BD=6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că punctul $O$ este centrul de greutate al triunghiului $DMN$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm, $BC=6$ cm și $A{A}^{\prime }=12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Arătați că aria patrulaterului $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este egală cu $144{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm, $BC=6$ cm și $A{A}^{\prime }=12$ cm, unde $M$ este mijlocul segmentului $AB$, ca în figura alăturată.

Determinați distanța de la punctul $A^{\prime }$ la dreapta $DM$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm, $BC=6$ cm și $A{A}^{\prime }=12$ cm, unde $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar $N$ este mijlocul segmentului $C{C}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dreptelor $DM$ și $BN$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $40:4-4\cdot 2=10-8=2$ (întâi înmulțirea și împărțirea, apoi scăderea).
2. b) $\frac{2x-1}{3}=5\Rightarrow 2x-1=15\Rightarrow 2x=16\Rightarrow x=8$.
3. c) Numerele naturale din $\left[-2,2\right]$ sunt $0,1,2$; suma lor este $0+1+2=3$.
4. d) Unghiuri complementare $\Rightarrow m\left(\sphericalangle DEF\right)=90°-m\left(\sphericalangle ABC\right)=90°-45°=45°$.
5. b) Toate muchiile unui cub sunt congruente, deci $A{A}^{\prime }=AB=10$ cm.
6. a) Media $=\frac{230+343+545+342+125}{5}=\frac{1585}{5}=317$ kg.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) O prismă triunghiulară are $2$ fețe triunghiulare (bazele) și $3$ fețe dreptunghiulare (laterale), deci în total $5$ fețe.
2. c) $x=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right):\frac{7}{12}=\frac{4+2+1}{4}:\frac{7}{12}=\frac{7}{4}\cdot \frac{12}{7}=3$; $y=\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right):\frac{1}{4}=\frac{4-2-1}{4}:\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\cdot 4=1$; media aritmetică $=\frac{x+y}{2}=\frac{3+1}{2}=2$.
3. d) Dacă $n$ este numărul de persoane, $25n+50=35n-40\Rightarrow 90=10n\Rightarrow n=9$.
4. b) $2x+1$ este divizor al lui $7$, deci $2x+1\in \left\{-7,-1,1,7\right\}$, de unde $x\in \left\{-4,-1,0,3\right\}$, deci $A=\left\{-4,-1,0,3\right\}$.
5. c) $\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)=1-3=-2$; $\left|1-\sqrt{2}\right|+1-\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)+\left(1-\sqrt{2}\right)=0$; deci $B=\left\{x\in \mathbb{Z}\mid -2\le x\le 0\right\}=\left\{-2,-1,0\right\}$, iar $A\cap B=\left\{-4,-1,0,3\right\}\cap \left\{-2,-1,0\right\}=\left\{-1,0\right\}$.
6. a) $E\left(x\right)=x^2+4x+4-x^2+2x-1-2x-6-5=4x-8$, pentru orice $x$ real. Din $0<4n-8\le 11\Rightarrow 8<4n\le 19\Rightarrow 2<n\le \frac{19}{4}$ și, cum $n$ este natural, obținem $n=3$ sau $n=4$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ romb, deci $AO=\frac{AC}{2}=4$ cm, $BO=\frac{BD}{2}=3$ cm și $AC\perp BD\Rightarrow △AOB$ dreptunghic în $O$ (3 p). $AB=\sqrt{A{O}^2+B{O}^2}=\sqrt{16+9}=5$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $△AOB$ este dreptunghic în $O$, $M$ este mijlocul lui $AB\Rightarrow OM=AM$, deci $\sphericalangle AOM\equiv \sphericalangle OAM$ (2 p). $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și $N$ este mijlocul segmentului $BC$, deci $MN$ este linie mijlocie în $△ABC\Rightarrow MN\parallel AC$ și, cum $\sphericalangle OMN$ și $\sphericalangle AOM$ sunt alterne interne, obținem $\sphericalangle OMN\equiv \sphericalangle AOM$, deci $\sphericalangle OMN\equiv \sphericalangle BAC$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $MN\parallel AC$, $BD\perp AC\Rightarrow DP\perp MN$, unde $\left\{P\right\}=BD\cap MN$ și, cum $△ADM\equiv △CDN$, deci $DM=DN$, obținem că $DP$ este mediană în triunghiul isoscel $DMN$ (2 p). $MP\parallel AO$ și $BM=MA\Rightarrow MP$ linie mijlocie în $△ABO$, deci $P$ este mijlocul lui $BO$ și, cum $BO=DO$, obținem că $OP=\frac{1}{3}DP$, deci $O$ este centrul de greutate al triunghiului $DMN$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=AB\cdot A{A}^{\prime }$ (3 p) $=12\cdot 12=144{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $M$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $AM=6$ cm$\Rightarrow △ADM$ este dreptunghic isoscel, deci $DM=6\sqrt{2}$ cm și $AE=3\sqrt{2}$ cm, unde $AE\perp DM$, $E\in DM$ (2 p). $A^{\prime }A\perp \left(ABC\right)$, $AE\perp DM$ și $DM\subset \left(ABC\right)\Rightarrow A^{\prime }E\perp DM$, deci $d\left(A^{\prime },DM\right)=A^{\prime }E$ și, cum $△A^{\prime }AE$ este dreptunghic în $A$, obținem $A^{\prime }E=\sqrt{A^{\prime }{A}^2+A{E}^2}=\sqrt{144+18}=9\sqrt{2}$ cm (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $BM\parallel DP$ și $BM=DP\Rightarrow MBPD$ este paralelogram, unde $P$ este mijlocul segmentului $CD$, deci $DM\parallel BP\Rightarrow m\left(\sphericalangle \left(DM,BN\right)\right)=m\left(\sphericalangle \left(BP,BN\right)\right)$ (2 p). $BP=DM=6\sqrt{2}$ cm, $△BCN$ și $△CPN$ sunt dreptunghice isoscele, deci $BN=6\sqrt{2}$ cm și $PN=6\sqrt{2}$ cm, de unde obținem că $△BNP$ este echilateral, deci $m\left(\sphericalangle \left(PBN\right)\right)=60°$ (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 23, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepții: Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală, și Exercițiul 4 al aceluiași subiect, despărțit din cele două subpuncte originale a) și b) în doi itemi de sine stătători). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 23 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție: Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o prismă triunghiulară $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul $ABC$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul fețelor prismei triunghiulare, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial; și Exercițiul 4 al aceluiași subiect, care în original avea două subpuncte a) și b) despre aceleași mulțimi $A$ și $B$ — despărțit aici în Exercițiul 4 (mulțimea $A$) și Exercițiul 5 (intersecția $A\cap B$), fiecare formulat ca exercițiu grilă de sine stătător, cu enunțul complet al mulțimilor repetat integral. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o ecuație cu fracție, suma numerelor naturale dintr-un interval, unghiuri complementare, muchiile unui cub, media aritmetică citită dintr-un tabel; numărul fețelor unei prisme triunghiulare, media aritmetică a două numere reale scrise cu fracții, o problemă cu persoane care contribuie la cumpărarea unui cadou, o mulțime de numere întregi definită prin divizibilitate, intersecția a două mulțimi, o expresie de gradul întâi și o inegalitate cu numere naturale; geometrie plană (un romb cu diagonalele date — lungimea laturii, unghiuri congruente, centrul de greutate al unui triunghi obținut din liniile mijlocii) și geometrie în spațiu (un paralelipiped dreptunghic — aria unei fețe, distanța de la un punct la o dreaptă, unghiul a două drepte necoplanare).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.