Simulare Evaluarea Națională nr. 23

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(45-5\cdot 3):5$ este: a) $6$ b) $8$ c) $30$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{15}=\frac{2}{3}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $9$ b) $6$ c) $10$ d) $45$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,3,4,5\}$ și $B=\{4,5,6,7\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{4,5,6\}$ b) $\{2,3,6,7\}$ c) $\{2,3,4,5,6,7\}$ d) $\{4,5\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30\%$ din numărul $90$ reprezintă: a) $30$ b) $27$ c) $60$ d) $63$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=11$ este: a) $18$ b) $4$ c) $9$ d) $8$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=2-\sqrt{5}$. Dintre afirmațiile următoare, cea adevărată este: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $8$ cm b) $4$ cm c) $2$ cm d) $3$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $35^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $14$ cm b) $10$ cm c) $\sqrt{28}$ cm d) $100$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ ($AB\parallel DC$), cu $AB=9$ cm, $DC=5$ cm și înălțimea $AD=6$ cm. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

a) $84{\text{cm}}^2$ b) $27{\text{cm}}^2$ c) $70{\text{cm}}^2$ d) $42{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $80^{\circ }$ b) $160^{\circ }$ c) $40^{\circ }$ d) $20^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $AE=5$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $240{\text{cm}}^3$ b) $120{\text{cm}}^3$ c) $60{\text{cm}}^3$ d) $15{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un colecționar își vinde colecția de timbre în trei etape. În prima etapă vinde $30\%$ din colecție, în a doua etapă vinde $40\%$ din timbrele rămase, iar în a treia etapă vinde ultimele $210$ de timbre. a) (2 p) Arată că în a doua etapă colecționarul a vândut mai puține timbre decât în prima etapă. b) (3 p) Determină câte timbre avea colecția la început.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-16}{x^2+4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne -4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x-4}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Factura lunară de energie electrică a unei familii este dată de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+6$, unde $x$ reprezintă numărul de kWh consumați, iar $f(x)$ este costul în lei (un abonament fix plus un cost pe fiecare kWh). a) (2 p) Calculează valoarea abonamentului fix, $f(0)$, și costul facturii pentru un consum de $4$ kWh, $f(4)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=24$ cm și $AC=7$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide triunghiulare regulate $VABC$, cu latura bazei $AB=6$ cm și înălțimea $VO=3$ cm ($O$ este centrul bazei, $M$ este mijlocul laturii $BC$). a) (2 p) Calculează lungimea apotemei bazei $OM$ și a apotemei piramidei $VM$. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $(45-5\cdot 3):5=(45-15):5=30:5=6$.
2. c) $\frac{x}{15}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{15\cdot 2}{3}=10$.
3. d) Elementele comune sunt $4$ și $5$, deci $A\cap B=\{4,5\}$.
4. b) $30\%\cdot 90=\frac{30}{100}\cdot 90=27$.
5. c) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+11}{2}=9$.
6. a) $\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$, deci $a=2-\sqrt{5}<0$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AC=AB+BC=6+10=16$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=8$ cm; $MB=AM-AB=8-6=2$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. b) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm.
4. d) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+DC)\cdot AD}{2}=\frac{(9+5)\cdot 6}{2}=\frac{14\cdot 6}{2}=42{\text{cm}}^2$.
5. c) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. b) $V=AB\cdot BC\cdot AE=6\cdot 4\cdot 5=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $N$ numărul de timbre din colecție la început. a) (2 p) Etapa întâi: $30\%$ din $N$. Etapa a doua: $40\%$ din rest $=40\%\cdot 70\%\cdot N=28\%$ din $N$ (1 p). Cum $28\%<30\%$, în a doua etapă s-au vândut mai puține timbre decât în prima etapă (1 p). b) (3 p) După primele două etape s-au vândut $30\%+28\%=58\%$ din $N$, deci au rămas $42\%\cdot N$ (1 p). Aceste timbre au fost vândute în a treia etapă: $42\%\cdot N=210$ (1 p) $\Rightarrow N=\frac{210}{0,42}=500$ de timbre (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-16=(x-4)(x+4)$ și $x^2+4x=x(x+4)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)}=\frac{x-4}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x-4}{x}=1-\frac{4}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 4$, deci $x\in \{-4,-2,-1,1,2,4\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=-4$, deci $x\in \{-2,-1,1,2,4\}$ (1 p) (verificare: $E(-2)=3$, $E(-1)=5$, $E(1)=-3$, $E(2)=-1$, $E(4)=0$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=3\cdot 0+6=6$ lei (abonamentul) (1 p); $f(4)=3\cdot 4+6=18$ lei (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 3x+6=0\Rightarrow x=-2$, deci $A(-2,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=6$, deci $B(0,6)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 6}{2}=6$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=7$, cateta alăturată $AB=24$, ipotenuza $BC=25$. $$\sin B=\frac{7}{25},\cos B=\frac{24}{25},\mathrm{tg}B=\frac{7}{24}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=24+7+25=56$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Baza este triunghi echilateral cu latura $6$ cm; apotema bazei $OM=\frac{\ell \sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$ cm. Triunghiul $VOM$ dreptunghic în $O$: $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ cm (2 p). b) (3 p) Aria bazei: $A_b=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$. Aria laterală: $A_{\ell }=\frac{P_{baza}\cdot VM}{2}=\frac{18\cdot 2\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria totală: $A_t=A_b+A_{\ell }=9\sqrt{3}+18\sqrt{3}=27\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=\frac{1}{3}\cdot A_b\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 3=9\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.