Testul oficial de pregătire nr. 38 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $8-16:2$ este egal cu: a) $-4$ b) $0$ c) $4$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Un obiect costă $30$ de lei. După o reducere a prețului cu $50\%$, prețul obiectului este de: a) $15$ lei b) $20$ lei c) $25$ lei d) $10$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural din intervalul $\left[-3,4\right)$ este egal cu: a) $4$ b) $3$ c) $0$ d) $2$

Exercițiul 4 · 5 puncte Rombul $ABCD$ are $AB=2\sqrt{2}$ cm. Perimetrul acestui romb este egal cu: a) $4\sqrt{2}$ cm b) $6\sqrt{2}$ cm c) $8\sqrt{2}$ cm d) $16\sqrt{2}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi echilateral, $AB=10$ cm și $A{A}^{\prime }=5$ cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor acestei prisme este egală cu:

a) $60$ cm b) $90$ cm c) $45$ cm d) $75$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate informații despre numărul de kilograme de roșii vândute de un producător, în fiecare dintre zilele unei săptămâni. Prețul unui kilogram de roșii a fost de $5$ lei.

Conform informațiilor din tabel, suma de bani încasată de producător pentru roșiile vândute în această săptămână este egală cu: a) $1750$ lei b) $370$ lei c) $1850$ lei d) $2000$ lei

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui trapez dreptunghic $ABCD$ cu baza mare $AB$ și unghiul $A$ drept. Într-un astfel de trapez dreptunghic, relația dintre bazele $AB$ și $CD$ este: a) $AB\parallel CD$ și $AB>CD$ b) $AB\parallel CD$ și $AB=CD$ c) $AB$ nu este paralelă cu $CD$ d) $AB\perp CD$

Exercițiul 2 · 5 puncte Cel mai mic număr natural de trei cifre care se divide cu $2$, cu $3$ și cu $5$ este: a) $100$ b) $105$ c) $110$ d) $120$

Exercițiul 3 · 5 puncte După ce a parcurs două treimi dintr-un traseu, Alex constată că mai are de parcurs cu $5$ km mai puțin decât distanța deja parcursă. Lungimea traseului este egală cu: a) $10$ km b) $15$ km c) $20$ km d) $30$ km

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{8}+\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{27}$ și $b={\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}-2\right)}^2-2\left(\sqrt{15}-2\sqrt{5}\right)+\sqrt{48}+1$. Arătați că $a=13$. Valoarea numărului real $a$ este egală cu: a) $11$ b) $12$ c) $13$ d) $15$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{8}+\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{27}$ și $b={\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}-2\right)}^2-2\left(\sqrt{15}-2\sqrt{5}\right)+\sqrt{48}+1$. Arătați că media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu $b$. Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $b$ b) $2b$ c) $\frac{b}{2}$ d) $a\cdot b$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(2x+1\right)}^2-3{\left(x+1\right)}^2-\left(x-1\right)\left(x+1\right)+6\left(x-1\right)$, unde $x$ este număr real. Numerele naturale $n$ pentru care $E\left(n\right)\le -1$ sunt: a) $n=0$ b) $n\in \left\{0,1\right\}$ c) $n\in \left\{0,1,2\right\}$ d) $n=1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un romb $ABCD$ cu $AB=6$ cm și $BD=6$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $CD$.

Arătați că lungimea segmentului $AC$ este egală cu $6\sqrt{3}$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un romb $ABCD$ cu $AB=6$ cm și $BD=6$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $CD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că segmentele $BD$ și $MN$ sunt congruente.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un romb $ABCD$ cu $AB=6$ cm și $BD=6$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $CD$, ca în figura alăturată.

Știind că aria triunghiului $BNC$ reprezintă $p\%$ din aria triunghiului $ABE$, unde $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AD$ și $BN$, determinați numărul natural $p$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=30$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ și punctul $N$ este situat pe latura $D{D}^{\prime }$ astfel încât $DN=\frac{2}{3}D{D}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $900{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=30$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ și punctul $N$ este situat pe latura $D{D}^{\prime }$ astfel încât $DN=\frac{2}{3}D{D}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că distanța de la punctul $A$ la planul $\left(MDN\right)$ este egală cu $6\sqrt{5}$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=30$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ și punctul $N$ este situat pe latura $D{D}^{\prime }$ astfel încât $DN=\frac{2}{3}D{D}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Arătați că tangenta unghiului dintre dreapta $MN$ și planul $\left(AD{D}^{\prime }\right)$ este egală cu $\frac{3\sqrt{13}}{26}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $8-16:2=8-8=0$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. a) Reducerea este $50\%$ din $30=15$ lei, deci prețul devine $30-15=15$ lei.
3. b) Numerele naturale din $\left[-3,4\right)$ sunt $0,1,2,3$ ($4$ nu aparține intervalului, deschis la dreapta); cel mai mare dintre ele este $3$.
4. c) Rombul are toate laturile congruente, deci $P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot 2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ cm.
5. d) Prisma are $6$ muchii de bază de câte $10$ cm (cele două triunghiuri echilaterale) și $3$ muchii laterale de câte $5$ cm, deci suma lungimilor tuturor muchiilor este $6\cdot 10+3\cdot 5=60+15=75$ cm.
6. c) Numărul total de kilograme vândute: $40+45+60+55+45+55+70=370$ kg; suma încasată este $370\cdot 5=1850$ de lei.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Într-un trapez dreptunghic $ABCD$ cu baza mare $AB$, bazele sunt paralele și inegale: $AB\parallel CD$ și $AB>CD$.
2. d) Numărul $\overline{abc}$ se divide cu $2$ și cu $5$, deci $c=0$; cum $\overline{ab0}$ este cel mai mic număr natural de trei cifre care se divide cu $3$, deci $a+b=3$, obținem numărul $120$.
3. b) $\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x-5=x$, unde $x$ este lungimea traseului; rezultă $x=15$ km.
4. c) $a=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot 2\sqrt{2}+\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot 3\sqrt{3}=4+9=13$.
5. a) $b=5+3+4+2\sqrt{15}-4\sqrt{5}-4\sqrt{3}-2\sqrt{15}+4\sqrt{5}+4\sqrt{3}+1=13$; media aritmetică este $m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{13+13}{2}=13=b$.
6. b) $E\left(x\right)=4x^2+4x+1-3x^2-6x-3-x^2+1+6x-6=4x-7$; $E\left(n\right)=4n-7$, deci $4n-7\le -1\Rightarrow 4n\le 6$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n=0$ sau $n=1$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ este romb, deci $O$ este mijlocul segmentelor $AC$ și $BD$, unde $\left\{O\right\}=AC\cap BD$ (2 p). $AB=AD=BD\Rightarrow △ABD$ echilateral $\Rightarrow AO=3\sqrt{3}$ cm, de unde obținem $AC=2AO=6\sqrt{3}$ cm (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $△ABD$ echilateral și $M$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $DM\perp AB$ și $BM=\frac{AB}{2}$ (2 p). $N$ este mijlocul segmentului $CD$, deci $DN=\frac{CD}{2}$ și, cum $AB\parallel CD$ și $AB=CD$, obținem $BM\parallel DN$, $BM=DN$ și $DM\perp MB\Rightarrow BNDM$ dreptunghi, deci segmentele $BD$ și $MN$ sunt congruente (diagonalele dreptunghiului) (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $DN\parallel AB\Rightarrow △EDN\sim △EAB$ și, cum $DN=\frac{AB}{2}$, obținem că $BE=2BN$ (2 p). ${\mathcal{A}}_{BNC}=\frac{BN\cdot NC}{2}=\frac{1}{4}\cdot BN\cdot AB$ și ${\mathcal{A}}_{ABE}=\frac{AB\cdot BE}{2}=AB\cdot BN$, deci ${\mathcal{A}}_{BNC}=\frac{1}{4}{\mathcal{A}}_{ABE}$ și, cum ${\mathcal{A}}_{BNC}=\frac{p}{100}{\mathcal{A}}_{ABE}$, obținem $p=25$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat, deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2$ (3 p) $=30^2=900{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $ND\perp \left(ABC\right)$ și $AP\subset \left(ABC\right)\Rightarrow ND\perp AP$, unde $AP\perp DM$, $P\in DM$ și, cum $ND\cap DM=\left\{D\right\}$, obținem că $AP\perp \left(MDN\right)$, deci $d\left(A,\left(MDN\right)\right)=AP$ (2 p). $△ADM$ este dreptunghic, $AM=15$ cm și $DM=\sqrt{A{D}^2+A{M}^2}=15\sqrt{5}$ cm, de unde obținem $AP=\frac{AD\cdot AM}{DM}=6\sqrt{5}$ cm (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $MA\perp \left(AD{D}^{\prime }\right)\Rightarrow m\left(\sphericalangle \left(MN,\left(AD{D}^{\prime }\right)\right)\right)=m\left(\sphericalangle \left(MN,NA\right)\right)=m\left(\sphericalangle MNA\right)$ și, cum $MA\perp AN$, obținem că $\text{tg}\left(\sphericalangle MNA\right)=\frac{AM}{AN}$ (3 p). $DN=20$ cm, $AD=30$ cm $\Rightarrow AN=10\sqrt{13}$ cm, deci $\text{tg}\left(\sphericalangle MNA\right)=\frac{3\sqrt{13}}{26}$ (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 38, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 38 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un trapez dreptunghic $ABCD$ cu baza mare $AB$ și unghiul $A$ drept" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre relația dintre bazele trapezului dreptunghic, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o reducere de preț cu $50\%$, cel mai mare număr natural dintr-un interval, perimetrul unui romb, suma lungimilor muchiilor unei prisme cu baza triunghi echilateral, un tabel de date (kilograme de roșii vândute); trapezul dreptunghic, cel mai mic număr natural de trei cifre divizibil cu $2$, cu $3$ și cu $5$, o problemă cu fracții (un traseu), numere reale cu radicali ($a=13$) și media aritmetică, o expresie $E\left(x\right)$ și o inecuație în numere naturale; geometrie plană (un romb cu $AB=BD=6$ cm, mijloace de laturi, diagonala $AC$, segmente congruente, un raport de arii exprimat procentual) și geometrie în spațiu (un cub — aria bazei, distanța de la un punct la un plan, tangenta unghiului dintre o dreaptă și un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.