Testul oficial de pregătire nr. 27 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10+6\cdot \left(40-20\cdot 2\right)$ este egal cu: a) $10$ b) $210$ c) $130$ d) $250$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă o treime din $30$ este egal cu: a) $15$ b) $10$ c) $90$ d) $27$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr prim din mulțimea $M=\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$ este: a) $9$ b) $5$ c) $7$ d) $8$

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are perimetrul de $20$ cm. Lungimea laturii acestui pătrat este egală cu: a) $20$ cm b) $10$ cm c) $4$ cm d) $5$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $BD$ și $A^{\prime }{C}^{\prime }$ are măsura de:

a) $45°$ b) $30°$ c) $90°$ d) $60°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos sunt prezentate temperaturile medii înregistrate la o stație meteo, pentru fiecare dintre lunile unui an.

Conform informațiilor din diagramă, diferența dintre temperatura înregistrată în luna decembrie și temperatura înregistrată în luna ianuarie este egală cu: a) $-10°C$ b) $35°C$ c) $20°C$ d) $10°C$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui dreptunghi $ABCD$. Măsura fiecărui unghi al dreptunghiului $ABCD$ este egală cu: a) $60°$ b) $90°$ c) $180°$ d) $45°$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)$ și $y=\left(1-\frac{2}{5}-\frac{1}{4}\right):\left(\frac{3}{4}-\frac{5}{9}\right)$. Media aritmetică a numerelor $x$ și $y$ este egală cu: a) $2$ b) $\frac{1}{2}$ c) $1$ d) $\frac{9}{5}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Prețul unui obiect a crescut cu $10\%$ și apoi noul preț s-a redus cu $10\%$. Prețul final este egal cu $198$ de lei. Prețul inițial al obiectului este egal cu: a) $220$ lei b) $198$ lei c) $180$ lei d) $200$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\left(2^{99}+2^{99}\right):32^{14}$. Valoarea lui $a$ este egală cu: a) $2^{30}$ b) $2^{14}$ c) $2^{70}$ d) $2^{100}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\left(2^{99}+2^{99}\right):32^{14}$ și $b=\sqrt{2^2}-\sqrt{{\left(1-\sqrt{2}\right)}^2}+\frac{\sqrt{50}}{5}$. Comparând numerele $a$ și $b^{20}$, obținem: a) $a=b^{20}$ b) $a>b^{20}$ c) $a<b^{20}$ d) nu se poate determina semnul diferenței $a-b^{20}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(3x+4\right)}^2-2\left(3x-4\right)\left(3x+4\right)+{\left(3x-4\right)}^2$, unde $x$ este număr real. Numărul natural $n$ pentru care $E\left(n\right)=n^3$ este egal cu: a) $8$ b) $4$ c) $64$ d) $3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=6$ cm. Punctele distincte $D$ și $E$ sunt situate în exteriorul triunghiului $ABC$ astfel încât triunghiurile $ABD$ și $ACE$ sunt echilaterale. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$.

Arătați că perimetrul patrulaterului $ABCE$ este egal cu $24$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=6$ cm, punctele distincte $D$ și $E$ situate în exteriorul triunghiului $ABC$ astfel încât triunghiurile $ABD$ și $ACE$ sunt echilaterale, și punctul $M$, mijlocul segmentului $BC$, ca în figura alăturată.

Determinați distanța de la punctul $E$ la dreapta $BD$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=6$ cm, punctele distincte $D$ și $E$ situate în exteriorul triunghiului $ABC$ astfel încât triunghiurile $ABD$ și $ACE$ sunt echilaterale, și punctul $M$, mijlocul segmentului $BC$, ca în figura alăturată.

Calculați aria triunghiului $CMQ$, unde $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $EM$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă patrulateră $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$, $A{A}^{\prime }=12\sqrt{3}$ cm și $ABCD$ pătrat cu $AB=12$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar punctul $M$ este intersecția dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$.

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $144{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou prisma patrulateră $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$, $A{A}^{\prime }=12\sqrt{3}$ cm și $ABCD$ pătrat cu $AB=12$ cm, punctul $O$, intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, și punctul $M$, intersecția dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că unghiul dreptelor $A^{\prime }B$ și $OM$ are măsura de $60°$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou prisma patrulateră $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$, $A{A}^{\prime }=12\sqrt{3}$ cm și $ABCD$ pătrat cu $AB=12$ cm, punctul $O$, intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, și punctul $M$, intersecția dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $OM$ și planul $\left(BC{C}^{\prime }\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $10+6\cdot \left(40-20\cdot 2\right)=10+6\cdot \left(40-40\right)=10+6\cdot 0=10$ (întâi produsul $20\cdot 2$, apoi paranteza, apoi înmulțirea cu $6$, la final adunarea).
2. b) O treime din $30$ este $30:3=10$.
3. c) Numerele prime din $M$ sunt $2,3,5,7$; cel mai mare dintre ele este $7$ (numerele $0,1,4,6,8,9$ nu sunt prime).
4. d) Perimetrul pătratului $=4\cdot \text{latura}$, deci latura $=20:4=5$ cm.
5. c) $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (laturi opuse, aparținând unor fețe paralele ale cubului) și $BD\perp AC$ (diagonalele pătratului $ABCD$ sunt perpendiculare), deci unghiul dreptelor $BD$ și $A^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu unghiul dintre $BD$ și $AC$, adică $90°$.
6. d) Temperatura din luna decembrie este $0°C$, iar cea din luna ianuarie este $-10°C$; diferența este $0-\left(-10\right)=10°C$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Un dreptunghi are patru unghiuri drepte, deci fiecare unghi al dreptunghiului $ABCD$ măsoară $90°$.
2. c) $x=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{1}{5}$ (se simplifică succesiv) și $y=\frac{20-8-5}{20}:\frac{27-20}{36}=\frac{7}{20}:\frac{7}{36}=\frac{7}{20}\cdot \frac{36}{7}=\frac{9}{5}$, deci media aritmetică este $m_a=\frac{\frac{1}{5}+\frac{9}{5}}{2}=\frac{\frac{10}{5}}{2}=\frac{2}{2}=1$.
3. d) Dacă $x$ este prețul inițial, $x+\frac{10}{100}\cdot x-\frac{10}{100}\cdot \left(x+\frac{10}{100}\cdot x\right)=198$, unde $x$ este prețul inițial al obiectului; rezolvând, $x=200$ de lei.
4. a) $a=\left(2^{99}+2^{99}\right):32^{14}=\left(2\cdot 2^{99}\right):{\left(2^5\right)}^{14}=2^{100}:2^{70}=2^{30}$.
5. c) $b=\sqrt{2^2}-\left|1-\sqrt{2}\right|+\frac{\sqrt{50}}{5}=2-\left(\sqrt{2}-1\right)+\sqrt{2}=2-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}=3$. Cum $a=2^{30}$, comparăm $2^{30}$ cu $3^{20}$: $2^{30}={\left(2^3\right)}^{10}=8^{10}$ și $3^{20}={\left(3^2\right)}^{10}=9^{10}$, iar $8^{10}<9^{10}$ (relație adevărată), deci $a<b^{20}$.
6. b) $E\left(x\right)={\left(\left(3x+4\right)-\left(3x-4\right)\right)}^2=8^2=64$, pentru orice număr real $x$ (formula ${\left(m-n\right)}^2=m^2-2mn+n^2$ aplicată invers pentru $m=3x+4$, $n=3x-4$). Cum $E\left(n\right)=n^3$, obținem $n^3=64=4^3$, deci $n=4$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $△ABC$ este echilateral, deci $AC=BC=6$ cm (2 p). $△ACE$ este echilateral, deci $CE=EA=6$ cm, iar $P_{ABCE}=AB+BC+CE+EA=4\cdot 6=24$ cm (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $ABCE$ are toate cele patru laturi egale cu $6$ cm (arătat la itemul anterior), deci este romb, iar $BE$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle ABC$: $m\left(\sphericalangle ABE\right)=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°$; cum $△ABD$ este echilateral, $m\left(\sphericalangle DBE\right)=m\left(\sphericalangle ABD\right)+m\left(\sphericalangle ABE\right)=60°+30°=90°$, deci $EB\perp BD$ și $d\left(E,BD\right)=EB$ (3 p). $m\left(\sphericalangle DAE\right)=m\left(\sphericalangle DAB\right)+m\left(\sphericalangle BAC\right)+m\left(\sphericalangle CAE\right)=60°+60°+60°=180°$, deci $D$, $A$, $E$ sunt coliniare și $DE=DA+AE=6+6=12$ cm; cum $△BED$ este dreptunghic în $B$, obținem $EB=\sqrt{D{E}^2-D{B}^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ cm (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Cum $D$, $A$, $E$ sunt coliniare, rezultă $BC\parallel AE$, deci $△MQC\sim △EQA$, de unde $\frac{CQ}{QA}=\frac{CM}{AE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ (2 p). Cum $△ABC$ este echilateral, înălțimea din $A$ este $AM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm; fie $N\in BC$ cu $QN\perp BC$ — cum $QN\parallel AM$, rezultă $△CQN\sim △CAM$, cu $\frac{QN}{AM}=\frac{CQ}{CA}=\frac{1}{3}$ (deoarece $CA=CQ+QA=3\cdot CQ$), deci $QN=\sqrt{3}$ cm, iar ${\mathcal{A}}_{△CMQ}=\frac{1}{2}\cdot QN\cdot CM=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot 3=\frac{3\sqrt{3}}{2}{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat, deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2$ (3 p), adică $=12^2=144{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $O$ este mijlocul lui $AC$ (diagonala pătratului $ABCD$), iar $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ este dreptunghi, deci $M$ este mijlocul lui $B^{\prime }C$; rezultă că $OM$ este linie mijlocie în $△AC{B}^{\prime }$, deci $OM\parallel A{B}^{\prime }$ și $m\left(\sphericalangle \left(A^{\prime }B,OM\right)\right)=m\left(\sphericalangle \left(A^{\prime }B,A{B}^{\prime }\right)\right)$ (3 p). $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$, deci $△AB{B}^{\prime }$ este dreptunghic în $B$, cu $A{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{144+432}=24$ cm; cum $AB=12$ cm, obținem $\sin \left(\sphericalangle A{B}^{\prime }B\right)=\frac{AB}{A{B}^{\prime }}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$, deci $m\left(\sphericalangle A{B}^{\prime }B\right)=30°$, iar celălalt unghi ascuțit al triunghiului dreptunghic $AB{B}^{\prime }$ este $m\left(\sphericalangle BA{B}^{\prime }\right)=60°$, deci $m\left(\sphericalangle \left(A^{\prime }B,OM\right)\right)=60°$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $N$ fiind mijlocul lui $BC$, $ON$ este linie mijlocie în $△ABC$ (paralelă cu $AB$), deci $ON\perp BC$; cum $B{B}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$ și $ON\subset \left(ABC\right)$, rezultă $ON\perp B{B}^{\prime }$, iar $BC$ și $B{B}^{\prime }$ fiind concurente (în $B$), obținem $ON\perp \left(BC{C}^{\prime }\right)$, deci $m\left(\sphericalangle \left(OM,\left(BC{C}^{\prime }\right)\right)\right)=m\left(\sphericalangle \left(OM,MN\right)\right)=m\left(\sphericalangle OMN\right)$ (3 p). $ON=\frac{AB}{2}=6$ cm (linie mijlocie în $△ABC$) și $OM=\frac{A{B}^{\prime }}{2}=12$ cm (linie mijlocie în $△AC{B}^{\prime }$, arătat la itemul anterior); triunghiul $ONM$ fiind dreptunghic în $N$, obținem $\sin \left(\sphericalangle OMN\right)=\frac{ON}{OM}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, deci $m\left(\sphericalangle OMN\right)=30°$ (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 27, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală, și itemii 4-5 de la Subiectul al II-lea, proveniți din subpunctele a) și b) ale itemului 4 original, renumerotate secvențial). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 27 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un dreptunghi $ABCD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre măsura unghiurilor dreptunghiului $ABCD$, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Tot la Subiectul al II-lea, subpunctele a) și b) ale exercițiului 4 din documentul original (fiecare punctat separat, cu câte 5 puncte) au devenit Exercițiul 4 și Exercițiul 5 ale testului grilă, renumerotate secvențial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o treime dintr-un număr natural, cel mai mare număr prim dintr-o mulțime dată, perimetrul pătratului, unghiul dintre două drepte într-un cub, citirea unei diagrame cu temperaturi lunare; unghiurile dreptunghiului, media aritmetică a două expresii cu fracții, un preț crescut cu $10\%$ și apoi redus cu $10\%$, puteri cu exponenți mari aduse la aceeași bază, numere reale cu radicali și modul, o expresie de gradul al doilea redusă la un pătrat perfect; geometrie plană (un triunghi echilateral cu alte două triunghiuri echilaterale construite în exterior — perimetrul unui patrulater, distanța de la un punct la o dreaptă, aria unui triunghi obținut prin asemănare) și geometrie în spațiu (o prismă patrulateră cu baza pătrat — aria bazei, unghiul a două drepte, unghiul dintre o dreaptă și un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.