Testul oficial de pregătire nr. 31 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $3\cdot 5-\left(10-20:4\right)\cdot 3$ este egal cu: a) $3$ b) $15$ c) $0$ d) $30$

Exercițiul 2 · 5 puncte Un kilogram de mere costă $2,50$ lei. Patru kilograme de mere de același fel costă: a) $10$ lei b) $2,50$ lei c) $12,50$ lei d) $8$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Numărul de elemente ale mulțimii $A=\left\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 4\right\}$ este: a) $4$ b) $5$ c) $3$ d) $6$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dreptunghiul $ABCD$ are aria egală cu $30{\text{cm}}^2$. Știind că $AB=6$ cm, lungimea laturii $AD$ este egală cu: a) $6$ cm b) $4$ cm c) $24$ cm d) $5$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $D{D}^{\prime }$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ are măsura de:

a) $90°$ b) $45°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama următoare sunt prezentate informații despre temperatura, în °C, înregistrată în fiecare dintre zilele unei săptămâni.

Conform informațiilor din diagramă, diferența dintre cea mai mare temperatură și cea mai mică temperatură înregistrate în acea săptămână este egală cu: a) $12$ °C b) $6$ °C c) $18$ °C d) $14$ °C

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui trapez $ABCD$ cu bazele $AB$ și $CD$, $CD<AB$. În orice trapez $ABCD$ cu bazele $AB$ și $CD$, relația dintre bazele $AB$ și $CD$ este: a) $AB=CD$ b) $AB\perp CD$ c) $AB$ și $CD$ sunt concurente d) $AB\parallel CD$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se determină numerele naturale $x$, $y$, $z$, știind că acestea sunt invers proporționale cu numerele $2$, $3$, $4$ și că $xy+yz+xz=54$. Aceste numere sunt: a) $x=6$, $y=4$, $z=3$ b) $x=4$, $y=6$, $z=3$ c) $x=6$, $y=3$, $z=4$ d) $x=12$, $y=8$, $z=6$

Exercițiul 3 · 5 puncte Andrei are trofeele câștigate la șah aranjate pe două rafturi ale bibliotecii, astfel încât pe primul raft sunt cu două trofee mai multe decât pe al doilea raft. Dacă mută trei trofee de pe primul raft pe al doilea, atunci pe al doilea raft vor fi de două ori mai multe trofee decât pe primul raft. Numărul de trofee câștigate la șah, pe care le are Andrei pe cele două rafturi, este egal cu: a) $10$ b) $14$ c) $12$ d) $16$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4\sqrt{2}}$ și $b=\left(0,(6)+2\frac{1}{3}\right):\frac{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2-4}{2}$. Arătați că $a=\frac{7\left(2-\sqrt{2}\right)}{8}$. Valoarea numărului real $a$ este egală cu: a) $\frac{7\left(2+\sqrt{2}\right)}{8}$ b) $\frac{7\left(2-\sqrt{2}\right)}{8}$ c) $\frac{2-\sqrt{2}}{8}$ d) $\frac{7\sqrt{2}}{8}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4\sqrt{2}}$ și $b=\left(0,(6)+2\frac{1}{3}\right):\frac{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2-4}{2}$. Arătați că $\left(2+\sqrt{2}\right)a=\sqrt{3}\cdot b-\frac{5}{4}$. Valoarea comună a celor două expresii, $\left(2+\sqrt{2}\right)a$ și $\sqrt{3}\cdot b-\frac{5}{4}$, este egală cu: a) $\frac{5}{4}$ b) $3$ c) $\frac{7}{2}$ d) $\frac{7}{4}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)+{\left(x+2\right)}^2-{\left(x-2\right)}^2-x\left(x+8\right)+5$, unde $x$ este număr real. Rezultatul calculului $E\left(1\right)-2E\left(2\right)+3E\left(3\right)-4E\left(4\right)+\dots +9E\left(9\right)-10E\left(10\right)$ este egal cu: a) $-5$ b) $5$ c) $-10$ d) $1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelogram $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $BC=8$ cm. Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $CD$, punctul $M$ este simetricul punctului $D$ față de punctul $E$ și punctul $N$ este simetricul punctului $B$ față de punctul $F$.

Arătați că perimetrul paralelogramului $ABCD$ este egal cu $40$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat din nou un paralelogram $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $BC=8$ cm. Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $CD$, punctul $M$ este simetricul punctului $D$ față de punctul $E$ și punctul $N$ este simetricul punctului $B$ față de punctul $F$.

Demonstrați că punctele $M$, $B$ și $C$ sunt coliniare.

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat din nou un paralelogram $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $BC=8$ cm. Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $CD$, punctul $M$ este simetricul punctului $D$ față de punctul $E$ și punctul $N$ este simetricul punctului $B$ față de punctul $F$.

Demonstrați că, dacă segmentele $AC$ și $MN$ sunt congruente, atunci dreptele $AM$ și $AN$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un romb $ABCD$ cu $AC=12\sqrt{3}$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar dreapta $VO$ este perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$, $VO=6$ cm. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt situate pe segmentele $VB$, $VC$ și, respectiv, $VO$ astfel încât $\frac{VM}{VB}=\frac{2}{3}$, $CN=4$ cm și $VP=2PO$.

Arătați că lungimea segmentului $CO$ este egală cu $6\sqrt{3}$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat din nou un romb $ABCD$ cu $AC=12\sqrt{3}$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar dreapta $VO$ este perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$, $VO=6$ cm. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt situate pe segmentele $VB$, $VC$ și, respectiv, $VO$ astfel încât $\frac{VM}{VB}=\frac{2}{3}$, $CN=4$ cm și $VP=2PO$.

Demonstrați că planele $\left(MNP\right)$ și $\left(ABC\right)$ sunt paralele.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat din nou un romb $ABCD$ cu $AC=12\sqrt{3}$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar dreapta $VO$ este perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$, $VO=6$ cm. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt situate pe segmentele $VB$, $VC$ și, respectiv, $VO$ astfel încât $\frac{VM}{VB}=\frac{2}{3}$, $CN=4$ cm și $VP=2PO$.

Determinați distanța dintre planele paralele $\left(MNP\right)$ și $\left(ABC\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $3\cdot 5-\left(10-20:4\right)\cdot 3=15-\left(10-5\right)\cdot 3=15-15=0$.
2. a) $2,50\cdot 4=10$ lei.
3. b) $A=\left\{0,1,2,3,4\right\}$, deci mulțimea $A$ are $5$ elemente.
4. d) $AD=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{AB}=\frac{30}{6}=5$ cm.
5. a) $D{D}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ (muchii laterale ale cubului), deci unghiul dreptelor $D{D}^{\prime }$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu unghiul dreptelor $C{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$; cum fața $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ este pătrat, $C{C}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$, deci unghiul are măsura de $90°$.
6. c) Cea mai mare temperatură este $6$ °C (sâmbătă), iar cea mai mică este $-12$ °C (luni); diferența $=6-\left(-12\right)=18$ °C.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Într-un trapez, bazele sunt paralele, deci $AB\parallel CD$.
2. a) $2x=3y=4z=k$, unde $k$ este număr natural, deci $x=\frac{k}{2}$, $y=\frac{k}{3}$, $z=\frac{k}{4}$; $\frac{k}{2}\cdot \frac{k}{3}+\frac{k}{3}\cdot \frac{k}{4}+\frac{k}{2}\cdot \frac{k}{4}=54\Rightarrow k^2=144$ și, cum $k$ este număr natural, obținem $k=12$, deci $x=6$, $y=4$ și $z=3$.
3. c) Pe primul raft sunt $x+2$ trofee, unde $x$ este numărul de trofee de pe al doilea raft; $2\left(x+2-3\right)=x+3\iff x=5$, deci Andrei are $5+2+5=12$ trofee câștigate la șah.
4. b) $a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)=\frac{4+2+1}{4}-\frac{4+2+1}{4\sqrt{2}}=\frac{7}{4}-\frac{7}{4\sqrt{2}}=\frac{7}{4}-\frac{7\sqrt{2}}{8}=\frac{14-7\sqrt{2}}{8}=\frac{7\left(2-\sqrt{2}\right)}{8}$.
5. d) $b=\left(\frac{6}{9}+\frac{7}{3}\right):\frac{1+2\sqrt{3}+3-4}{2}=\left(\frac{2}{3}+\frac{7}{3}\right):\frac{2\sqrt{3}}{2}=3:\sqrt{3}=\sqrt{3}$; $\left(2+\sqrt{2}\right)a=\left(2+\sqrt{2}\right)\cdot \frac{7\left(2-\sqrt{2}\right)}{8}=\frac{7\left(4-2\right)}{8}=\frac{7}{4}$ și, cum $\sqrt{3}\cdot b-\frac{5}{4}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-\frac{5}{4}=3-\frac{5}{4}=\frac{7}{4}$, obținem $\left(2+\sqrt{2}\right)a=\sqrt{3}\cdot b-\frac{5}{4}=\frac{7}{4}$.
6. a) $E\left(x\right)=x^2-4+x^2+4x+4-\left(x^2-4x+4\right)-x^2-8x+5=1$, pentru orice $x$ număr real; $E\left(1\right)-2E\left(2\right)+3E\left(3\right)-4E\left(4\right)+\dots +9E\left(9\right)-10E\left(10\right)=1-2+3-4+\dots +9-10=-5$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ este paralelogram, deci $P_{ABCD}=2\left(AB+BC\right)$ (3 p) $=2\left(12+8\right)=40$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $M$ este simetricul punctului $D$ față de punctul $E$, deci $E$ este mijlocul segmentului $DM$ și, cum $E$ este mijlocul segmentului $AB$, obținem că $AMBD$ este paralelogram (3 p). $AD\parallel MB$ și $AD\parallel BC$, deci punctele $M$, $B$ și $C$ sunt coliniare (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $BCND$ este paralelogram, deci $BC\parallel DN$ și $BC=DN$, de unde obținem că punctele $A$, $D$ și $N$ sunt coliniare și $AN=2AD$ (2 p). $AN\parallel MC$, $AN=MC\Rightarrow AMCN$ este paralelogram și, cum $AC=MN$, obținem că $AMCN$ este dreptunghi, deci $AM\perp AN$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este romb și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, deci $CO=\frac{AC}{2}$ (3 p) $=\frac{12\sqrt{3}}{2}\text{cm}=6\sqrt{3}$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $△VOC$ este dreptunghic, deci $VC=\sqrt{V{O}^2+C{O}^2}=12$ cm și, cum $CN=4$ cm, obținem $\frac{VN}{VC}=\frac{2}{3}=\frac{VM}{VB}\Rightarrow MN\parallel BC$ (2 p). $VP=2PO\Rightarrow \frac{VP}{VO}=\frac{2}{3}=\frac{VM}{VB}\Rightarrow MP\parallel BO$ și, cum $MN\cap MP=\left\{M\right\}$ și $BC\cap BO=\left\{B\right\}$, obținem $\left(MNP\right)\parallel \left(ABC\right)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $\left(MNP\right)\parallel \left(ABC\right)$ și $VO\perp \left(ABC\right)$, deci $VO\perp \left(MNP\right)$ și, cum $VO\cap \left(MNP\right)=\left\{P\right\}$, obținem $d\left(\left(MNP\right),\left(ABC\right)\right)=PO$ (3 p). $VO=6\text{cm}\Rightarrow VP+PO=6$ cm și, cum $VP=2PO$, obținem $d\left(\left(MNP\right),\left(ABC\right)\right)=PO=2$ cm (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 31, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 31 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un trapez $ABCD$ cu bazele $AB$ și $CD$, $CD<AB$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre relația dintre bazele trapezului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor cu paranteze, prețul a patru kilograme de mere, numărul de elemente ale unei mulțimi, latura unui dreptunghi cunoscând aria, unghiul a două drepte într-un cub, o diagramă cu temperaturile unei săptămâni; trapezul, numere naturale invers proporționale cu $2$, $3$, $4$, o problemă cu trofee așezate pe două rafturi, numere reale cu radicali și fracții zecimale periodice ($a=\frac{7\left(2-\sqrt{2}\right)}{8}$ și $\left(2+\sqrt{2}\right)a=\sqrt{3}\cdot b-\frac{5}{4}$), o expresie $E\left(x\right)=1$ și o sumă alternată; geometrie plană (un paralelogram cu simetricele a două vârfuri față de mijloacele laturilor — perimetru, coliniaritate, perpendicularitate) și geometrie în spațiu (un romb cu o dreaptă perpendiculară pe planul său — lungimea unui segment, plane paralele, distanța dintre două plane paralele).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.