Testul oficial de pregătire nr. 18 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $20:4+10\cdot 2$ este egal cu: a) $30$ b) $25$ c) $12$ d) $50$

Exercițiul 2 · 5 puncte Cel mai mare divizor comun al numerelor $12$ și $18$ este egal cu: a) $6$ b) $36$ c) $2$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural care aparține intervalului $\left[1,5\right]$ este egal cu: a) $4$ b) $6$ c) $5$ d) $1$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dacă $\sphericalangle ABC$ și $\sphericalangle MNP$ sunt complementare și $m\left(\sphericalangle MNP\right)=30°$, atunci măsura unghiului $ABC$ este egală cu: a) $150°$ b) $30°$ c) $120°$ d) $60°$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă triunghiulară $VABC$ cu $VO\perp \left(ABC\right)$. Unghiul dreptelor $AC$ și $VO$ are măsura de:

a) $60°$ b) $45°$ c) $90°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama următoare sunt prezentate informații despre vânzările de fructe, în kilograme, înregistrate în zilele unei săptămâni, la un supermarket.

Conform informațiilor din diagramă, diferența dintre cantitatea de fructe vândută miercuri și cea vândută vineri este egală cu: a) $203$ kg b) $420$ kg c) $218$ kg d) $315$ kg

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. În orice cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, relația dintre muchiile alăturate $AB$ și $BC$ este: a) $AB=BC$, dar $AB$ nu este perpendiculară pe $BC$ b) $AB=BC$ și $AB\perp BC$ c) $AB\parallel BC$ d) $AB\ne BC$

Exercițiul 2 · 5 puncte Calculând media aritmetică a numerelor naturale care sunt divizori ai lui $10$, aceasta este egală cu: a) $4$ b) $18$ c) $4,5$ d) $6$

Exercițiul 3 · 5 puncte Numerele naturale $x$ și $y$ sunt direct proporționale cu numerele $3$ și $4$. Determinând cele două numere naturale, știind că $x$ este cu $100$ mai mic decât $y$, obținem: a) $x=300$ și $y=400$ b) $x=400$ și $y=300$ c) $x=400$ și $y=500$ d) $x=60$ și $y=80$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\sqrt{169}+2\sqrt{12}+{\left(\sqrt{2}\right)}^4$ și $y=7-\sqrt{48}+{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}^2$. Arătați că $x=17+4\sqrt{3}$. Valoarea numărului real $x$ este egală cu: a) $13+4\sqrt{3}$ b) $21$ c) $17+2\sqrt{3}$ d) $17+4\sqrt{3}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\sqrt{169}+2\sqrt{12}+{\left(\sqrt{2}\right)}^4$ și $y=7-\sqrt{48}+{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}^2$. Arătând că produsul numerelor $x$ și $y$ este număr natural, produsul $x\cdot y$ este egal cu: a) $289$ b) $241$ c) $337$ d) $240$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2-3\left(x-10\right)-\left(x-4\right)\left(x+4\right)$, unde $x$ este număr real. Determinând numerele naturale $n$ pentru care $E\left(n\right)\ge 1$, mulțimea acestor numere naturale este: a) $\left\{0,1,2,\dots ,6\right\}$ b) $\left\{0,1,2,\dots ,5\right\}$ c) $\left\{1,2,\dots ,6\right\}$ d) $\left\{0,1,2,\dots ,7\right\}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un romb $ABCD$ cu $AB=12$ cm, $AC=12\sqrt{3}$ cm și triunghiurile echilaterale $ABF$ și $ADE$, ca în figura alăturată.

Arătați că $BD=12$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un romb $ABCD$ cu $AB=12$ cm, $AC=12\sqrt{3}$ cm și triunghiurile echilaterale $ABF$ și $ADE$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că punctele $F$, $A$ și $E$ sunt coliniare.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un romb $ABCD$ cu $AB=12$ cm, $AC=12\sqrt{3}$ cm și triunghiurile echilaterale $ABF$ și $ADE$, ca în figura alăturată.

Arătați că $AP=PQ=QC$, știind că $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $FD$ și $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BM$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $CD$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră o piramidă triunghiulară $VABC$ cu înălțimea $VO$, unde $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului echilateral $ABC$, $BC=18$ cm și $VM=9$ cm, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, ca în figura alăturată.

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $54$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou o piramidă triunghiulară $VABC$ cu înălțimea $VO$, unde $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului echilateral $ABC$, $BC=18$ cm și $VM=9$ cm, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, ca în figura alăturată.

Calculați măsura unghiului $VBC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou o piramidă triunghiulară $VABC$ cu înălțimea $VO$, unde $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului echilateral $ABC$, $BC=18$ cm și $VM=9$ cm, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreptele $VA$ și $VM$ sunt perpendiculare.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $20:4+10\cdot 2=5+20=25$ (întâi împărțirea și înmulțirea, apoi adunarea).
2. a) Divizorii lui $12$: $1,2,3,4,6,12$; divizorii lui $18$: $1,2,3,6,9,18$; cel mai mare divizor comun este $6$.
3. c) Intervalul $\left[1,5\right]$ este închis la ambele capete, deci $5$ aparține intervalului; cel mai mare număr natural din interval este $5$.
4. d) Unghiurile complementare au suma măsurilor de $90°$, deci $m\left(\sphericalangle ABC\right)=90°-30°=60°$.
5. c) $VO\perp \left(ABC\right)$, deci $VO$ este perpendiculară pe orice dreaptă din planul $\left(ABC\right)$; cum $AC\subset \left(ABC\right)$, unghiul dreptelor $AC$ și $VO$ are măsura de $90°$.
6. b) Miercuri s-au vândut $545$ kg, iar vineri $125$ kg; diferența este $545-125=420$ kg.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Într-un cub, toate muchiile sunt congruente, iar fețele sunt pătrate, deci muchiile alăturate $AB$ și $BC$ (laturi ale feței pătrate $ABCD$) verifică $AB=BC$ și $AB\perp BC$.
2. c) Numerele naturale $1$, $2$, $5$ și $10$ sunt divizorii lui $10$; $m_a=\frac{1+2+5+10}{4}=\frac{18}{4}=4,5$.
3. a) $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=k$, unde $k$ este număr rațional, deci $x=3k$ și $y=4k$; $x=y-100$, deci $k=100$, de unde obținem $x=300$ și $y=400$.
4. d) $x=\sqrt{169}+2\sqrt{12}+{\left(\sqrt{2}\right)}^4=13+4\sqrt{3}+\sqrt{16}=13+4\sqrt{3}+4=17+4\sqrt{3}$.
5. b) $y=7-4\sqrt{3}+2+2\sqrt{6}+3+2-2\sqrt{6}+3=17-4\sqrt{3}$; $x\cdot y=\left(17+4\sqrt{3}\right)\left(17-4\sqrt{3}\right)=17^2-{\left(4\sqrt{3}\right)}^2=289-48=241$, care este număr natural.
6. a) $E\left(x\right)=x^2-6x+9-3x+30-x^2+16=-9x+55$, pentru orice număr real $x$; $E\left(n\right)\ge 1\iff -9n+55\ge 1$, deci $n\le 6$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n\in \left\{0,1,2,\dots ,6\right\}$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ este romb, deci $AC\perp BD$, deci $△AOB$ este dreptunghic în $O$, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$ (2 p). $AO=\frac{AC}{2}=6\sqrt{3}$ cm, deci $BO=\sqrt{A{B}^2-A{O}^2}=\sqrt{144-108}=6$ cm și, cum $O$ este mijlocul lui $BD$, obținem $BD=12$ cm (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Din $BO=\sqrt{A{B}^2-A{O}^2}=\sqrt{144-108}=6$ cm (unde $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor) obținem $BD=12$ cm, deci $AB=AD=BD\Rightarrow △ABD$ este echilateral, deci $m\left(\sphericalangle BAD\right)=60°$ (2 p). $m\left(\sphericalangle FAE\right)=m\left(\sphericalangle FAB\right)+m\left(\sphericalangle BAD\right)+m\left(\sphericalangle DAE\right)=60°+60°+60°=180°$, deci punctele $F$, $A$ și $E$ sunt coliniare (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $AF=AE$ și punctele $F$, $A$ și $E$ sunt coliniare, deci $CA$ este mediană în $△CEF$; $DC=DE$ și punctele $C$, $D$ și $E$ sunt coliniare, deci $FD$ este mediană în $△CEF$ și, cum $\left\{P\right\}=AC\cap FD$, obținem că $P$ este centrul de greutate al $△CEF$, deci $AP=\frac{AC}{3}$ (3 p). $\left\{Q\right\}=AC\cap BM$, iar $BM$ și $CO$ sunt mediane în $△BCD$ (unde $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor rombului, mijlocul lui $BD$) $\Rightarrow Q$ este centrul de greutate al $△BCD$, deci $CQ=\frac{2}{3}\cdot CO\Rightarrow CQ=\frac{AC}{3}$, de unde obținem $AP=PQ=QC$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $△ABC$ este echilateral, deci $P_{△ABC}=3BC$ (2 p) $=3\cdot 18=54$ cm (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $VM$ este mediană în $△VBC$ și $VM=\frac{BC}{2}\Rightarrow △VBC$ este dreptunghic în $V$ (2 p). $VO\perp \left(ABC\right)$, unde $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC\Rightarrow △VOB\equiv △VOC$, deci $BV=CV$, de unde obținem că $△VBC$ este dreptunghic isoscel, deci $m\left(\sphericalangle VBC\right)=45°$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $△ABC$ echilateral $\Rightarrow AB=AC=BC$ și, cum $VA=VB=VC$, obținem $△VAB\equiv △VAC\equiv △VBC$ (2 p). $VA\perp VB$, $VA\perp VC$, $\left\{V\right\}=VB\cap VC\Rightarrow VA\perp \left(VBC\right)$ și, cum $VM\subset \left(VBC\right)$, obținem $VA\perp VM$ (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 18, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 18 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre relația dintre muchiile alăturate ale cubului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, cel mai mare divizor comun, cel mai mare număr natural dintr-un interval închis, unghiuri complementare, unghiul dintre o dreaptă din planul bazei și înălțimea unei piramide, o diagramă cu vânzări de fructe; cubul (sarcina de desen, reformulată), media aritmetică a divizorilor naturali ai lui 10, mărimi direct proporționale, numere reale cu radicali (unde $x=17+4\sqrt{3}$, iar produsul $x\cdot y$ este număr natural), o expresie $E\left(x\right)$ de gradul întâi și inecuația $E\left(n\right)\ge 1$; geometrie plană (un romb cu două triunghiuri echilaterale construite pe laturi, coliniaritate, centre de greutate, segmente congruente pe diagonală) și geometrie în spațiu (o piramidă triunghiulară regulată — perimetrul bazei, unghiul $VBC$ de $45°$, drepte perpendiculare).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.