Testul oficial de pregătire nr. 36 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $3\cdot 10-10$ este egal cu: a) $30$ b) $20$ c) $0$ d) $13$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dintre numerele $2,(3)$ și $2,3$, mai mare este numărul: a) $2,(3)$ b) $2,3$ c) niciunul, numerele sunt egale d) nu se poate stabili

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă suma a două numere naturale consecutive este egală cu $11$, atunci cel mai mic dintre numere este egal cu: a) $6$ b) $4$ c) $5$ d) $11$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un triunghi dreptunghic isoscel are o catetă egală cu $6$ cm. Aria acestui triunghi este egală cu: a) $36{\text{cm}}^2$ b) $12{\text{cm}}^2$ c) $24{\text{cm}}^2$ d) $18{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $5$ cm. Lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

a) $5\sqrt{3}$ cm b) $5\sqrt{2}$ cm c) $10$ cm d) $5$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul următor sunt prezentate informații despre înălțimile jucătorilor din lotul unei echipe de baschet.

Conform informațiilor din tabel, numărul jucătorilor din lot care au înălțimea mai mare sau egală cu $2$ m este egal cu: a) $3$ b) $2$ c) $5$ d) $8$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui triunghi $ABC$ dreptunghic în $A$. În orice triunghi $ABC$ dreptunghic în $A$, măsura unghiului $A$ este egală cu: a) $90°$ b) $60°$ c) $45°$ d) $180°$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați cel mai mare număr natural de trei cifre distincte două câte două, care are suma cifrelor egală cu $20$. Acest număr este egal cu: a) $992$ b) $983$ c) $974$ d) $998$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un obiect s-a ieftinit cu $20\%$ și apoi noul preț s-a mărit cu $20\%$. Ultimul preț este egal cu $288$ de lei. Determinați prețul inițial al obiectului. Prețul inițial al obiectului este egal cu: a) $240$ de lei b) $250$ de lei c) $300$ de lei d) $288$ de lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele $x=\frac{2\sqrt{24}}{\sqrt{54}-\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{27}-\sqrt{6}\right)}\cdot \sqrt{2}$ și $y=\sqrt{147}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}}\right)+\sqrt{28}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{7}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Arătați că $x=4$. Valoarea numărului real $x$ este egală cu: a) $4$ b) $2\sqrt{3}$ c) $4\sqrt{6}$ d) $2$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele $x=\frac{2\sqrt{24}}{\sqrt{54}-\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{27}-\sqrt{6}\right)}\cdot \sqrt{2}$ și $y=\sqrt{147}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}}\right)+\sqrt{28}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{7}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Calculați media geometrică a numerelor $x$ și $y$. Media geometrică a numerelor $x$ și $y$ este egală cu: a) $36$ b) $6,5$ c) $13$ d) $6$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2+{\left(x-3\right)}^2-\left(7+x^2\right)$, unde $x$ este număr real. Se arată că numărul natural $E\left(n\right)$ este multiplu de $8$, pentru orice număr natural impar $n$. Forma restrânsă a expresiei $E\left(x\right)$, pentru orice număr real $x$, este: a) $x^2+4x+3$ b) $x^2-4x+3$ c) $2x^2-4x+3$ d) $x^2-4x-3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$, $AB\parallel CD$, $AB=8$ cm, $CD=4$ cm și $AD=4\sqrt{3}$ cm. Punctul $E$ este situat pe latura $BC$ astfel încât triunghiul $ADE$ este echilateral, ca în figura alăturată.

Arătați că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $24\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$, $AB\parallel CD$, $AB=8$ cm, $CD=4$ cm și $AD=4\sqrt{3}$ cm. Punctul $E$ este situat pe latura $BC$ astfel încât triunghiul $ADE$ este echilateral, ca în figura alăturată.

Arătați că perimetrul trapezului $ABCD$ este mai mic decât $27$ cm.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$, $AB\parallel CD$, $AB=8$ cm, $CD=4$ cm și $AD=4\sqrt{3}$ cm. Punctul $E$ este situat pe latura $BC$ astfel încât triunghiul $ADE$ este echilateral, ca în figura alăturată.

Demonstrați că punctul $E$ este mijlocul laturii $BC$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=20$ cm și punctele $M$ și $N$, situate de aceeași parte a planului $\left(ABC\right)$, astfel încât $MA\perp \left(ABC\right)$, $NC\perp \left(ABC\right)$, $MA=30$ cm și $NC=15$ cm, ca în figura alăturată.

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $60$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=20$ cm și punctele $M$ și $N$, situate de aceeași parte a planului $\left(ABC\right)$, astfel încât $MA\perp \left(ABC\right)$, $NC\perp \left(ABC\right)$, $MA=30$ cm și $NC=15$ cm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $MA$ este paralelă cu planul $\left(NBC\right)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=20$ cm și punctele $M$ și $N$, situate de aceeași parte a planului $\left(ABC\right)$, astfel încât $MA\perp \left(ABC\right)$, $NC\perp \left(ABC\right)$, $MA=30$ cm și $NC=15$ cm, ca în figura alăturată.

Determinați distanța de la punctul $M$ la dreapta de intersecție a planelor $\left(MNB\right)$ și $\left(ABC\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $3\cdot 10-10=30-10=20$ (întâi înmulțirea, apoi scăderea).
2. a) $2,(3)=2,333\dots >2,3$, deci mai mare este numărul $2,(3)$.
3. c) Fie $n$ și $n+1$ numerele: $n+n+1=11\Rightarrow 2n=10\Rightarrow n=5$; numerele sunt $5$ și $6$, iar cel mai mic este $5$.
4. d) Într-un triunghi dreptunghic isoscel catetele sunt egale, deci $\mathcal{A}=\frac{6\cdot 6}{2}=18{\text{cm}}^2$.
5. b) $AC$ este diagonala pătratului $ABCD$ cu latura de $5$ cm, deci $AC=5\sqrt{2}$ cm.
6. c) $2$ m $=200$ cm; jucătorii cu înălțimea mai mare sau egală cu $200$ cm sunt cei din grupele $200-204$ și $205-210$, adică $3+2=5$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Într-un triunghi $ABC$ dreptunghic în $A$, unghiul $A$ este unghi drept, deci $m\left(\sphericalangle A\right)=90°$.
2. b) $a+b+c=20$ și, cum $\overline{abc}$ este cel mai mare număr natural de trei cifre distincte două câte două, obținem $a=9$; $b+c=11\Rightarrow b=8$ și $c=3$, deci numărul este $983$.
3. c) $x-\frac{20}{100}\cdot x+\frac{20}{100}\left(x-\frac{20}{100}\cdot x\right)=288$, unde $x$ este prețul inițial al obiectului; $0,8x+0,2\cdot 0,8x=0,96x=288\Rightarrow x=300$ de lei.
4. a) $x=\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{54}-\sqrt{54}+2\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2}=\frac{4\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2}=\frac{4\sqrt{12}}{2\sqrt{3}}=\frac{4\cdot 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=4$.
5. d) $y=\sqrt{\frac{147}{3}}+\sqrt{\frac{147}{7}}+\sqrt{\frac{28}{7}}-\sqrt{\frac{28\cdot 3}{4}}=\sqrt{49}+\sqrt{21}+\sqrt{4}-\sqrt{21}=7+2=9$; media geometrică este $m_g=\sqrt{xy}=\sqrt{4\cdot 9}=6$.
6. b) $E\left(x\right)=x^2+2x+1+x^2-6x+9-7-x^2=x^2-4x+3$, pentru orice număr real $x$. Pentru $n=2k+1$, unde $k$ este număr natural, $E\left(2k+1\right)={\left(2k+1\right)}^2-4\left(2k+1\right)+3=4k^2-4k=4k\left(k-1\right)$ și, cum $k\left(k-1\right)$ este număr natural par, obținem că $E\left(n\right)$ este multiplu de $8$, pentru orice număr natural impar $n$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{\left(AB+CD\right)\cdot AD}{2}$ (3 p) $=\frac{\left(8+4\right)\cdot 4\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Fie $M\in AB$ astfel încât $CM\perp AB$; atunci $ADCM$ este dreptunghi, deci $AM=CD=4$ cm și $CM=AD=4\sqrt{3}$ cm și, cum triunghiul $BCM$ este dreptunghic ($BM=AB-AM=4$ cm), obținem $BC=\sqrt{B{M}^2+C{M}^2}=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8$ cm (2 p). $P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=8+8+4+4\sqrt{3}=20+4\sqrt{3}$ cm și, cum $4\sqrt{3}<7\iff \sqrt{48}<\sqrt{49}$, obținem că $P_{ABCD}<27$ cm (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Triunghiul $ADE$ este echilateral, deci $EF\perp AD$, unde $F$ este mijlocul segmentului $AD$ și, cum $AD\perp AB$, obținem că $EF\parallel AB$ (2 p). $EF\parallel AB$ și $F$ este mijlocul segmentului $AD$, deci $EF$ este linie mijlocie în trapezul $ABCD$, de unde obținem că punctul $E$ este mijlocul laturii $BC$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $P_{△ABC}=3AB$ (3 p) $=3\cdot 20=60$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $MA\perp \left(ABC\right)$ și $NC\perp \left(ABC\right)\Rightarrow MA\parallel NC$ (2 p). $MA\parallel NC$ și $NC\subset \left(NBC\right)$, deci $MA\parallel \left(NBC\right)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $\left(MNB\right)\cap \left(ABC\right)=BP$, unde $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $MN$ și $AC$ și, cum $MA\parallel NC\Rightarrow △PCN\sim △PAM$, deci $\frac{PC}{PA}=\frac{NC}{MA}=\frac{PN}{PM}$, de unde obținem $\frac{PC}{PA}=\frac{1}{2}$, deci $C$ este mijlocul segmentului $AP$ (2 p). $CA=CB=CP\Rightarrow △ABP$ este dreptunghic $\Rightarrow AB\perp BP$ și, cum $MA\perp \left(ABC\right)$ și $BP\subset \left(ABC\right)$, obținem că $MB\perp BP$, deci $d\left(M,BP\right)=MB=\sqrt{M{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{900+400}=\sqrt{1300}=10\sqrt{13}$ cm (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 36, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 36 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un triunghi $ABC$ dreptunghic în $A$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre măsura unghiului drept al triunghiului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, compararea unei fracții periodice cu o fracție zecimală finită, numere naturale consecutive cu sumă dată, aria unui triunghi dreptunghic isoscel, diagonala feței unui cub, interpretarea unui tabel (înălțimile jucătorilor unei echipe de baschet); desenul unui triunghi dreptunghic, cel mai mare număr natural de trei cifre distincte cu suma cifrelor $20$, o problemă cu procente (ieftinire și scumpire cu $20\%$), numere reale cu radicali ($x=4$ și media geometrică), o expresie $E\left(x\right)$ și divizibilitatea cu $8$ a lui $E\left(n\right)$ pentru $n$ impar; geometrie plană (un trapez dreptunghic — arie, perimetru, linie mijlocie) și geometrie în spațiu (un triunghi echilateral cu perpendiculare pe planul său — perimetru, dreaptă paralelă cu un plan, distanța de la un punct la o dreaptă).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.