Simulare Evaluarea Națională nr. 24

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(50-2\cdot 5):8$ este: a) $30$ b) $6$ c) $5$ d) $40$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{8}=\frac{5}{2}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $16$ b) $20$ c) $40$ d) $3,2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,4,6,8\}$ și $B=\{1,2,3,4,5\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{6,8\}$ b) $\{1,2,3,4,5,6,8\}$ c) $\{2\}$ d) $\{2,4\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $15\%$ din numărul $200$ reprezintă: a) $30$ b) $15$ c) $170$ d) $3$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=11$ este: a) $18$ b) $4$ c) $9$ d) $8$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\sqrt{7}-1$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=6$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $8$ cm c) $4$ cm d) $16$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $45^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $125^{\circ }$ d) $55^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=8$ cm și $AC=15$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $\sqrt{161}$ cm c) $17$ cm d) $289$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $BC=9$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $21$ cm b) $108$ cm c) $15$ cm d) $\sqrt{63}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $80^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $80^{\circ }$ b) $40^{\circ }$ c) $20^{\circ }$ d) $160^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $AE=3$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $108{\text{cm}}^3$ b) $13{\text{cm}}^3$ c) $144{\text{cm}}^3$ d) $72{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un magazin de haine are un stoc de tricouri. În prima zi vinde $30\%$ din stoc, în a doua zi vinde $40\%$ din câte au rămas, iar în a treia zi vinde ultimele $210$ tricouri. a) (2 p) Arată că în primele două zile magazinul a vândut mai mult de jumătate din tricourile stocului. b) (3 p) Determină stocul inițial de tricouri.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2-5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne 5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Un taxi percepe o taxă de pornire de $6$ lei și un cost de $3$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. Costul unei curse, în lei, pentru o distanță de $x$ kilometri este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+6$. a) (2 p) Calculează costul unei curse de $4$ km și determină câți kilometri a parcurs un client care a plătit $24$ lei. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=8$ cm. a) (2 p) Calculează aria totală a cubului. b) (3 p) Calculează volumul cubului și lungimea diagonalei $AG$ a cubului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $(50-2\cdot 5):8=(50-10):8=40:8=5$.
2. b) $\frac{x}{8}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=\frac{8\cdot 5}{2}=20$.
3. d) Elementele comune sunt $2$ și $4$, deci $A\cap B=\{2,4\}$.
4. a) $15\%\cdot 200=\frac{15}{100}\cdot 200=30$.
5. c) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+11}{2}=9$.
6. d) $\sqrt{7}>\sqrt{4}=2$, deci $a=\sqrt{7}-1>2-1=1$, adică $a>1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $AC=AB+BC=6+10=16$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=8$ cm; $MB=AM-AB=8-6=2$ cm.
2. d) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. c) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.
4. c) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm.
5. b) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ }=40^{\circ }$.
6. d) $V=AB\cdot BC\cdot AE=6\cdot 4\cdot 3=72{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ stocul inițial de tricouri. a) (2 p) Ziua întâi: $30\%$ din $S$. Ziua a doua: $40\%$ din rest $=40\%\cdot 70\%\cdot S=28\%$ din $S$ (1 p). În primele două zile s-a vândut $30\%+28\%=58\%$ din $S$, adică mai mult de jumătate ($58\%>50\%$) (1 p). b) (3 p) După primele două zile a rămas $100\%-58\%=42\%$ din $S$ (1 p). Acest rest a fost vândut a treia zi: $42\%\cdot S=210$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{210}{0,42}=500$ tricouri (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2-5x=x(x-5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)}=\frac{x+5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclud $x=0$ și $x=5$, rămân $x\in \{-5,-1,1\}$ (1 p) (verificare: $E(-5)=0$, $E(-1)=-4$, $E(1)=6$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) Costul unei curse de $4$ km: $f(4)=3\cdot 4+6=18$ lei (1 p). Dacă a plătit $24$ lei: $3x+6=24\Rightarrow 3x=18\Rightarrow x=6$ km (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $f(x)=0\Rightarrow 3x+6=0\Rightarrow x=-2$, deci $A(-2,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=6$, deci $B(0,6)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 6}{2}=6$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=5$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{5}{13},\cos B=\frac{12}{13},\mathrm{tg}B=\frac{5}{12}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+5+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria totală a cubului: $A_t=6\cdot A{B}^2=6\cdot 8^2=6\cdot 64=384{\text{cm}}^2$ (2 p). b) (3 p) Volumul: $V=A{B}^3=8^3=512{\text{cm}}^3$ (2 p). Diagonala cubului: $AG=AB\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ cm (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Se acordă zece puncte din oficiu. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.