Testul oficial de pregătire nr. 28 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $\left(12-12:3\right):8$ este egal cu: a) $0$ b) $8$ c) $2$ d) $1$

Exercițiul 2 · 5 puncte Un obiect costă $60$ de lei. După o scumpire cu $10\%$, obiectul costă: a) $66$ de lei b) $54$ de lei c) $70$ de lei d) $6$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr din mulțimea $\left\{0,1,-1,4,-4\right\}$ este egal cu: a) $-4$ b) $4$ c) $1$ d) $0$

Exercițiul 4 · 5 puncte În triunghiul $ABC$ cu $BC=8$ cm, punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ și punctul $N$ este mijlocul laturii $AC$. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu: a) $8$ cm b) $2$ cm c) $4$ cm d) $16$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă triunghiulară $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$. Unghiul dreptelor $A{A}^{\prime }$ și $BC$ are măsura de:

a) $30°$ b) $45°$ c) $60°$ d) $90°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția celor $1300$ de elevi ai unui liceu în funcție de gruparea limbilor străine studiate. Fiecare elev studiază două limbi străine.

Conform informațiilor din tabel, numărul elevilor care studiază Franceză-Spaniolă este egal cu: a) $65$ b) $130$ c) $260$ d) $10$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui trapez isoscel $ABCD$ cu $AD=BC$. Într-un trapez isoscel $ABCD$, relația dintre laturile neparalele $AD$ și $BC$ este: a) $AD\parallel BC$ b) $AD=BC$ c) $AD\perp BC$ d) $AD=2\cdot BC$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $a$ și $b$, unde $a$ este cel mai mare divizor comun al numerelor $25$ și $105$, iar $b=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}$. Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $4$ b) $5$ c) $2$ d) $\sqrt{5}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Prețul unui obiect este de $400$ de lei. După o reducere cu $10\%$ din preț, urmează o nouă reducere cu $10\%$ din noul preț. Procentul cu care s-a micșorat prețul inițial al obiectului după cele două reduceri este egal cu: a) $20\%$ b) $10\%$ c) $21\%$ d) $19\%$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele $x=\left(\sqrt{\frac{144}{25}}+\sqrt{16-\sqrt{49}}\right)\cdot 5$ și $y=\left(\sqrt{48}+3\sqrt{5}\right)\left(4\sqrt{3}-\sqrt{45}\right)-\left(\sqrt{3}+2\right)+\frac{6}{\sqrt{12}}-\left|-3\right|$. Arătați că $x=27$. Valoarea numărului $x$ este egală cu: a) $27$ b) $15$ c) $12$ d) $9$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele $x=\left(\sqrt{\frac{144}{25}}+\sqrt{16-\sqrt{49}}\right)\cdot 5$ și $y=\left(\sqrt{48}+3\sqrt{5}\right)\left(4\sqrt{3}-\sqrt{45}\right)-\left(\sqrt{3}+2\right)+\frac{6}{\sqrt{12}}-\left|-3\right|$. Arătând că numărul $N=\sqrt{x+y}$ este natural, valoarea lui $N$ este egală cu: a) $25$ b) $3$ c) $\sqrt{29}$ d) $5$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(4x+3\right)}^2-{\left(3-4x\right)}^2+\left(2x-1\right)\left(x-5\right)-2{\left(x+9\right)}^2+160$, unde $x$ este număr real. Arătând că $E\left(x\right)=x+3$, pentru orice număr real $x$, suma $E\left(1\right)+E\left(2\right)+E\left(3\right)+\dots +E\left(10\right)$ este egală cu: a) $55$ b) $85$ c) $30$ d) $100$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi isoscel $ABC$ cu $AB=12$ cm și $m\left(\sphericalangle BAC\right)=120°$. Punctul $M$ este situat pe latura $BC$, astfel încât $AM\perp AB$.

Arătați că măsura unghiului $ABC$ este de $30°$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=12$ cm și $m\left(\sphericalangle BAC\right)=120°$. Punctul $M$ este situat pe latura $BC$, astfel încât $AM\perp AB$, ca în figura alăturată.

Calculați lungimea segmentului $BM$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=12$ cm și $m\left(\sphericalangle BAC\right)=120°$. Punctul $M$ este situat pe latura $BC$, astfel încât $AM\perp AB$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că $A{C}^2=AM\cdot BC$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $36{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dreptelor $A^{\prime }B$ și $D^{\prime }O$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Se consideră punctul $M$, proiecția punctului $D$ pe planul $\left(A{D}^{\prime }C\right)$. Demonstrați că punctele $D$, $M$ și $B^{\prime }$ sunt coliniare.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) $\left(12-12:3\right):8=\left(12-4\right):8=8:8=1$.
2. a) $60+\frac{10}{100}\cdot 60=60+6=66$ de lei.
3. b) Cel mai mare număr dintre $0$, $1$, $-1$, $4$ și $-4$ este $4$.
4. c) $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$, deci $MN=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4$ cm.
5. d) $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$ și $BC\subset \left(ABC\right)\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp BC$, deci unghiul dreptelor $A{A}^{\prime }$ și $BC$ are măsura de $90°$.
6. b) Procentul elevilor care studiază Franceză-Spaniolă este $100\%-\left(60+15+10+5\right)\%=10\%$, deci numărul lor este $\frac{10}{100}\cdot 1300=130$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Într-un trapez isoscel, laturile neparalele sunt congruente, deci $AD=BC$.
2. c) Cum $25=5^2$ și $105=3\cdot 5\cdot 7\Rightarrow c.m.m.d.c.\left\{25,105\right\}=5$, deci $a=5$; $b=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\Rightarrow m_g=\sqrt{ab}=\sqrt{5\cdot \frac{4}{5}}=2$.
3. d) Prețul după prima reducere este $400-\frac{10}{100}\cdot 400=360$ de lei; prețul după a doua reducere este $360-\frac{10}{100}\cdot 360=324$ de lei, deci $\frac{p}{100}\cdot 400=400-324\Rightarrow p=19$, adică prețul inițial s-a micșorat cu $19\%$.
4. a) $x=\left(\frac{12}{5}+\sqrt{16-7}\right)\cdot 5=\left(\frac{12}{5}+\sqrt{9}\right)\cdot 5=12+3\cdot 5=27$.
5. d) $y=\left(\sqrt{48}+\sqrt{45}\right)\left(\sqrt{48}-\sqrt{45}\right)-\sqrt{3}-2+\frac{6}{2\sqrt{3}}-3=48-45-\sqrt{3}-5+\sqrt{3}=-2$, deci $N=\sqrt{x+y}=\sqrt{27+\left(-2\right)}=\sqrt{25}=5$, care este număr natural.
6. b) $E\left(x\right)=16x^2+24x+9-9+24x-16x^2+2x^2-11x+5-2x^2-36x-162+160=x+3$, pentru orice număr real $x$; $E\left(1\right)+E\left(2\right)+E\left(3\right)+\dots +E\left(10\right)=\left(1+2+3+\dots +10\right)+3\cdot 10=55+30=85$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $△ABC$ este isoscel, deci $m\left(\sphericalangle ABC\right)=\frac{180°-m\left(\sphericalangle BAC\right)}{2}$ (3 p) $=\frac{180°-120°}{2}=30°$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $△ABM$ este dreptunghic în $A\Rightarrow \cos \left(\sphericalangle ABM\right)=\frac{AB}{BM}$ (2 p). $\cos 30°=\frac{12}{BM}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{BM}$, deci $BM=8\sqrt{3}$ cm (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $m\left(\sphericalangle MAC\right)=m\left(\sphericalangle BAC\right)-m\left(\sphericalangle BAM\right)=120°-90°=30°$ și, cum $△ABC$ este isoscel, deci $m\left(\sphericalangle ACB\right)=30°$, obținem că $△ABC\sim △MAC$ (3 p). $\frac{AB}{MA}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow AB\cdot AC=AM\cdot BC$ și, cum $AB=AC$, obținem $A{C}^2=AM\cdot BC$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat, deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2$ (3 p) $=6^2=36{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $BC\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }$ și $BC=A^{\prime }{D}^{\prime }\Rightarrow A^{\prime }{D}^{\prime }CB$ este paralelogram, deci $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$, de unde obținem că $m\left(\sphericalangle \left(A^{\prime }B,D^{\prime }O\right)\right)=m\left(\sphericalangle \left(D^{\prime }C,D^{\prime }O\right)\right)$ (2 p). $AC=6\sqrt{2}$ cm, $D^{\prime }C=6\sqrt{2}$ cm și $A{D}^{\prime }=6\sqrt{2}$ cm $\Rightarrow △D^{\prime }AC$ este echilateral și, cum $O$ este mijlocul segmentului $AC\Rightarrow D^{\prime }O$ este bisectoarea unghiului $A{D}^{\prime }C\Rightarrow m\left(\sphericalangle \left(D^{\prime }C,D^{\prime }O\right)\right)=m\left(\sphericalangle C{D}^{\prime }O\right)=30°$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $DA=D{D}^{\prime }=DC$ și, cum $DM\perp \left(A{D}^{\prime }C\right)$, $M\in \left(A{D}^{\prime }C\right)$, triunghiurile $DMA$, $DM{D}^{\prime }$ și $DMC$ sunt dreptunghice și au latura $DM$ comună $\Rightarrow △DMA\equiv △DM{D}^{\prime }\equiv △DMC\Rightarrow AM=D^{\prime }M=CM$, deci $M$ este centrul cercului circumscris $△D^{\prime }AC$ (2 p). $B^{\prime }A=B^{\prime }{D}^{\prime }=B^{\prime }C$ și, cum pentru $B^{\prime }N\perp \left(A{D}^{\prime }C\right)$, $N\in \left(A{D}^{\prime }C\right)$, triunghiurile $B^{\prime }NA$, $B^{\prime }N{D}^{\prime }$ și $B^{\prime }NC$ sunt dreptunghice și au latura $B^{\prime }N$ comună, obținem $△B^{\prime }NA\equiv △B^{\prime }N{D}^{\prime }\equiv △B^{\prime }NC$, deci $AN=D^{\prime }N=CN\Rightarrow N$ este centrul cercului circumscris $△D^{\prime }AC$, de unde obținem că $M=N$ și, cum $DM\perp \left(A{D}^{\prime }C\right)$ și $B^{\prime }N\perp \left(A{D}^{\prime }C\right)$, punctele $D$, $M$ și $B^{\prime }$ sunt coliniare (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 28, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 28 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un trapez isoscel $ABCD$ cu $AD=BC$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre relația dintre laturile neparalele ale trapezului isoscel, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o scumpire cu $10\%$, cel mai mare număr dintr-o mulțime de numere întregi, linia mijlocie în triunghi, unghiul dintre două drepte într-o prismă triunghiulară dreaptă, un tabel cu procente (limbile străine studiate de elevii unui liceu); trapezul isoscel, cel mai mare divizor comun și o sumă telescopică cu media geometrică, două reduceri succesive de preț, numere reale cu radicali, o expresie $E\left(x\right)$ redusă la $x+3$ și suma $E\left(1\right)+E\left(2\right)+\dots +E\left(10\right)$; geometrie plană (un triunghi isoscel cu unghiul de $120°$, cosinus, asemănare de triunghiuri) și geometrie în spațiu (un cub — aria bazei, unghiul dreptelor $A^{\prime }B$ și $D^{\prime }O$, coliniaritate prin centrul cercului circumscris).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.