Simulare Evaluarea Națională nr. 29

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(12+3\cdot 6):6$ este: a) $3$ b) $15$ c) $5$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{6}=\frac{5}{3}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $10$ b) $18$ c) $2,5$ d) $9$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,3,4,5\}$ și $B=\{4,5,6,7\}$. Intersecția $A\cap B$ este mulțimea: a) $\{4,5,6\}$ b) $\{4,5\}$ c) $\{2,3\}$ d) $\{2,3,4,5,6,7\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte $30\%$ din numărul $150$ reprezintă: a) $45$ b) $120$ c) $30$ d) $50$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{49}$ și $b=11$ este: a) $18$ b) $8$ c) $7$ d) $9$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=6-\sqrt{35}$. Atunci: a) $a<0$ b) $a=0$ c) $0<a<1$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=4$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $7$ cm b) $5$ cm c) $3$ cm d) $1$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $35^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ este drept. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $125^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=8$ cm și $AC=15$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $23$ cm b) $\sqrt{161}$ cm c) $289$ cm d) $17$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel DC$, în care $AB=12$ cm (baza mare), $DC=6$ cm (baza mică), iar $AD=8$ cm este înălțimea. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

a) $144{\text{cm}}^2$ b) $72{\text{cm}}^2$ c) $96{\text{cm}}^2$ d) $48{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $60^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $60^{\circ }$ b) $15^{\circ }$ c) $30^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu dimensiunile $AB=6$ cm, $BC=4$ cm și $AE=5$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $120{\text{cm}}^3$ b) $24{\text{cm}}^3$ c) $148{\text{cm}}^3$ d) $15{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte La o expoziție de artă, numărul de vizitatori a fost repartizat pe trei zile. În prima zi au venit $30\%$ din numărul total de vizitatori, în a doua zi au venit $40\%$ din cei rămași, iar în a treia zi au venit ultimii $210$ vizitatori. a) (2 p) Arată că în a doua zi au venit mai puțini vizitatori decât în prima zi. b) (3 p) Determină numărul total de vizitatori ai expoziției.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-25}{x^2+5x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne -5$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x-5}{x}$, pentru orice $x$ din domeniu. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniu pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Salariul lunar al unui agent de vânzări este dat de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=800+40x$, unde $x$ este numărul de produse vândute, $800$ de lei reprezintă partea fixă, iar $40$ de lei este comisionul pentru fiecare produs vândut. a) (2 p) Calculează salariul agentului dacă vinde $0$ produse, respectiv $25$ de produse. b) (3 p) Determină câte produse trebuie să vândă agentul într-o lună pentru a obține un salariu de $2000$ de lei.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $AD=8$ cm. a) (2 p) Calculează perimetrul dreptunghiului $ABCD$. b) (3 p) Calculează lungimea diagonalei $AC$ și aria dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=12$ cm și $AC=5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea ipotenuzei $BC$. b) (3 p) Calculează $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Un recipient are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei $R=3$ cm și înălțimea $h=5$ cm. a) (2 p) Calculează aria bazei și aria laterală a cilindrului. b) (3 p) Calculează aria totală și volumul cilindrului.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $(12+3\cdot 6):6=(12+18):6=30:6=5$.
2. a) $\frac{x}{6}=\frac{5}{3}\Rightarrow x=\frac{6\cdot 5}{3}=10$.
3. b) Elementele comune sunt $4$ și $5$, deci $A\cap B=\{4,5\}$.
4. a) $30\%\cdot 150=\frac{30}{100}\cdot 150=45$.
5. d) $a=\sqrt{49}=7$; media $=\frac{7+11}{2}=9$.
6. c) Cum $25<35<36$, avem $5<\sqrt{35}<6$, deci $0<6-\sqrt{35}<1$, adică $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AC=AB+BC=4+10=14$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=7$ cm; $MB=AM-AB=7-4=3$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-35^{\circ }-90^{\circ }=55^{\circ }$.
3. d) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ cm.
4. b) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+DC)\cdot AD}{2}=\frac{(12+6)\cdot 8}{2}=\frac{18\cdot 8}{2}=72{\text{cm}}^2$.
5. c) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 60^{\circ }=30^{\circ }$.
6. a) $V=AB\cdot BC\cdot AE=6\cdot 4\cdot 5=120{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $N$ numărul total de vizitatori. a) (2 p) Ziua întâi: $30\%$ din $N$. După prima zi rămân $70\%$ din $N$; ziua a doua: $40\%$ din rest $=40\%\cdot 70\%\cdot N=28\%$ din $N$ (1 p). Cum $28\%<30\%$, în a doua zi au venit mai puțini vizitatori decât în prima zi (1 p). b) (3 p) După primele două zile au venit $30\%+28\%=58\%$ din $N$, deci a treia zi au venit $100\%-58\%=42\%$ din $N$ (1 p). Aceștia sunt cei $210$ vizitatori: $42\%\cdot N=210$ (1 p) $\Rightarrow N=\frac{210}{0,42}=500$ de vizitatori (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-25=(x-5)(x+5)$ și $x^2+5x=x(x+5)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x(x+5)}=\frac{x-5}{x}$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x-5}{x}=1-\frac{5}{x}$ (1 p); $E(x)\in \mathbb{Z}\iff x\mid 5$, deci $x\in \{-5,-1,1,5\}$ (1 p). Din domeniu se exclude $x=-5$, rămân $x\in \{-1,1,5\}$ (1 p) (verificare: $E(-1)=6$, $E(1)=-4$, $E(5)=0$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=800+40\cdot 0=800$ de lei (1 p); $f(25)=800+40\cdot 25=800+1000=1800$ de lei (1 p). b) (3 p) Salariu de $2000$ de lei $\Rightarrow f(x)=2000$, adică $800+40x=2000$ (1 p); $40x=1200$ (1 p) $\Rightarrow x=\frac{1200}{40}=30$ de produse (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+8)=46$ cm. b) (3 p) Diagonala: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm (2 p). Aria: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm. b) (3 p) Pentru unghiul $B$: cateta opusă $AC=5$, cateta alăturată $AB=12$, ipotenuza $BC=13$. $$\sin B=\frac{5}{13},\cos B=\frac{12}{13},\mathrm{tg}B=\frac{5}{12}(2\mathbf{p}).$$ Perimetrul: $P=AB+AC+BC=12+5+13=30$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria bazei: $A_b=\pi R^2=\pi \cdot 3^2=9\pi {\text{cm}}^2$ (1 p). Aria laterală: $A_{\ell }=2\pi Rh=2\pi \cdot 3\cdot 5=30\pi {\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Aria totală: $A_t=A_{\ell }+2A_b=30\pi +2\cdot 9\pi =30\pi +18\pi =48\pi {\text{cm}}^2$ (2 p). Volumul: $V=\pi R^{2}h=9\pi \cdot 5=45\pi {\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (Pitagora, trigonometrie în triunghiul dreptunghic) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.