Testul oficial de pregătire nr. 30 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10-2\cdot \left(10-10:2\right)$ este egal cu: a) $0$ b) $40$ c) $10$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x-1}{6}=\frac{1}{6}$, atunci numărul real $x$ este egal cu: a) $-2$ b) $7$ c) $1$ d) $2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural de două cifre divizibil cu $10$ este: a) $99$ b) $90$ c) $80$ d) $100$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un cerc are raza $r=10$ cm. Lungimea acestui cerc este egală cu $\dots \pi$ cm, unde numărul care completează enunțul este: a) $10$ b) $100$ c) $20$ d) $5$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$. Unghiul dreptelor $AE$ și $EG$ are măsura de:

a) $45°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul următor sunt prezentate informații despre numărul de vizitatori ai unui site de știri, în cinci zile consecutive ale unei săptămâni.

Conform tabelului, numărul de vizitatori ai site-ului în ziua de luni este mai mare decât numărul de vizitatori ai site-ului în ziua de vineri cu: a) $60000$ b) $50000$ c) $40000$ d) $31000$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unei piramide patrulatere cu vârful $V$ și baza pătratul $ABCD$. Numărul tuturor muchiilor acestei piramide patrulatere este egal cu: a) $6$ b) $8$ c) $12$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinând numerele naturale de trei cifre care sunt de $34$ de ori mai mari decât suma cifrelor lor, acestea sunt: a) $102$, $204$ și $306$ b) $102$, $204$, $306$ și $408$ c) $136$, $204$, $306$ și $408$ d) $108$, $216$, $324$ și $432$

Exercițiul 3 · 5 puncte Vârsta unei mame este de $3$ ori mai mare decât vârsta fiicei ei, iar vârsta tatălui este cu $4$ ani mai mare decât vârsta mamei. Suma vârstelor celor trei este $88$ de ani. Vârsta tatălui este egală cu: a) $36$ de ani b) $44$ de ani c) $40$ de ani d) $48$ de ani

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right):\sqrt{6}$ și $b=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{4\cdot 6}$. Arătați că $a=2$. Valoarea numărului real $a$ este egală cu: a) $2$ b) $\sqrt{6}$ c) $2\sqrt{6}$ d) $6$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right):\sqrt{6}$ și $b=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{4\cdot 6}$. Calculați ${\left(8a-30b\right)}^{100}$. Valoarea calculului ${\left(8a-30b\right)}^{100}$ este egală cu: a) $-1$ b) $0$ c) $2^{100}$ d) $1$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(x+3\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2-\left(x+3\right)\left(x-3\right)+\left(x+1\right)\left(x-1\right)$, unde $x$ este număr real. Numerele naturale $n$ pentru care $E\left(n\right)\le 20$ sunt: a) $n\in \left\{0,1\right\}$ b) $n\in \left\{0,1,2\right\}$ c) $n=1$ d) $n\in \left\{1,2\right\}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un triunghi $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=32$ cm și $BD=8$ cm, unde $AD\perp BC$, $D\in BC$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AC$, ca în figura alăturată.

Arătați că $AB=16$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un triunghi $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=32$ cm și $BD=8$ cm, unde $AD\perp BC$, $D\in BC$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AC$, ca în figura alăturată.

Calculați aria patrulaterului $ABDM$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un triunghi $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=32$ cm și $BD=8$ cm, unde $AD\perp BC$, $D\in BC$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AC$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că, dacă $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $AB$ și $DM$, atunci segmentele $MN$ și $AC$ sunt congruente.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră o prismă patrulateră $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=6$ cm și $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$. Dreptele $AC$ și $BD$ se intersectează în $O$, iar dreptele $B{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$ se intersectează în $M$, ca în figura alăturată.

Arătați că perimetrul patrulaterului $ABCD$ este egal cu $24$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou o prismă patrulateră $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=6$ cm și $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$. Dreptele $AC$ și $BD$ se intersectează în $O$, iar dreptele $B{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$ se intersectează în $M$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $D{C}^{\prime }$ este paralelă cu planul $\left(COM\right)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou o prismă patrulateră $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=6$ cm și $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$. Dreptele $AC$ și $BD$ se intersectează în $O$, iar dreptele $B{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$ se intersectează în $M$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că, dacă punctul $N$ este simetricul punctului $O$ față de punctul $M$, atunci punctele $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ și $N$ sunt coplanare.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $10-2\cdot \left(10-10:2\right)=10-2\cdot \left(10-5\right)=10-2\cdot 5=10-10=0$.
2. d) $\frac{x-1}{6}=\frac{1}{6}\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2$.
3. b) Numerele naturale de două cifre divizibile cu $10$ sunt $10,20,30,\dots ,90$; cel mai mare dintre ele este $90$.
4. c) Lungimea cercului $=2\pi r=2\pi \cdot 10=20\pi$ cm, deci numărul căutat este $20$.
5. b) $AE$ este muchie laterală a cubului, deci $AE\perp \left(EFGH\right)$; cum $EG\subset \left(EFGH\right)$ (diagonala feței de sus), obținem $AE\perp EG$, deci unghiul dreptelor $AE$ și $EG$ are măsura de $90°$.
6. a) $95695-35695=60000$ de vizitatori.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Piramida patrulateră cu vârful $V$ și baza pătratul $ABCD$ are $4$ muchii ale bazei ($AB$, $BC$, $CD$, $DA$) și $4$ muchii laterale ($VA$, $VB$, $VC$, $VD$), în total $8$ muchii.
2. b) $n=\overline{abc}\Rightarrow 100a+10b+c=34\left(a+b+c\right)\Rightarrow 8b=11\left(2a-c\right)$, de unde obținem $11$ divide $b$, deci $b=0$ și $c=2a$. Obținem numerele $102$, $204$, $306$ și $408$.
3. c) Vârsta mamei este $x-4$, vârsta fiicei $\frac{1}{3}\left(x-4\right)$, unde $x$ este vârsta tatălui; $x+x-4+\frac{1}{3}\left(x-4\right)=88\Rightarrow x=40$ de ani.
4. a) $a=\left(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-\sqrt{5}\right)\left(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)+\sqrt{5}\right):\sqrt{6}=\left({\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2\right):\sqrt{6}=\left(2+2\sqrt{6}+3-5\right):\sqrt{6}=2\sqrt{6}:\sqrt{6}=2$.
5. d) $b=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}=\frac{8+3+1}{24}+\frac{1}{15}=\frac{1}{2}+\frac{1}{15}=\frac{17}{30}$, deci ${\left(8a-30b\right)}^{100}={\left(8\cdot 2-30\cdot \frac{17}{30}\right)}^{100}={\left(16-17\right)}^{100}={\left(-1\right)}^{100}=1$.
6. a) $E\left(x\right)=\left(x+3-x-1\right)\left(x+3+x+1\right)-\left(x^2-9\right)+\left(x^2-1\right)=2\left(2x+4\right)-x^2+9+x^2-1=4x+16$, pentru orice număr real $x$. $E\left(n\right)=4n+16\le 20\Rightarrow 4n\le 4\Rightarrow n\le 1$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n=0$ sau $n=1$, adică $n\in \left\{0,1\right\}$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $△ABC$ este dreptunghic în $A$ și $AD\perp BC$, $D\in BC\Rightarrow A{B}^2=BD\cdot BC$ (teorema catetei) (3 p) $=8\cdot 32=256\Rightarrow AB=16$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $△ABC$ este dreptunghic în $A$ și $AD\perp BC$, $D\in BC\Rightarrow AD=\sqrt{BD\cdot DC}=\sqrt{8\cdot 24}=8\sqrt{3}$ cm (teorema înălțimii), deci ${\mathcal{A}}_{△ABD}=\frac{AD\cdot BD}{2}=32\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p). $△ADC$ este dreptunghic în $D$ și $M$ este mijlocul laturii $AC\Rightarrow {\mathcal{A}}_{△AMD}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{△ADC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{AD\cdot DC}{2}=48\sqrt{3}{\text{cm}}^2$, deci ${\mathcal{A}}_{ABDM}={\mathcal{A}}_{△ABD}+{\mathcal{A}}_{△AMD}=80\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $△ABC$ este dreptunghic în $A$ și $AB=\frac{BC}{2}\Rightarrow m\left(\sphericalangle ACB\right)=30°$ și, cum $MC=MD$ ($M$ este mijlocul ipotenuzei $AC$ în triunghiul $ADC$, dreptunghic în $D$), obținem $m\left(\sphericalangle DMC\right)=120°$, deci $m\left(\sphericalangle AMN\right)=60°$ (2 p). $△AMN$ este dreptunghic în $A$ și $m\left(\sphericalangle AMN\right)=60°\Rightarrow m\left(\sphericalangle ANM\right)=30°\Rightarrow AM=\frac{MN}{2}$, deci $MN=2AM$ și, cum $AC=2AM$, obținem $MN=AC$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat, deci $P_{ABCD}=4AB$ (3 p) $=4\cdot 6=24$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat cu $\left\{O\right\}=AC\cap BD\Rightarrow O$ este mijlocul segmentului $BD$ și $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ este dreptunghi cu $\left\{M\right\}=B{C}^{\prime }\cap B^{\prime }C\Rightarrow M$ este mijlocul segmentului $B{C}^{\prime }$, deci $OM$ este linie mijlocie în $△BD{C}^{\prime }$ (3 p). $D{C}^{\prime }\parallel OM$ și $OM\subset \left(COM\right)\Rightarrow D{C}^{\prime }\parallel \left(COM\right)$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $M$ este mijlocul segmentului $ON$ și $M$ este mijlocul segmentului $B^{\prime }C\Rightarrow OCN{B}^{\prime }$ este paralelogram, deci $B^{\prime }N\parallel OC$ (3 p). $OC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }\Rightarrow B^{\prime }N\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$, deci punctele $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ și $N$ sunt coplanare (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 30, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 30 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră cu vârful $V$ și baza pătratul $ABCD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor piramidei patrulatere, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o ecuație cu fracții, cel mai mare număr natural de două cifre divizibil cu $10$, lungimea unui cerc de rază dată, unghiul dintre două drepte într-un cub, un tabel cu numărul de vizitatori ai unui site de știri; piramida patrulateră, numerele de trei cifre care sunt de $34$ de ori mai mari decât suma cifrelor lor, o problemă de vârste (mamă, fiică, tată), numere reale cu radicali $\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right):\sqrt{6}$ și o sumă de fracții, o expresie $E\left(x\right)$ de gradul întâi și o inecuație în numere naturale; geometrie plană (un triunghi dreptunghic cu înălțimea pe ipotenuză — teorema catetei, aria unui patrulater, congruență de segmente) și geometrie în spațiu (o prismă patrulateră cu baza pătrat — perimetrul bazei, o dreaptă paralelă cu un plan, puncte coplanare).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.