Testul oficial de pregătire nr. 25 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $8^2-64\left(10-20:2\right)$ este egal cu: a) $384$ b) $64$ c) $0$ d) $-10$

Exercițiul 2 · 5 puncte O sută de kilograme de cartofi costă $150$ de lei. Zece kilograme de cartofi de același fel costă: a) $15$ lei b) $150$ lei c) $1,5$ lei d) $100$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Produsul numerelor naturale din intervalul $\left(0,4\right)$ este egal cu: a) $24$ b) $0$ c) $3$ d) $6$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dreptunghiul $ABCD$ are lungimea de $4$ cm și lățimea de $3$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ a acestui dreptunghi este egală cu: a) $25$ cm b) $7$ cm c) $5$ cm d) $1$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $AB$ și $BC$ are măsura egală cu:

a) $90°$ b) $45°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În graficul de mai jos este prezentată repartiția elevilor claselor a VIII-a dintr-o școală, în funcție de notele obținute la un test din semestrul I.

Conform informațiilor din grafic, numărul elevilor care au obținut note mai mari sau egale cu $7$ la acest test este egal cu: a) $155$ b) $120$ c) $35$ d) $90$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui romb $ABCD$ cu $m\left(\sphericalangle BAD\right)<90°$. Într-un romb, unghiurile alăturate aceleiași laturi sunt suplementare. Măsura unghiului $\sphericalangle ABC$ este: a) egală cu $m\left(\sphericalangle BAD\right)$ b) egală cu $90°$ c) mai mare decât $90°$ (unghi obtuz) d) mai mică decât $90°$ (unghi ascuțit)

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă împărțim numărul natural $n$ la $15$ și la $22$, obținem de fiecare dată restul $13$. Ultima cifră a numărului natural $n$ este egală cu: a) $0$ b) $3$ c) $5$ d) $7$

Exercițiul 3 · 5 puncte Ionel are o sumă de bani și vrea să cumpere două cărți, una de matematică și una de fizică. Prețul cărții de matematică reprezintă $65\%$ din suma pe care o are Ionel, iar prețul cărții de fizică reprezintă $57,5\%$ din aceeași sumă. Pentru a cumpăra cele două cărți Ionel mai are nevoie de $4,5$ lei. Suma de bani pe care o are Ionel este egală cu: a) $45$ lei b) $9$ lei c) $30$ lei d) $20$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{8}}\right):\left(5-3\sqrt{2}\right)$. Valoarea lui $a$ este egală cu: a) $\frac{1}{2}$ b) $1$ c) $\frac{1}{4}$ d) $5-3\sqrt{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{8}}\right):\left(5-3\sqrt{2}\right)$ (se poate arăta că $a=\frac{1}{4}$) și $b=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}$. Valoarea numărului ${\left(4a-2b\right)}^{2020}$ este egală cu: a) $-1$ b) $1$ c) $0$ d) $2020$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2+\left(2x+1\right)\left(x+3\right)+{\left(3x-1\right)}^2+3x$, unde $x$ este număr real. Pentru orice număr întreg $m$, restul împărțirii numărului $E\left(m\right)$ la $2$ este egal cu: a) $1$ b) $0$ c) $2$ d) $m$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $m\left(\sphericalangle DAB\right)=90°$, $AB=20$ cm și $CD=5$ cm. Diagonalele trapezului sunt perpendiculare și $O$ este punctul lor de intersecție.

Arătați că linia mijlocie a trapezului $ABCD$ are lungimea egală cu $12,5$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $m\left(\sphericalangle DAB\right)=90°$, $AB=20$ cm și $CD=5$ cm. Diagonalele trapezului sunt perpendiculare și $O$ este punctul lor de intersecție, ca în figura alăturată.

Demonstrați că $AC=5\cdot OC$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $m\left(\sphericalangle DAB\right)=90°$, $AB=20$ cm și $CD=5$ cm. Diagonalele trapezului sunt perpendiculare și $O$ este punctul lor de intersecție, ca în figura alăturată.

Calculați aria trapezului $ABCD$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8$ cm, $BC=4$ cm și $A{A}^{\prime }=2\cdot BC$. Punctul $E$ este mijlocul segmentului $CD$.

Arătați că perimetrul patrulaterului $ABCD$ este egal cu $24$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8$ cm, $BC=4$ cm și $A{A}^{\prime }=2\cdot BC$, iar $E$ este mijlocul segmentului $CD$, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $A{B}^{\prime }$ și planul $\left(BC{D}^{\prime }\right)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8$ cm, $BC=4$ cm și $A{A}^{\prime }=2\cdot BC$, iar $E$ este mijlocul segmentului $CD$, ca în figura alăturată.

Determinați distanța de la punctul $B^{\prime }$ la dreapta $AE$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $8^2-64\left(10-20:2\right)=64-64\left(10-10\right)=64-64\cdot 0=64-0=64$ (întâi împărțirea din paranteză, apoi scăderea din paranteză, apoi înmulțirea și, la final, scăderea).
2. a) Un kilogram costă $150:100=1,5$ lei, deci zece kilograme costă $10\cdot 1,5=15$ lei.
3. d) Numerele naturale din intervalul deschis $\left(0,4\right)$ sunt $1,2,3$ (fără $0$ și fără $4$); produsul lor este $1\cdot 2\cdot 3=6$.
4. c) Conform teoremei lui Pitagora, $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ cm.
5. a) $AB$ și $BC$ sunt laturi alăturate ale dreptunghiului $ABCD$ (baza paralelipipedului dreptunghic), deci $AB\perp BC$, adică unghiul dreptelor $AB$ și $BC$ are măsura de $90°$.
6. d) Elevii cu note mai mari sau egale cu $7$ sunt cei cu notele $7,8,9,10$: $35+30+20+5=90$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Într-un romb, unghiurile alăturate aceleiași laturi sunt suplementare: $m\left(\sphericalangle BAD\right)+m\left(\sphericalangle ABC\right)=180°$. Cum $m\left(\sphericalangle BAD\right)<90°$, rezultă $m\left(\sphericalangle ABC\right)=180°-m\left(\sphericalangle BAD\right)>90°$, deci unghiul $\sphericalangle ABC$ este obtuz.
2. b) $n=15a+13$ și $n=22b+13$, unde $a,b\in \mathbb{N}$, deci $n-13=15a$ și $n-13=22b$, adică $n-13$ se divide cu $5$ și cu $2$, de unde $n-13$ se divide cu $10$; ultima cifră a lui $n-13$ este $0$, deci ultima cifră a lui $n$ este $3$.
3. d) Dacă $x$ este suma de bani a lui Ionel, $\frac{65}{100}\cdot x+\frac{57,5}{100}\cdot x=x+4,5$, adică $1,225x-x=4,5$, deci $0,225x=4,5$, de unde $x=20$ lei.
4. c) Mai întâi calculăm numărătorul: $\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)=4-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+1=5-3\sqrt{2}$. Numitorul produsului este $\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4$. Prin urmare $a=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}:\left(5-3\sqrt{2}\right)=\frac{5-3\sqrt{2}}{4}:\left(5-3\sqrt{2}\right)=\frac{1}{4}$. Simplificarea este permisă deoarece $5-3\sqrt{2}\ne 0$ (altfel, prin ridicare la pătrat, am avea $25=18$, imposibil).
5. b) $b=\frac{12+6+3+2+1}{24}=\frac{24}{24}=1$; cum $a=\frac{1}{4}$, obținem $4a-2b=4\cdot \frac{1}{4}-2\cdot 1=1-2=-1$, deci ${\left(4a-2b\right)}^{2020}={\left(-1\right)}^{2020}=1$ (exponent par).
6. a) $E\left(x\right)=\left(x^2-2x+1\right)+\left(2x^2+7x+3\right)+\left(9x^2-6x+1\right)+3x=12x^2+2x+5$, pentru orice număr real $x$. Pentru orice număr întreg $m$, $E\left(m\right)=12m^2+2m+5=2\left(6m^2+m\right)+5$; cum $6m^2+m$ este număr întreg, $E\left(m\right)$ este de forma $2k+5=2\left(k+2\right)+1$, deci restul împărțirii lui $E\left(m\right)$ la $2$ este $1$ (adică $E\left(m\right)$ este impar).

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ este trapez dreptunghic cu $AB\parallel CD$, deci linia mijlocie a trapezului are lungimea egală cu $\frac{AB+CD}{2}$ (3 p) $=\frac{20+5}{2}=12,5$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Cum $AB\parallel CD$, rezultă $△AOB\sim △COD$ (unghiuri alterne interne congruente: $\sphericalangle OAB\equiv \sphericalangle OCD$ și $\sphericalangle OBA\equiv \sphericalangle ODC$), deci $\frac{AO}{CO}=\frac{AB}{CD}=\frac{20}{5}=4$, de unde $AO=4\cdot OC$ (3 p). Cum $AC=AO+OC$, obținem $AC=4\cdot OC+OC=5\cdot OC$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $△ADC$ este dreptunghic în $D$ (deoarece $m\left(\sphericalangle DAB\right)=90°$ și $AB\parallel CD$ implică $m\left(\sphericalangle ADC\right)=90°$), iar $DO\perp AC$ (diagonalele sunt perpendiculare), deci, conform teoremei catetei, $C{D}^2=OC\cdot AC$; cum $AC=5\cdot OC$ (arătat mai sus), obținem $5^2=OC\cdot 5\cdot OC=5\cdot O{C}^2$, de unde $O{C}^2=5$, adică $OC=\sqrt{5}$ cm, deci $AC=5\sqrt{5}$ cm (3 p). Atunci $AD=\sqrt{A{C}^2-C{D}^2}=\sqrt{125-25}=\sqrt{100}=10$ cm, deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{\left(AB+CD\right)\cdot AD}{2}=\frac{25\cdot 10}{2}=125{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este dreptunghi (bază a paralelipipedului dreptunghic), deci $P_{ABCD}=2\left(AB+BC\right)$ (3 p) $=2\left(8+4\right)=24$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $A{A}^{\prime }=2\cdot BC=8$ cm$=AB$, deci $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este pătrat, de unde $A{B}^{\prime }\perp A^{\prime }B$ (2 p). $BC\perp \left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$ (muchie perpendiculară pe fața laterală) și $A{B}^{\prime }\subset \left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\Rightarrow A{B}^{\prime }\perp BC$; cum $A{B}^{\prime }\perp A^{\prime }B$ și $BC\cap A^{\prime }B=\left\{B\right\}$, obținem $A{B}^{\prime }\perp \left(A^{\prime }BC\right)$; cum $D^{\prime }\in \left(A^{\prime }BC\right)$ (deoarece $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$), rezultă $A{B}^{\prime }\perp \left(BC{D}^{\prime }\right)$, deci măsura unghiului dintre dreapta $A{B}^{\prime }$ și planul $\left(BC{D}^{\prime }\right)$ este de $90°$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $E$ este mijlocul segmentului $CD$, deci $DE=4$ cm și $EC=4$ cm; triunghiurile $ADE$ și $BCE$ sunt dreptunghice isoscele (unghiuri drepte în $D$, respectiv $C$, ale dreptunghiului $ABCD$, cu catete $AD=DE=4$ cm, respectiv $BC=CE=4$ cm), deci $m\left(\sphericalangle AED\right)=m\left(\sphericalangle BEC\right)=45°$, de unde $m\left(\sphericalangle AEB\right)=180°-m\left(\sphericalangle AED\right)-m\left(\sphericalangle BEC\right)=180°-45°-45°=90°$ (2 p). $B^{\prime }B\perp \left(ABC\right)$, $BE\perp AE$ (din $m\left(\sphericalangle AEB\right)=90°$) și, cum $AE\subset \left(ABC\right)$, rezultă $B^{\prime }E\perp AE$, deci $d\left(B^{\prime },AE\right)=B^{\prime }E$ (2 p). $BE=4\sqrt{2}$ cm (ipotenuza triunghiului dreptunghic isoscel $BCE$, cu catete $BC=EC=4$ cm) și $△B^{\prime }BE$ este dreptunghic în $B$, deci $B^{\prime }E=\sqrt{B{E}^2+B{B}^{\prime 2}}=\sqrt{32+64}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$ cm (1 p).

Testul oficial de pregătire nr. 25, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 25 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un romb $ABCD$ cu $m\left(\sphericalangle BAD\right)<90°$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre relația dintre unghiurile alăturate ale rombului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor cu puteri și paranteze, procentul (costul cartofilor), produsul numerelor naturale dintr-un interval deschis, diagonala dreptunghiului (teorema lui Pitagora), unghiul dintre două drepte într-un paralelipiped dreptunghic, citirea unui grafic statistic; proprietăți ale rombului (unghiuri alăturate suplementare), divizibilitate și ultima cifră a unui număr natural, un procent aplicat unei sume de bani rezolvat printr-o ecuație, calcul cu radicali și raționalizarea numitorului, o putere cu exponentul $2020$, o expresie algebrică de gradul al doilea și paritatea valorilor ei; geometrie plană (un trapez dreptunghic cu diagonalele perpendiculare — linie mijlocie, teorema catetei, arie) și geometrie în spațiu (un paralelipiped dreptunghic — perimetrul bazei, unghiul dintre o dreaptă și un plan, distanța de la un punct la o dreaptă).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.