Simulare Evaluarea Națională nr. 21

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

MINISTERUL EDUCAȚIEI Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a Probă scrisă la Matematică

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(50-2\cdot 5):8$ este: a) $6$ b) $40$ c) $5$ d) $4$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{15}=\frac{4}{5}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $12$ b) $75$ c) $3$ d) $9$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,4,6,8\}$ și $B=\{4,8,12\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{4\}$ b) $\{2,6\}$ c) $\{4,8\}$ d) $\{4,8,12\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $20\%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $3$ b) $130$ c) $7,5$ d) $30$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{36}$ și $b=12$ este: a) $9$ b) $18$ c) $6$ d) $4$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=4-\sqrt{15}$. Atunci numărul $a$ verifică: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $8$ cm b) $4$ cm c) $1$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare, iar semidreptele $OB$ și $OC$ sunt de aceeași parte a dreptei $AD$. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $45^{\circ }$ b) $55^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=8$ cm și $AC=15$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $17$ cm b) $\sqrt{161}$ cm c) $289$ cm d) $23$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$ cu diagonalele $AC=16$ cm și $BD=12$ cm. Lungimea laturii rombului este egală cu:

a) $14$ cm b) $96$ cm c) $10$ cm d) $28$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $40^{\circ }$ b) $80^{\circ }$ c) $20^{\circ }$ d) $160^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu dimensiunile $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $AE=5$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $74{\text{cm}}^3$ b) $15{\text{cm}}^3$ c) $148{\text{cm}}^3$ d) $120{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte La plecarea într-o excursie, rezervorul de combustibil al unei mașini este plin. În prima etapă a drumului mașina consumă $30\%$ din combustibilul din rezervor, în a doua etapă consumă $40\%$ din cât rămăsese, iar în ultima etapă consumă ultimii $21$ de litri. a) (2 p) Arată că în a doua etapă mașina a consumat mai puțin combustibil decât în prima etapă. b) (3 p) Determină ce cantitate de combustibil (în litri) se afla în rezervorul plin.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-16}{x^2-4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+4}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte O sală de fitness percepe o taxă lunară fixă de $30$ de lei, la care se adaugă $15$ lei pentru fiecare intrare. Costul lunar, în lei, pentru un client care face $x$ intrări este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=15x+30$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(4)$ și precizează ce reprezintă fiecare valoare în contextul problemei. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=5$ cm și $AC=12$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O cutie de conserve are forma unui cilindru circular drept cu diametrul bazei de $6$ cm și înălțimea (generatoarea) de $5$ cm. Rezultatele se exprimă în funcție de $\pi$. a) (2 p) Determină raza bazei și calculează aria laterală a cilindrului. b) (3 p) Calculează aria totală și volumul cilindrului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $(50-2\cdot 5):8=(50-10):8=40:8=5$.
2. a) $\frac{x}{15}=\frac{4}{5}\Rightarrow x=\frac{15\cdot 4}{5}=12$.
3. c) Elementele comune sunt $4$ și $8$, deci $A\cap B=\{4,8\}$.
4. d) $20\%\cdot 150=\frac{20}{100}\cdot 150=30$.
5. a) $a=\sqrt{36}=6$; media $=\frac{6+12}{2}=9$.
6. c) $\sqrt{9}<\sqrt{15}<\sqrt{16}$, adică $3<\sqrt{15}<4$, deci $0<4-\sqrt{15}<1$; prin urmare $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) $AC=AB+BC=6+10=16$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=8$ cm; $MB=AM-AB=8-6=2$ cm.
2. b) $A$, $O$, $D$ coliniare, iar $OB$, $OC$ de aceeași parte $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. a) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.
4. c) Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci latura $=\sqrt{{\left(\frac{AC}{2}\right)}^2+{\left(\frac{BD}{2}\right)}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ cm.
5. a) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. d) $V=AB\cdot BC\cdot AE=6\cdot 4\cdot 5=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $C$ cantitatea de combustibil din rezervorul plin. a) (2 p) Prima etapă: $30\%$ din $C$. A doua etapă: $40\%$ din rest $=40\%\cdot 70\%\cdot C=28\%$ din $C$ (1 p). Cum $28\%<30\%$, în a doua etapă s-a consumat mai puțin decât în prima etapă (1 p). b) (3 p) După primele două etape s-a consumat $30\%+28\%=58\%$ din $C$, deci au rămas $42\%\cdot C$ (1 p). Acest rest a fost consumat în ultima etapă: $42\%\cdot C=21$ (1 p) $\Rightarrow C=\frac{21}{0,42}=50$ litri (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-16=(x-4)(x+4)$ și $x^2-4x=x(x-4)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x-4)}=\frac{x+4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 4$, deci $x\in \{-4,-2,-1,1,2,4\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=4$, rămân $x\in \{-4,-2,-1,1,2\}$ (1 p) (verificare: $E(-4)=0$, $E(-2)=-1$, $E(-1)=-3$, $E(1)=5$, $E(2)=3$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=15\cdot 0+30=30$ – costul lunar pentru $0$ intrări (adică taxa fixă) (1 p); $f(4)=15\cdot 4+30=60+30=90$ – costul lunar pentru $4$ intrări (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 15x+30=0\Rightarrow x=-2$, deci $A(-2,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=30$, deci $B(0,30)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 30}{2}=30$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=12$, cateta alăturată $AB=5$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{12}{13},\cos B=\frac{5}{13},\mathrm{tg}B=\frac{12}{5}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=5+12+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Raza bazei: $R=\frac{6}{2}=3$ cm (1 p). Aria laterală: $A_{\ell }=2\pi R\cdot G=2\pi \cdot 3\cdot 5=30\pi {\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Aria bazei: $A_b=\pi R^2=\pi \cdot 3^2=9\pi {\text{cm}}^2$; aria totală: $A_t=A_{\ell }+2A_b=30\pi +2\cdot 9\pi =30\pi +18\pi =48\pi {\text{cm}}^2$ (2 p). Volumul: $V=\pi R^2\cdot G=\pi \cdot 9\cdot 5=45\pi {\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.