Simulare Evaluarea Națională nr. 22

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $12 + 3 \cdot (10 - 6)$ este: a) $36$ b) $60$ c) $24$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{6} = \frac{5}{2}$ , atunci numărul $x$ este egal cu: a) $3$ b) $15$ c) $7, 5$ d) $30$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A = {2, 3, 4, 5}$ și $B = {4, 5, 6, 7}$ . Intersecția $A \cap B$ este mulțimea: a) ${2, 3, 6, 7}$ b) ${4, 5, 6}$ c) ${2, 3, 4, 5, 6, 7}$ d) ${4, 5}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $15%$ din numărul $60$ reprezintă: a) $45$ b) $9$ c) $4$ d) $15$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a = 49$ și $b = 11$ este: a) $18$ b) $4$ c) $8$ d) $9$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a = 5 - 26$ . Atunci: a) $a < 0$ b) $a = 0$ c) $0 < a < 1$ d) $a > 1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $A B = 5$ cm și $B C = 9$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A C$ . Lungimea segmentului $M B$ este egală cu:

a) $7$ cm b) $5$ cm c) $2$ cm d) $4, 5$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $A O B$ este de $3 5^{\circ}$ , iar unghiul $B O C$ este drept. Măsura unghiului $C O D$ este egală cu:

a) $5 5^{\circ}$ b) $4 5^{\circ}$ c) $9 0^{\circ}$ d) $12 5^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 8$ cm și $A C = 15$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $161$ cm c) $289$ cm d) $17$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $A B C$ cu latura $A B = 8$ cm, iar $C M$ este înălțimea din $C$ ( $M$ este mijlocul laturii $A B$ ). Lungimea înălțimii $C M$ este egală cu:

a) $83$ cm b) $43$ cm c) $16$ cm d) $4$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ , în care $A B$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $B C$ este de $8 0^{\circ}$ . Măsura unghiului $B A C$ este egală cu:

a) $8 0^{\circ}$ b) $16 0^{\circ}$ c) $4 0^{\circ}$ d) $2 0^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $A B C D E F G H$ cu dimensiunile $A B = 5$ cm, $B C = 4$ cm și $A E = 3$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $94 cm^{3}$ b) $60 cm^{3}$ c) $12 cm^{3}$ d) $30 cm^{3}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un teatru pune în vânzare biletele pentru un spectacol. În prima zi vinde $30%$ din totalul biletelor, în a doua zi vinde $40%$ din câte au rămas, iar în ultima zi vinde ultimele $210$ de bilete. a) (2 p) Arată că în a doua zi teatrul a vândut mai puține bilete decât în prima zi. b) (3 p) Determină numărul total de bilete puse în vânzare.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = \frac{x ^{2} - 16}{x ^{2} + 4 x}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = 0$ și $x \neq = - 4$ . a) (2 p) Arată că $E (x) = \frac{x - 4}{x}$ , pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E (x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Costul livrării unei pizza la domiciliu este dat de funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 6$ , unde $x$ este distanța de livrare (în km), iar $f (x)$ este costul (în lei): un cost de bază de $6$ lei plus $2$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. a) (2 p) Calculează $f (0)$ și $f (4)$ și precizează ce reprezintă $f (0)$ în contextul problemei. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $O x$ în punctul $A$ și axa $O y$ în punctul $B$ . Determină aria triunghiului $A O B$ .

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 24$ cm și $A D = 7$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $A B C D$ . b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $A C$ și aria dreptunghiului $A B C D$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 12$ cm și $A C = 5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $B C$ . b) (3 p) Calculează $sin B$ , $cos B$ , $tg B$ și perimetrul triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte O pâlnie are forma unui con circular drept cu raza bazei $r = 6$ cm și înălțimea $h = 8$ cm ( $V$ este vârful, $O$ este centrul bazei, $A$ este un punct de pe cercul bazei). a) (2 p) Calculează lungimea generatoarei $g$ a conului. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul conului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	c)	b)	d)	b)	d)	a)

c) $12 + 3 \cdot (10 - 6) = 12 + 3 \cdot 4 = 12 + 12 = 24$ .
b) $\frac{x}{6} = \frac{5}{2} \Rightarrow x = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ .
d) Elementele comune sunt $4$ și $5$ , deci $A \cap B = {4, 5}$ .
b) $15% \cdot 60 = \frac{15}{100} \cdot 60 = 9$ .
d) $a = 49 = 7$ ; media $= \frac{7 + 11}{2} = 9$ .
a) $26 > 25 = 5$ , deci $a = 5 - 26 < 0$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	c)	a)	d)	b)	c)	b)

c) $A C = A B + B C = 5 + 9 = 14$ cm; $A M = \frac{A C}{2} = 7$ cm; $M B = A M - A B = 7 - 5 = 2$ cm.
a) $A$ , $O$ , $D$ coliniare $\Rightarrow m (∠ A O B) + m (∠ B O C) + m (∠ C O D) = 18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ C O D) = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} - 9 0^{\circ} = 5 5^{\circ}$ .
d) Teorema lui Pitagora: $B C = A B^{2} + A C^{2} = 8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 17$ cm.
b) Înălțimea triunghiului echilateral cu latura $ℓ$ este $\frac{ℓ 3}{2} = \frac{8 3}{2} = 43$ cm.
c) Unghiul $B A C$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $B C$ , deci $m (∠ B A C) = \frac{1}{2} \cdot 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ .
b) $V = A B \cdot B C \cdot A E = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 cm^{3}$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $N$ numărul total de bilete. a) (2 p) Ziua întâi: $30%$ din $N$ . Ziua a doua: $40%$ din rest $= 40% \cdot 70% \cdot N = 28%$ din $N$ (1 p). Cum $28% < 30%$ , în a doua zi s-au vândut mai puține bilete decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile s-a vândut $30% + 28% = 58%$ din $N$ , deci au rămas $42% \cdot N$ (1 p). Acest rest a fost vândut în ultima zi: $42% \cdot N = 210$ (1 p) $\Rightarrow N = \frac{210}{0 , 42} = 500$ bilete (1 p). (Verificare: $150 + 140 + 210 = 500$ .)

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ și $x^{2} + 4 x = x (x + 4)$ (1 p); deci $E (x) = \frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x ( x + 4 )} = \frac{x - 4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E (x) = \frac{x - 4}{x} = 1 - \frac{4}{x}$ (1 p); $E (x) \in Z \Leftrightarrow x ∣ 4$ , deci $x \in {- 4, - 2, - 1, 1, 2, 4}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x = - 4$ , rămân $x \in {- 2, - 1, 1, 2, 4}$ (1 p) (verificare: $E (- 2) = 3$ , $E (- 1) = 5$ , $E (1) = - 3$ , $E (2) = - 1$ , $E (4) = 0$ ).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (0) = 2 \cdot 0 + 6 = 6$ (1 p) – reprezintă costul de bază al livrării (pentru $0$ km). $f (4) = 2 \cdot 4 + 6 = 14$ (1 p). b) (3 p) $A = O x \cap G_{f}$ : $f (x) = 0 \Rightarrow 2 x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 3$ , deci $A (- 3, 0)$ (1 p). $B = O y \cap G_{f}$ : $x = 0 \Rightarrow y = 6$ , deci $B (0, 6)$ (1 p). Triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ : $A_{A O B} = \frac{O A \cdot O B}{2} = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{A B C D} = 2 (A B + A D) = 2 (24 + 7) = 62$ cm. b) (3 p) Diagonala: $A C = A B^{2} + A D^{2} = 2 4^{2} + 7^{2} = 576 + 49 = 625 = 25$ cm (2 p). Aria: $A_{A B C D} = A B \cdot A D = 24 \cdot 7 = 168 cm^{2}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $B C = A B^{2} + A C^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$ : cateta opusă $A C = 5$ , cateta alăturată $A B = 12$ , ipotenuza $B C = 13$ . $sin B = \frac{5}{13}, cos B = \frac{12}{13}, tg B = \frac{5}{12} (2 p) .$ Perimetrul: $P = A B + A C + B C = 12 + 5 + 13 = 30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $V O A$ este dreptunghic în $O$ : $g = V A = V O^{2} + O A^{2} = h^{2} + r^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10$ cm (2 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{ℓ} = π \cdot r \cdot g = π \cdot 6 \cdot 10 = 60 π cm^{2}$ (1 p). Aria bazei $A_{b} = π \cdot r^{2} = 36 π cm^{2}$ ; aria totală $A_{t} = A_{ℓ} + A_{b} = 60 π + 36 π = 96 π cm^{2}$ (1 p). Volumul: $V = \frac{1}{3} \cdot π r^{2} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 π \cdot 8 = 96 π cm^{3}$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: ecuațiile de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.