Testul oficial de pregătire nr. 29 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $\left(9-9:3\right):6$ este egal cu: a) $0$ b) $1$ c) $6$ d) $3$

Exercițiul 2 · 5 puncte Zece kilograme de mere costă $30$ de lei. Un kilogram de mere de același fel costă: a) $3$ lei b) $30$ de lei c) $0,3$ lei d) $300$ de lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $A=\left\{-3,-2,-1,0\right\}$ și $B=\left\{0,1,2,3\right\}$, atunci $A\cap B$ este egală cu: a) $\left\{0,1,2,3\right\}$ b) $\varnothing$ c) $\left\{0\right\}$ d) $\left\{-3,3\right\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ are ipotenuza $BC=10\sqrt{2}$ cm. Aria acestui triunghi este egală cu: a) $25{\text{cm}}^2$ b) $100{\text{cm}}^2$ c) $50\sqrt{2}{\text{cm}}^2$ d) $50{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ cu $VO\perp \left(ABC\right)$. Unghiul dreptelor $VO$ și $BC$ are măsura de:

a) $45°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată situația statistică a notelor obținute de elevii unei clase a VIII-a la un test.

Conform tabelului, media notelor obținute de elevii clasei a VIII-a la test este egală cu: a) $7,75$ b) $7,5$ c) $8$ d) $7,25$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui paralelipiped dreptunghic $ABCDMNPQ$. Numărul de fețe, numărul de muchii și numărul de vârfuri ale unui paralelipiped dreptunghic sunt, respectiv: a) $6$, $8$ și $12$ b) $6$, $12$ și $8$ c) $8$, $12$ și $6$ d) $4$, $12$ și $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinând numărul natural de trei cifre, care are cifra unităților $9$ și care se divide cu fiecare dintre cifrele sale, acest număr este egal cu: a) $119$ b) $909$ c) $189$ d) $999$

Exercițiul 3 · 5 puncte În două cartiere locuiesc $2100$ de persoane. Numărul locuitorilor din primul cartier reprezintă jumătate din numărul locuitorilor din al doilea cartier. Numărul locuitorilor din primul cartier și, respectiv, din al doilea cartier este: a) $700$ și $1400$ b) $1050$ și $1050$ c) $500$ și $1600$ d) $600$ și $1500$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{2\sqrt{5}}\right):\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)$ și $b={\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}^2+\sqrt{84}$. Arătați că $a=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Valoarea numărului real $a$ este egală cu: a) $\sqrt{10}$ b) $\frac{1}{10}$ c) $\frac{1}{\sqrt{10}}$ d) $\frac{1}{\sqrt{5}}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{2\sqrt{5}}\right):\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)$ și $b={\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}^2+\sqrt{84}$. Calculați $a^{2020}\cdot b^{1010}$. Rezultatul calculului $a^{2020}\cdot b^{1010}$ este egal cu: a) $10$ b) $1$ c) $0$ d) $10^{1010}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2+{\left(2x+1\right)}^2-{\left(2x-1\right)}^2$, unde $x$ este număr real. Știind că $n$ este un număr natural pentru care $E\left(n\right)$ este pătratul unui număr natural, se arată că $n$ se divide cu: a) $2$ b) $4$ c) $5$ d) $3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate un paralelogram $ABCD$ cu $AB=5$ cm, $BC=7$ cm și, în exteriorul paralelogramului $ABCD$, pătratele $ABEF$ și $ADMN$.

Arătați că perimetrul patrulaterului $ABCD$ este egal cu $24$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate din nou un paralelogram $ABCD$ cu $AB=5$ cm, $BC=7$ cm și, în exteriorul paralelogramului $ABCD$, pătratele $ABEF$ și $ADMN$.

Demonstrați că segmentele $NF$ și $AC$ sunt congruente.

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate din nou un paralelogram $ABCD$ cu $AB=5$ cm, $BC=7$ cm și, în exteriorul paralelogramului $ABCD$, pătratele $ABEF$ și $ADMN$.

Demonstrați că dreptele $AC$ și $NF$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=18$ cm și dreapta $MO$ perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$, unde $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$, $MO=6$ cm. Punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$.

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $54$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat din nou un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=18$ cm și dreapta $MO$ perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$, unde $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$, $MO=6$ cm. Punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $MA$ și planul $\left(ABC\right)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat din nou un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=18$ cm și dreapta $MO$ perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$, unde $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$, $MO=6$ cm. Punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$.

Demonstrați că distanța de la punctul $A$ la planul $\left(MBC\right)$ este egală cu $\frac{18\sqrt{21}}{7}$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $\left(9-9:3\right):6=\left(9-3\right):6=6:6=1$.
2. a) Un kilogram de mere costă $30:10=3$ lei.
3. c) Singurul element comun al mulțimilor $A$ și $B$ este $0$, deci $A\cap B=\left\{0\right\}$.
4. d) Catetele triunghiului dreptunghic isoscel verifică $c^2+c^2={\left(10\sqrt{2}\right)}^2=200$, deci $c^2=100$ și $c=10$ cm; aria $=\frac{c\cdot c}{2}=\frac{100}{2}=50{\text{cm}}^2$.
5. b) $VO\perp \left(ABC\right)$ și $BC\subset \left(ABC\right)$, deci $VO\perp BC$, așadar unghiul dreptelor $VO$ și $BC$ are măsura de $90°$.
6. a) Media $=\frac{5\cdot 2+6\cdot 3+7\cdot 6+8\cdot 5+9\cdot 4+10\cdot 4}{2+3+6+5+4+4}=\frac{10+18+42+40+36+40}{24}=\frac{186}{24}=7,75$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Paralelipipedul dreptunghic $ABCDMNPQ$ are $6$ fețe, $12$ muchii și $8$ vârfuri.
2. d) $n=\overline{ab9}$ este divizibil cu $9\Rightarrow a+b+9$ se divide cu $9$, deci $a+b$ se divide cu $9$; $n=\overline{ab9}$ este număr impar și se divide cu $a$ și $b$, deci $a$ și $b$ sunt impare $\Rightarrow a+b$ este număr par, deci $a+b=18$ și obținem $a=b=9$, deci $n=999$.
3. a) Numărul locuitorilor din al doilea cartier este $2x$, unde $x$ este numărul de locuitori din primul cartier; $x+2x=2100\Rightarrow 3x=2100$, deci $x=700$ de locuitori sunt în primul cartier și $700\cdot 2=1400$ de locuitori sunt în al doilea cartier.
4. c) $a=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right):\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right):\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$.
5. b) $b=3-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}=10$; $a^{2020}\cdot b^{1010}=\frac{1}{10^{1010}}\cdot 10^{1010}=1$.
6. d) $E\left(x\right)=\left(\left(x+1\right)-\left(x-1\right)\right)\left(\left(x+1\right)+\left(x-1\right)\right)+\left(\left(2x+1\right)-\left(2x-1\right)\right)\left(\left(2x+1\right)+\left(2x-1\right)\right)=2\cdot 2x+2\cdot 4x=12x$. Cum $E\left(n\right)=4\cdot 3\cdot n=2^2\cdot 3\cdot n$ este pătratul unui număr natural, obținem că $n$ se divide cu $3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ paralelogram, deci $P_{ABCD}=2\left(AB+BC\right)$ (3 p) $=2\cdot 12=24$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $m\left(\sphericalangle NAF\right)=360°-m\left(\sphericalangle NAD\right)-m\left(\sphericalangle BAD\right)-m\left(\sphericalangle BAF\right)=180°-m\left(\sphericalangle BAD\right)$ și, cum $ABCD$ este paralelogram, deci $\sphericalangle BAD$ și $\sphericalangle ADC$ sunt suplementare, obținem $\sphericalangle NAF\equiv \sphericalangle ADC$ (2 p). $AF=AB$, $AB=DC\Rightarrow AF=DC$ și, cum $\sphericalangle NAF\equiv \sphericalangle ADC$ și $NA=AD\Rightarrow △NAF\equiv △ADC$, deci $NF=AC$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $m\left(\sphericalangle CAP\right)=180°$, unde $\left\{P\right\}=AC\cap NF$, deci $m\left(\sphericalangle PAF\right)+m\left(\sphericalangle BAC\right)=90°$ (2 p). $AB\parallel CD\Rightarrow \sphericalangle BAC\equiv \sphericalangle DCA$ și, cum $\sphericalangle DCA\equiv \sphericalangle AFN$, obținem $m\left(\sphericalangle PAF\right)+m\left(\sphericalangle AFP\right)=90°$, de unde obținem $m\left(\sphericalangle APF\right)=90°\Rightarrow AC\perp NF$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $△ABC$ este echilateral, deci $P_{△ABC}=3AB$ (3 p) $=3\cdot 18=54$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $MO\perp \left(ABC\right)\Rightarrow m\left(\sphericalangle \left(MA,\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\sphericalangle \left(MA,AO\right)\right)=m\left(\sphericalangle MAO\right)$ (2 p). $△ABC$ este echilateral, deci $AO=\frac{2}{3}AN=6\sqrt{3}$ cm și, cum $△MOA$ este dreptunghic, obținem $\text{tg}\left(\sphericalangle MAO\right)=\frac{MO}{AO}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, deci $m\left(\sphericalangle MAO\right)=30°$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $MO\perp \left(ABC\right)\Rightarrow MO\perp BC$ și, cum $ON\perp BC$ și $MO\cap ON=\left\{O\right\}$, obținem $BC\perp \left(MON\right)$, deci $BC\perp AP$, unde $AP\perp MN$, $P\in MN$ și, cum $MN\cap BC=\left\{N\right\}$, obținem $AP\perp \left(MBC\right)$, deci $d\left(A,\left(MBC\right)\right)=AP$ (2 p). $AN=9\sqrt{3}$ cm, $MN=3\sqrt{7}$ cm și, cum ${\mathcal{A}}_{△MAN}=\frac{AP\cdot MN}{2}=\frac{MO\cdot AN}{2}$, obținem $AP=\frac{18\sqrt{21}}{7}$ cm (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 29, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 29 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic $ABCDMNPQ$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul de fețe, de muchii și de vârfuri ale paralelipipedului dreptunghic, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor cu paranteze, prețul unui kilogram de mere, intersecția a două mulțimi, aria triunghiului dreptunghic isoscel cu ipotenuza dată, unghiul dintre o dreaptă perpendiculară pe plan și o dreaptă din plan (o piramidă patrulateră), media notelor dintr-un tabel statistic; paralelipipedul dreptunghic, numărul natural de trei cifre cu cifra unităților $9$ care se divide cu fiecare dintre cifrele sale, o problemă cu locuitorii a două cartiere, numere reale cu radicali ($a=\frac{1}{\sqrt{10}}$ și $b=10$, apoi $a^{2020}\cdot b^{1010}$), o expresie $E\left(x\right)=12x$ și divizibilitatea cu $3$; geometrie plană (un paralelogram cu două pătrate construite în exterior — perimetru, segmente congruente, drepte perpendiculare) și geometrie în spațiu (un triunghi echilateral cu o dreaptă perpendiculară pe planul său — perimetru, unghiul dintre o dreaptă și un plan, distanța de la un punct la un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.